MOIVRES TEOREM: BEVIS OG LØSTE ØVELSER - MATTE - 2025

Den teorem av Moivre påført algebra fundamentale prosesser, slik som krefter og ekstraksjon av røtter i komplekse tall. Teoremet ble oppgitt av den anerkjente franske matematikeren Abraham de Moivre (1730), som assosierte komplekse tall med trigonometri.

Abraham Moivre gjorde denne assosiasjonen gjennom uttrykkene for sinus og kosinus. Denne matematikeren genererte en slags formel som det er mulig å heve et komplekst antall z til kraften n, som er et positivt heltall større enn eller lik 1.

Hva er Moivres teorem?

Moivres teorem uttaler følgende:

Hvis vi har et komplekst tall i polarformen z = r _Ɵ , der r er modulen til det komplekse tallet z, og vinkelen Ɵ kalles amplituden eller argumentet for et hvilket som helst komplekst tall med 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, for å beregne dets n– kraften vil det ikke være nødvendig å multiplisere den med seg selv n-ganger; det er, det er ikke nødvendig å lage følgende produkt:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n-ganger.

Tvert imot, teoremet sier at når vi skriver z i sin trigonometriske form, for å beregne den ndde kraften, fortsetter vi som følger:

Hvis z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), vil z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

For eksempel, hvis n = 2, så er z ² = r ² . Hvis n = 3, så er z ³ = z ² _* z. Også:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

På denne måten kan de trigonometriske forholdene mellom sinus og kosinus for multipler av en vinkel oppnås, så lenge de trigonometriske forholdene til vinkelen er kjent.

På samme måte kan det brukes til å finne mer presise og mindre forvirrende uttrykk for den n-th roten til et komplekst tall z, slik at z ⁿ = 1.

For å bevise Moivres teorem, brukes prinsippet om matematisk induksjon: hvis et helt tall "a" har en egenskap "P", og hvis for et helt tall "n" større enn "a" som har egenskapen "P" Den oppfyller at n + 1 også har egenskapen "P", da har alle heltall større enn eller lik "a" eiendommen "P".

Demonstrasjon

Dermed gjøres beviset på teoremet med følgende trinn:

Induktiv base

Det blir først sjekket for n = 1.

Siden z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , holder teoremet for n = 1.

Induktiv hypotese

Formelen antas å være sant for noe positivt heltall, det vil si n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Bekreftelse

Det er vist seg å være sant for n = k + 1.

Siden z ^{k + 1} = z ^k _* z, så er z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Da blir uttrykkene multiplisert:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

For et øyeblikk blir faktoren r ^{k + 1} ignorert , og den vanlige faktoren i blir tatt:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Siden jeg ² = -1, erstatter vi det i uttrykket og vi får:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Nå er den virkelige delen og den imaginære delen bestilt:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

For å forenkle uttrykket blir de trigonometriske identitetene til summen av vinkler brukt for kosinus og sinus, som er:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

I dette tilfellet er variablene vinklene Ɵ og kƟ. Bruker de trigonometriske identitetene, har vi:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = synd (kƟ + Ɵ)

På denne måten er uttrykket:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Dermed kan det vises at resultatet er sant for n = k + 1. Etter prinsippet om matematisk induksjon konkluderes det med at resultatet er sant for alle positive heltall; det vil si n ≥ 1.

Negativt heltall

Moivres teorem brukes også når n ≤ 0. La oss vurdere et negativt heltall «n»; da kan "n" skrives som "-m", det vil si n = -m, hvor "m" er et positivt heltall. Og dermed:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

For å få eksponenten «m» på en positiv måte, er uttrykket skrevet omvendt:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Nå brukes det at hvis z = a + b * i er et komplekst tall, så er 1 ÷ z = ab * i. Og dermed:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Ved å bruke den cos (x) = cos (-x) og den -sen (x) = sin (-x), har vi:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Dermed kan det sies at teoremet gjelder alle heltallverdier av "n".

Løste øvelser

Beregning av positive krefter

En av operasjonene med komplekse tall i sin polare form er multiplikasjonen med to av disse; i så fall blir modulene multiplisert og argumentene lagt til.

Hvis du har to komplekse tall z _{1 og} z ₂ og du vil beregne (z ₁ * z ₂ ) ² , fortsetter du som følger:

z ₁ z ₂ = *

Distribusjonsegenskapen gjelder:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

De er gruppert, og tar uttrykket "i" som en vanlig faktor for uttrykkene:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Siden jeg ² = -1, er det substituert i uttrykket:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

De virkelige begrepene er omgruppert med ekte, og innbilt med imaginært:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Til slutt gjelder de trigonometriske egenskapene:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

For å konkludere:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

Oppgave 1

Skriv det komplekse tallet i polar form hvis z = - 2 -2i. Beregn deretter z ⁴ ved å bruke Moivres teorem .

Løsning

Det komplekse tallet z = -2 -2i er uttrykt i den rektangulære formen z = a + bi, hvor:

a = -2.

b = -2.

Når vi vet at den polare formen er z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), må vi bestemme verdien av modulen "r" og verdien av argumentet "Ɵ". Siden r = √ (a² + b²), erstattes de gitte verdiene:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

For å bestemme verdien av «Ɵ» blir den rektangulære formen påført, som er gitt med formelen:

tan Ɵ = b ÷ a

solbrun Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Siden solbrun (Ɵ) = 1 og vi har <0, så har vi:

Ɵ = arctan (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Siden verdien av «r» og «Ɵ» allerede er oppnådd, kan det komplekse tallet z = -2 -2i uttrykkes i polar form ved å erstatte verdiene:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Nå bruker vi Moivres teorem for å beregne z ⁴ :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Oppgave 2

Finn produktet av de komplekse tallene ved å uttrykke det i polar form:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Beregn deretter (z1 * z2) ².

Løsning

Først dannes produktet av de gitte tallene:

z ₁ z ₂ = *

Deretter multipliseres modulene med hverandre, og argumentene legges til:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Uttrykket er forenklet:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Til slutt gjelder Moivres teorem:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Beregning av negative krefter

For å dele to komplekse tall z _{1 og} z ₂ i deres polare form, er modulen delt og argumentene trekkes fra. Dermed er kvotienten z ₁ ÷ z ₂ og uttrykkes som følger:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Som i forrige tilfelle, hvis vi vil beregne (z1 ÷ z2) ³, utføres divisjonen først, og deretter brukes Moivre-teoremet.

Oppgave 3

terninger:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

beregne (z1 ÷ z2) ³.

Løsning

Ved å følge trinnene beskrevet over kan det konkluderes med at:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

referanser

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. Croucher, M. (nd). Fra Moivres Teorem for Trig Identities. Wolfram demonstrasjonsprosjekt.
3. Hazewinkel, M. (2001). Encyclopaedia of Mathematics.
4. Max Peters, WL (1972). Algebra og trigonometri.
5. Pérez, CD (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (nd). Lineær algebra. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Precalculation. Pearson Education.