VEKTORALGEBRA: GRUNNLEGGENDE, STØRRELSER, VEKTORER - MATTE

Den vektoren algebra er en gren av matematikk som studerer system av lineære ligninger, vektorer, matriser, vektorrom og lineære transformasjoner. Det er relatert til områder som prosjektering, løsning av differensialligninger, funksjonsanalyse, driftsforskning, datagrafikk, blant andre.

Et annet område som lineær algebra har tatt i bruk er fysikk, siden det gjennom dette har vært mulig å utvikle studiet av fysiske fenomener, og beskrive dem gjennom bruk av vektorer. Dette har muliggjort en bedre forståelse av universet.

Fundamentals

Vektoralgebra stammet fra studien av kvartær (utvidelse av reelle tall) 1, i, j og k, så vel som fra den kartesiske geometrien promotert av Gibbs og Heaviside, som innså at vektorer ville tjene som et instrument for representerer forskjellige fysiske fenomener.

Vektoralgebra studeres gjennom tre grunnleggende:

geometrisk

Vektorer er representert med linjer som har en retning, og operasjoner som addisjon, subtraksjon og multiplikasjon med reelle tall er definert gjennom geometriske metoder.

analytisk

Beskrivelsen av vektorer og deres operasjoner er utført med tall, kalt komponenter. Denne typen beskrivelse er resultatet av en geometrisk representasjon fordi et koordinatsystem brukes.

axiomatically

En beskrivelse av vektorene er laget, uavhengig av koordinatsystemet eller hvilken som helst type geometrisk representasjon.

Studien av figurer i rommet gjøres gjennom deres representasjon i et referansesystem, som kan være i en eller flere dimensjoner. Blant hovedsystemene er:

- Endimensjonalt system, som er en linje hvor et punkt (O) representerer opprinnelsen og et annet punkt (P) bestemmer skalaen (lengden) og dens retning:

- Rektangulært koordinatsystem (todimensjonalt), som er sammensatt av to vinkelrette linjer kalt x-aksen og y-aksen, som går gjennom et punkt (O) opprinnelse; på denne måten er flyet delt inn i fire regioner kalt kvadranter. I dette tilfellet gis et punkt (P) i planet av avstandene som eksisterer mellom aksene og P.

- Polart koordinatsystem (todimensjonalt). I dette tilfellet er systemet sammensatt av et punkt O (opprinnelse) som kalles polen og en stråle med opprinnelse i O kalt polaraksen. I dette tilfellet er punktet P på planet, med referanse til polen og den polare aksen, gitt av vinkelen (Ɵ), som er dannet av avstanden som eksisterer mellom opprinnelsen og punktet P.

- Rektangulært tredimensjonalt system, dannet av tre vinkelrett linjer (x, y, z) hvis opprinnelse er et punkt O i rommet. Det dannes tre koordinatplan: xy, xz og yz; plassen vil bli delt inn i åtte regioner som kalles oktanter. Henvisningen til et punkt P i rommet er gitt av avstandene som eksisterer mellom planene og P.

størrelser

En størrelse er en fysisk mengde som kan telles eller måles gjennom en numerisk verdi, som i tilfelle av noen fysiske fenomener; Imidlertid er det mange ganger nødvendig å kunne beskrive disse fenomenene med andre faktorer enn numeriske. Derfor er størrelsesorden klassifisert i to typer:

Skalarstørrelse

Det er de mengdene som er definert og representert numerisk; det vil si av en modul sammen med en måleenhet. For eksempel:

a) Tid: 5 sekunder.

b) Masse: 10 kg.

c) Volum: 40 ml.

d) Temperatur: 40 ºC.

Vektorstørrelse

Det er de mengdene som er definert og representert av en modul sammen med en enhet, samt av en sans og retning. For eksempel:

a) Hastighet: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Akselerasjon: 13 m / s ² ; S 45º E.

c) Kraft: 280 N, 120º.

d) Vekt: -40 ĵ kg-f.

Vektormengder er grafisk representert av vektorer.

Hva er vektorer?

Vektorer er grafiske fremstillinger av en vektormengde; det vil si at de er linjesegmenter der den endelige enden er toppen av pilen.

Disse bestemmes av dens modul eller lengde på segmentet, dens retning som er indikert med spissen av pilen og dens retning i henhold til linjen det tilhører. Opprinnelsen til en vektor er også kjent som brukspunktet.

