FOURIER TRANSFORM: EGENSKAPER, APPLIKASJONER, EKSEMPLER - MATTE - 2025

Den Fourier-transformasjonen er en analytisk metode tilstrekkelighet orientert for å integrerbare funksjoner som hører til familien av integraltransformasjoner. Den består av en omdefinering av funksjonene f (t) i form av Cos (t) og Sen (t).

De trigonometriske identitetene til disse funksjonene, sammen med deres derivasjon og antideriveringskarakteristikker, tjener til å definere Fourier-transformasjonen gjennom følgende komplekse funksjon:

Noe som er sant så lenge uttrykket gir mening, det vil si når det upassende integralet er konvergent. Algebraically sies Fourier-transformasjonen å være en lineær homeomorfisme.

Hver funksjon som kan arbeides med en Fourier-transformasjon, må presentere null utenfor en definert parameter.

Egenskaper

Kilde: pexels

Fourier-transformasjonen oppfyller følgende egenskaper:

Eksistens

For å verifisere eksistensen av Fourier-transformen i en funksjon f (t) definert i realene R , må følgende 2 aksiomer være oppfylt:

1. f (t) er stykkevis kontinuerlig for alle R
2. f (t) er integrerbar i R

Fourier transformasjonslinearitet

La M (t) og N (t) være hvilke som helst to funksjoner med bestemte Fourier-transformasjoner, med konstanter a og b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Som også støttes av lineariteten til integralen med samme navn.

Fourier transformasjon av et derivat

Det er en funksjon f som er kontinuerlig og integrerbar i alle reals, der:

Og derivatet av f (f ') er kontinuerlig og stykkevis definert i hele R

Fourier-transformasjonen av et derivat er definert ved integrasjon av deler, av følgende uttrykk:

F (z) = iz F (z)

I avledninger av høyere orden vil den bli anvendt på en homolog måte, der vi for alle n 1 har:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Fourier transformere differensiering

Det er en funksjon f som er kontinuerlig og integrerbar i alle reals, der:

Fourier transformasjon av en oversettelse

For hvert θ som tilhører et sett S og T som tilhører settet S ', har vi:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

Med τ _a som oversettelsesoperatør på vektoren a.

Oversettelse av Fourier-transformen

For hvert θ som tilhører et sett S og T som tilhører settet S ', har vi:

τ _a F = F τ _a F = F

For alle av hvilke hører til R

Fourier transformasjon av en skalagruppe

For alle θ som tilhører et sett S. T som tilhører settet S '

λ som tilhører R - {0} har vi:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Hvis f er en kontinuerlig og tydelig integrerbar funksjon, der a> 0. Da:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

For å demonstrere dette resultatet kan vi fortsette med endringen av variabelen.

Når T → + så s = ved → + ∞

Når T → - så s = ved → - ∞

Symmetry

For å studere symmetrien til Fourier-transformasjonen må identiteten til Parseval og Plancherel-formelen bekreftes.

Vi har θ og δ som tilhører S. Derfra kan det utledes at:

Får

1 / (2π) ^d { F, F } Perseval identitet

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherel-formel

Fourier transformasjon av et konvolusjonsprodukt

Forfølgelse av lignende mål som i Laplace-transformen, og konvolvering av funksjoner refererer til produktet mellom deres Fourier-transformasjoner.

Vi har f og g som 2 avgrensede, definerte og helt integrerbare funksjoner:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Kontinuitet og faller i uendelig

Hva er Fourier-transformasjonen til?

Den tjener først og fremst til å forenkle ligninger betydelig, mens den transformerer avledede uttrykk til maktelementer, og betegner differensielle uttrykk i form av integrerbare polynomer.

I optimalisering, modulering og modellering av resultater fungerer det som et standardisert uttrykk, og er en hyppig ressurs for prosjektering etter flere generasjoner.

Fourier-serien

De er serier definert i form av Cosines and Sines; De tjener til å lette arbeid med generelle periodiske funksjoner. Når de brukes, er de en del av teknikkene for å løse ordinære og partielle differensialligninger.

