SAMMENSATTE TALL: KJENNETEGN, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2025

De forbindelser tallene er de hele tall som har mer enn to skillevegger. Hvis vi ser nøye på, er alle tall i det minste delbare nøyaktig av seg selv og av 1. De som bare har disse to skillene, kalles primater, og de som har mer er sammensatte.

La oss se på tallet 2, som bare kan deles mellom 1 og 2. Tallet 3 har også to divisorer: 1 og 3. Derfor er de begge prime. La oss se på tallet 12, som vi kan dele nøyaktig med 2, 3, 4, 6 og 12. Ved å ha 5 divisorer er 12 et sammensatt tall.

Figur 1. Primtall i blått kan bare representeres av en enkelt rad med prikker, ikke sammensatte tall i rødt. Kilde: Wikimedia Commons.

Og hva skjer med nummer 1, den som deler alle de andre? Vel, det er ikke førsteklasses, fordi den ikke har to delere, og den er ikke sammensatt, derfor faller ikke 1 inn i noen av disse to kategoriene. Men det er det mange, mange flere tall som gjør.

Sammensatte tall kan uttrykkes som produktet av primtall, og dette produktet, med unntak av rekkefølgen på faktorene, er unikt for hvert tall. Dette er sikret ved den grunnleggende teorem om aritmetikk bevist av den greske matematikeren Euclid (325-365 f.Kr.).

La oss gå tilbake til nummer 12, som vi kan uttrykke på forskjellige måter. La oss prøve noen:

12 = 4 x 3 = 2 x 6 = 12 x 1 = 2 ² x 3 = 3 x 2 ² = 3 x 2 x 2 = 2 x 2 x 3 = 2 x 3 x 2

Formene som er fremhevet med fet skrift er produkter med primtall, og det eneste som endres er rekkefølgen på faktorene, som vi vet ikke endrer produktet. De andre formene, selv om de er gyldige for å uttrykke 12, består ikke bare av primater.

Eksempler på sammensatte tall

Hvis vi vil dekomponere et sammensatt tall i dets hovedfaktorer, må vi dele det mellom primtall på en slik måte at inndelingen er nøyaktig, det vil si at resten er 0.

Denne prosedyren kalles primfaktorisering eller kanonisk nedbrytning. Primære faktorer kan løftes til positive eksponenter.

Vi kommer til å dekomponere tallet 570, og merke at det er jevnt og derfor deles med 2, som er et primtall.

Vi vil bruke en stolpe for å skille tallet til venstre fra skillene til høyre. De respektive kvotientene er plassert under nummeret når de er oppnådd. Nedbrytningen er fullført når den siste figuren i venstre kolonne er 1:

570 │2
285 │

Når du deler med 2 er kvoten 285, som kan deles med 5, et annet primtall som ender på 5.

570 │2
285 │5
57 │

57 kan deles med 3, også en prim, siden summen av sifrene 5 + 7 = 12 er et multiplum av 3.

570 │2
285 │5
57 │3
19 │

Endelig får vi 19, som er et primtall, hvis delere er 19 og 1:

570 │2
285 │5
57 │3
19 │19
1 │

Ved å oppnå en kan vi uttrykke 570 på denne måten:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Og vi ser at det faktisk er produktet av 4 primtall.

I dette eksemplet begynner vi å dele med 2, men de samme faktorene (i en annen rekkefølge) ville blitt oppnådd hvis vi startet med å dele med 5 for eksempel.

Figur 2. Komposittnummer 42 kan også spaltes ved hjelp av et treformet diagram. Kilde: Wikimedia Commons.

Delbarhetskriterier

For å dekomponere et sammensatt tall i hovedfaktorene, er det nødvendig å dele det nøyaktig. Kriteriene for deling mellom primtall er regler som gjør det mulig å vite når et tall kan deles nøyaktig av et annet, uten å måtte prøve eller bevise.

- Delbarhet med 2

Alle jevnstall, de som ender på 0 eller et jevnt antall, kan deles med 2.

- Delbarhet med 3

Hvis summen av sifrene for et tall er et multiplum av 3, er tallet også og derfor delbart med 3.

- Delbarhet med 5

Tall som ender på 0 eller 5 kan deles med 5.

-Delerbarhet med 7

Et tall kan deles med 7 hvis den resulterende verdien er et multiplum av 7 når du skiller det siste sifferet, multipliserer det med 2 og trekker fra det gjenværende tallet.

Denne regelen virker litt mer komplisert enn de forrige, men i virkeligheten er den ikke så mye, så la oss se et eksempel: vil 98 kunne deles med 7?

La oss følge instruksjonene: vi skiller den siste figuren som er 8, vi multipliserer den med 2 som gir 16. Antallet som gjenstår når vi skiller 8 er 9. Vi trekker fra 16 - 9 = 7. Og siden 7 er en multiplum av seg selv, er 98 delbar mellom 7.

-Deelbarhet innen 11

Hvis summen av figurene i jevn stilling (2, 4, 6 …) trekkes fra summen av figurene i ulik stilling (1, 3, 5, 7 …) og 0 eller et multiplum på 11 oppnås, er tallet delbar med 11.

De første multiplene på 11 er lett å identifisere: de er 11, 22, 33, 44 … 99. Men vær forsiktig, 111 er det ikke, i stedet er 110.

La oss som et eksempel se om 143 er et multiplum av 11.

Dette tallet har 3 sifre, det eneste jevne sifret er 4 (det andre), de to rare sifrene er 1 og 3 (første og tredje), og summen deres er 4.

Begge summer blir trukket fra: 4 - 4 = 0 og siden 0 er oppnådd, viser det seg at 143 er et multiplum av 11.

-Deelbarhet innen 13

Nummeret uten tallene må trekkes fra 9 ganger tallet. Hvis tellingen returnerer 0 eller et multiplum av 13, er tallet et multiplum på 13.

Som et eksempel vil vi bekrefte at 156 er et multiplum av 13. De sifrene er 6 og tallet som forblir uten det er 15. Vi multipliserer 6 x 9 = 54 og nå trekker vi fra 54 - 15 = 39.

Men 39 er 3 x 13, så 56 er et multiplum på 13.

Primtall til hverandre

To eller flere prim- eller sammensatte tall kan være prim- eller co-prim. Dette betyr at den eneste fellesdeleren de har er 1.

Det er to viktige egenskaper å huske når det gjelder koprimer:

-To, tre og flere påfølgende tall er alltid førsteklasses for hverandre.

-Det samme kan sies om to, tre eller flere påfølgende oddetall.

For eksempel 15, 16 og 17 er primtall for hverandre, og det samme er 15, 17 og 19.

Hvordan vite hvor mange delere et sammensatt antall har

Et primtall har to divisorer, samme antall og 1. Og hvor mange divisors har et sammensatt tall? Dette kan være søskenbarn eller forbindelser.

La N være et sammensatt antall uttrykt i form av dets kanoniske nedbrytning som følger:

N = a ⁿ . b ^m . c ^p … r ^k

Hvor a, b, c … r er hovedfaktorene og n, m, p … k de respektive eksponentene. Antall delere C som N har gitt er gitt:

C = (n +1) (m + 1) (p +1) … (k + 1)

Med C = prime divisors + sammensatte divisors + 1

For eksempel 570, som uttrykkes slik:

570 = 2 x 5 x 3 x 19

Alle viktige faktorer er hevet til 1, derfor har 570:

C = (1 + 1) (1 + 1) (1+ 1) (1 +1) = 16 delere

Av disse 10 divisorer kjenner vi allerede: 1, 2, 3, 5, 19 og 570. Det mangler 10 flere divisors, som er sammensatte tall: 6, 10, 15, 30, 38, 57, 95, 114, 190 og 285. De blir funnet ved å observere nedbrytningen til primære faktorer og også multiplisere kombinasjoner av disse faktorene sammen.

Løste øvelser

- Oppgave 1

Del ned følgende tall i hovedfaktorer:

a) 98

b) 143

c) 540

d) 3705

Løsning på

98 │2
49 │7
7 │7
1 │

98 = 2 x 7 x 7

Løsning b

143 │11
13 │13
1 │

143 = 11 x 13

Løsning c

540 │5
108 │2
54 │2
27 │3
9 │3
3 │3
1 │

540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 5 x 2 ² x 3 ³

Løsning d

3705 │5
741 │3
247 │13
19 │19
1 │

3705 = 5 x 3 x 13 x 19

- Oppgave 2

Finn ut om følgende tall stemmer overens med hverandre:

6, 14, 9

Løsning

-Delene på 6 er: 1, 2, 3, 6

-Som for 14, kan det deles med: 1, 2, 7, 14

-Finale 9 har som deler: 1, 3, 9

Den eneste deleren de har til felles er 1, derfor er de førsteklasses for hverandre.

referanser

1. Baldor, A. 1986. Aritmetikk. Utgaver og distribusjoner Codex.
2. Byju tallet. Prime og sammensatte tall. Gjenopprettet fra: byjus.com.
3. Prime og sammensatte tall. Gjenopprettet fra: profeyennyvivaslapresentacion.files.wordpress.com
4. Smartick. Delbarhetskriterier. Gjenopprettet fra: smartick.es.
5. Wikipedia. Sammensatte tall. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org.