Elementene i en vektor er som følger:

modul

Det er avstanden fra opprinnelsen til enden av en vektor, representert med et reelt tall sammen med en enhet. For eksempel:

-OM- = -A- = A = 6 cm

Adresse

Det er målet på vinkelen som eksisterer mellom x-aksen (fra den positive) og vektoren, samt kardinalpunktene (nord, sør, øst og vest) brukes.

Føle

Det er gitt av pilspissen plassert på enden av vektoren, som indikerer hvor den skal.

Klassifisering av vektorer

Generelt er vektorer klassifisert som:

Fast vektor

Det er et hvis brukspunkt (opprinnelse) er fast; det vil si at det forblir knyttet til et punkt i rommet, så det kan ikke bevege seg i det.

Gratis vektor

Den kan bevege seg fritt i verdensrommet fordi opprinnelsen beveger seg til et hvilket som helst punkt uten å endre modul, retning eller retning.

Glidebrytervektor

Det er en som kan overføre sin opprinnelse langs handlingslinjen uten å endre modul, retning eller retning.

Egenskaper til vektorer

Blant hovedegenskapene til vektorer er følgende:

Vektorer teamlinser

De er de frie vektorene som har den samme modulen, retningen (eller de er parallelle) og forstand som en skyvevektor eller en fast vektor.

Tilsvarende vektorer

Det oppstår når to vektorer har samme retning (eller er parallelle), samme forstand, og til tross for at de har forskjellige moduler og bruksområder, forårsaker de de samme effektene.

Vector likhet

Disse har samme modul, retning og sans, selv når utgangspunktene deres er forskjellige, noe som gjør at en parallell vektor kan oversette seg selv uten å påvirke den.

Motsatte vektorer

De er de som har samme modul og retning, men betydningen deres er motsatt.

Enhetsvektor

Det er en der modulen er lik enheten (1). Dette oppnås ved å dele vektoren med sin modul og brukes til å bestemme retningen og sansen for en vektor, enten i planet eller i rommet, ved å bruke basen eller normaliserte enhetsvektorer, som er:

Null vektor

Det er en hvis modul er lik 0; det vil si opprinnelsessted og slutt sammenfaller på samme punkt.

Komponenter av en vektor

Komponentene til en vektor er verdiene til projeksjonen til vektoren på aksene til referansesystemet; Avhengig av nedbrytningen av vektoren, som kan være på to eller tredimensjonale akser, vil man oppnå henholdsvis to eller tre komponenter.

Komponentene i en vektor er reelle tall, som kan være positive, negative eller til og med null (0).

Så hvis vi har en vektor Ā, med opprinnelse i et rektangulært koordinatsystem i xy-planet (todimensjonalt), er projeksjonen på x-aksen Āx og projeksjonen på y-aksen er Āy. Dermed vil vektoren uttrykkes som summen av komponentvektorene.

eksempler

Første eksempel

Vi har en vektor Ā som starter fra opprinnelsen og koordinatene til dens ender er gitt. Dermed er vektoren Ā = (Ā _x , A _y ) = (4, 5) cm.

Hvis vektoren Ā virker ved opprinnelsen til et tredimensjonalt trekantet koordinatsystem (i verdensrommet) x, y, z, opp til et annet punkt (P), vil fremspringene på aksene være Āx, Āy og Āz; Dermed vil vektoren uttrykkes som summen av de tre komponentvektorene.

Andre eksempel

Vi har en vektor Ā som starter fra opprinnelsen og koordinatene til dens ender er gitt. Dermed er vektoren Ā = (A _x , A _y, A _z ) = (4, 6, -3) cm.

Vektorer som har sine rektangulære koordinater kan uttrykkes med tanke på basevektorene. For det må hver koordinat bare multipliseres med sin respektive enhetsvektor, på en slik måte at de for flyet og rommet vil være følgende:

For flyet: Ā = A _x i + A _y j.

For plassen: Ā = A _x i + A _y j + A _z k.

Vektoroperasjoner

Det er mange mengder som har en modul, sans og retning, for eksempel akselerasjon, hastighet, forskyvning, kraft, blant andre.