Fourier-serier er enda mer generelle enn Taylor-serier, fordi de utvikler periodiske diskontinuerlige funksjoner som ikke har Taylor-serierepresentasjon.

Andre former for Fourier-serien

For å forstå Fourier-transformasjonen analytisk, er det viktig å gjennomgå de andre måtene Fourier-serien kan bli funnet på, inntil Fourier-serien kan defineres i dens komplekse notasjon.

-Fourier-serie om en funksjon av periode 2L

Mange ganger er det nødvendig å tilpasse strukturen til en Fourier-serie til periodiske funksjoner hvis periode er p = 2L> 0 i intervallet.

-Fourier-serien i rare og jevne funksjoner

Intervallet blir vurdert, noe som gir fordeler når du utnytter de symmetriske egenskapene til funksjonene.

Hvis f er jevn, etableres Fourier-serien som en serie av Cosines.

Hvis f er merkelig, etableres Fourier-serien som en serie med Sines.

-Kompleks notasjon av Fourier-serien

Hvis vi har en funksjon f (t), som oppfyller alle kravene til utvikling av Fourier-serien, er det mulig å betegne den i intervallet ved å bruke den komplekse notasjonen:

applikasjoner

Kilde: pexels

Beregning av den grunnleggende løsningen

Fourier-transformasjonen er et kraftig verktøy i studiet av partielle differensialligninger av den lineære typen med konstante koeffisienter. De søker for funksjoner med ubegrensede domener likt.

I likhet med Laplace-transformasjonen forvandler Fourier-transformasjonen en delvis derivatfunksjon til en vanlig differensialligning som er mye enklere å betjene.

Cauchy-problemet for varmeforligningen presenterer et felt med hyppig anvendelse av Fourier-transformen der kjernen av varme eller Dirichlets kjernefunksjon genereres.

Når det gjelder beregning av den grunnleggende løsningen, presenteres følgende tilfeller der det er vanlig å finne Fourier-transformasjonen:

Signal teori

Den generelle årsaken til påføringen av Fourier-transformasjonen i denne grenen skyldes hovedsakelig den karakteristiske nedbrytningen av et signal som en uendelig superposisjon av lettere gjennomførbare signaler.

Det kan være en lydbølge eller en elektromagnetisk bølge, Fourier-transformasjonen uttrykker det i en superposisjon av enkle bølger. Denne representasjonen er ganske hyppig innen elektroteknikk.

På den annen side er eksempler på anvendelse av Fourier-transformen innen signalteori:

eksempler

Eksempel 1

Definer Fourier-transformasjonen for følgende uttrykk:

Vi kan også representere det på følgende måte:

F (t) = Sen (t)

Den rektangulære pulsen er definert:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Fourier-transformasjonen brukes på følgende uttrykk som ligner på moduleringsteoremet.

f (t) = p (t) Sen (t)

Hvor: F = (1/2) i

Og Fourier-transformasjonen er definert av:

F = (1/2) i

Eksempel 2

Definer Fourier-transformasjonen for uttrykket:

Siden f (h) er en jevn funksjon, kan det sies at

Integrering av deler brukes ved å velge variablene og deres forskjeller som følger

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

dv = h (e ^-h ) ² v = (e ^-h ) ² /2

Erstatter du har

Etter evaluering under den grunnleggende teorem om kalkulus

Bruk av forkunnskaper angående førsteordens differensialligninger, betegnes uttrykket som

For å få K evaluerer vi

Til slutt er Fourier-transformasjonen av uttrykket definert som

Foreslåtte øvelser

• 

• 

• Få transformasjonen av uttrykket W / (1 + w ² )

referanser

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Fourier-analyse. Addison– Wesley Iberoamericana, Autonomous University of Madrid, 1995.
2. Lions, JL, matematisk analyse og numeriske metoder for vitenskap og teknologi. Springer - Verlag, 1990.
3. Lieb, EH, gaussiske kjerner har bare gaussiske maksimalisatorer. Finne opp. Matte. 102 , 179-208, 1990.
4. Dym, H., McKean, HP, Fourier Series og integraler. Academic Press, New York, 1972.
5. Schwartz, L., Théorie des Distribusjoner. Ed. Hermann, Paris, 1966.