Disse brukes på forskjellige vitenskapsområder, og for å anvende dem er det i noen tilfeller nødvendig å utføre operasjoner som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og inndeling av vektorer og skalarer.

tillegg og subtraksjon av vektorer

Tilsetning og subtraksjon av vektorer regnes som en enkelt algebraisk operasjon fordi subtraksjonen kan skrives som en sum; for eksempel kan subtraksjon av vektorene Ā og Ē uttrykkes som:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Det er forskjellige metoder for å legge til og trekke fra vektorer: de kan være grafiske eller analytiske.

Grafiske metoder

Brukes når en vektor har modul, retning og retning. For dette tegnes linjer som danner en figur som senere er med på å bestemme resultatet. Blant de mest kjente er følgende:

Parallelogrammetode

For å gjøre tillegg eller subtraksjon av to vektorer, velges et felles punkt på koordinataksen - som vil representere vektorenes opprinnelsessted - og beholde sin modul, retning og retning.

Linjer trekkes deretter parallelt med vektorene for å danne et parallellogram. Den resulterende vektoren er diagonalen som går fra begge vektorers opprinnelsespunkt til parallellogrammets toppunkt:

Trekantmetode

I denne metoden plasseres vektorene etter hverandre, og holder moduler, retninger og retninger. Den resulterende vektoren vil være foreningen av opprinnelsen til den første vektoren med slutten av den andre vektoren:

Analytiske metoder

To eller flere vektorer kan legges til eller trekkes fra ved hjelp av en geometrisk eller vektormetode:

Geometrisk metode

Når to vektorer danner en trekant eller parallellogram, m). Trykk ({});

- Skalar fordelende egenskap: hvis en vektor multipliseres med summen av to skalarer, er den lik multiplikasjonen av vektoren for hver skalar.

Multiplikasjon av vektorer

Multiplikasjon eller produkt av vektorer kan gjøres som tillegg eller subtraksjon, men å gjøre det på den måten mister den fysiske betydningen og blir nesten aldri funnet i applikasjoner. Av denne grunn er de mest brukte produkttyper det skalare og vektorproduktet.

Skalar produkt

Det er også kjent som prikkproduktet til to vektorer. Når modulene til to vektorer multipliseres med kosinus i den minste vinkelen som dannes mellom dem, oppnås en skalar. For å uttrykke et skalært produkt mellom to vektorer plasseres et punkt mellom dem, og dette kan defineres som:

Verdien på vinkelen som eksisterer mellom de to vektorene vil avhenge av om de er parallelle eller vinkelrette. Dermed må du:

- Hvis vektorene er parallelle og har samme sans, er cosinus 0º = 1.

- Hvis vektorene er parallelle og har motsatte retninger, kosinus 180º = -1.

- Hvis vektorene er vinkelrett, kosinus 90º = 0.

Den vinkelen kan også beregnes ved å vite at:

Punktproduktet har følgende egenskaper:

- Kommutativ egenskap: vektorenes rekkefølge endrer ikke skalæren.

-Distribusjonsegenskap: hvis en skalær multipliseres med summen av to vektorer, er den lik multiplikasjonen av skalaren for hver vektor.

Vektorprodukt

Vektormultifisering, eller kryssprodukt av to vektorer A og B, vil resultere i en ny vektor C og uttrykkes ved bruk av et kryss mellom vektorene:

Den nye vektoren vil ha sine egne egenskaper. Den veien:

- Retningen: denne nye vektoren vil være vinkelrett på planet, som bestemmes av de originale vektorene.

- Retningen: dette bestemmes med regelen til høyre hånd, der vektor A roteres mot B, som indikerer rotasjonsretningen med fingrene, og vektorens retning er markert med tommelen.

- Modulen: den bestemmes av multiplikasjonen av modulene til vektorene AxB, av sinusen til den minste vinkelen som finnes mellom disse vektorene. Det kommer til uttrykk:

Verdien på vinkelen som eksisterer mellom de to vektorene vil avhenge av om de er parallelle eller vinkelrett. Så det er mulig å oppgi følgende:

- Hvis vektorene er parallelle og har samme forstand, er sin 0º = 0.

- Hvis vektorene er parallelle og har motsatte retninger, er 180 ° = 0.

- Hvis vektorene er vinkelrett, er 90 ° = 1.

Når et vektorprodukt kommer til uttrykk i form av basisvektorer, har vi: