SUPPLERENDE VINKLER: HVA ER DE, BEREGNING, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2025

To eller flere er supplerende vinkler hvis summen av målene tilsvarer målingen for en rett vinkel. Målet på en rett vinkel, også kalt en plan vinkel, i grader er 180º og i radianer er den π.

For eksempel finner vi at de tre innvendige vinklene i en trekant er supplerende, siden summen av deres mål er 180º. Tre vinkler er vist på figur 1. Fra det ovennevnte følger det at α og β er supplerende, siden de er tilstøtende og summen fullfører en rett vinkel.

Figur 1: α og β er supplerende. α og γ er supplerende. Kilde: F. Zapata.

Også i den samme figuren har vi vinklene α og γ som også er supplerende, fordi summen av deres mål er lik målingen på en plan vinkel, det vil si 180º. Det kan ikke sies at vinklene β og γ er supplerende fordi, ettersom begge vinklene er stumpe, er målene større enn 90º, og summen deres overstiger derfor 180º.

Kilde: lifeder.com

I stedet kan det anføres at målingen av vinkelen β er lik målingen for vinkelen γ, siden hvis β er supplement til α og γ er supplement til α, så er β = γ = 135º.

eksempler

I de følgende eksemplene blir det bedt om å finne de ukjente vinklene, indikert med spørsmålstegn i figur 2. De spenner fra de enkleste eksemplene til noen litt mer forseggjorte at leseren skal være mer forsiktig.

Figur 2. Flere gjennomarbeidede eksempler på supplerende vinkler. Kilde: F. Zapata.

Eksempel A

I figuren har vi at de tilstøtende vinklene α og 35º legger opp til en plan vinkel. Det vil si α + 35º = 180º og derfor stemmer det at: α = 180º- 35º = 145º.

Eksempel B

Siden β supplerer vinkelen 50º, følger det at β = 180º - 50º = 130º.

Eksempel C

Fra figur 2C kan følgende sum observeres: γ + 90º + 15º = 180º. Det vil si at γ supplerer vinkelen 105º = 90º + 15º. Det konkluderes da at:

γ = 180º- 105º = 75º

Eksempel D

Siden X er tillegg til 72º, følger det at X = 180º - 72º = 108º. Y er Y supplerende med X, så Y = 180º - 108º = 72º.

Og til slutt er Z supplerende med 72º, derfor er Z = 180º - 72º = 108º.

Eksempel E

Vinklene δ og 2δ er supplerende, derfor er δ + 2δ = 180º. Noe som betyr at 3δ = 180º, og dette igjen gjør at vi kan skrive: δ = 180º / 3 = 60º.

Eksempel F

Hvis vi kaller vinkelen mellom 100 º og 50 º U, er U en tillegg til begge, fordi det blir observert at summen deres fullfører en plan vinkel.

Det følger umiddelbart at U = 150º. Siden U er motsatt av toppunktet til W, så er W = U = 150º.

Øvelser

Tre øvelser er foreslått nedenfor, i alle av dem må verdien av vinklene A og B i grader finnes, slik at sammenhengene vist i figur 3. Konseptet med supplerende vinkler brukes til å løse dem alle.

Figur 3. Figur for å løse øvelser I, II og III om supplerende vinkler. Alle vinkler er i grader. Kilde: F. Zapata.

- Trening jeg

Bestem verdiene til vinklene A og B fra del I) i figur 3.

Løsning

A og B er supplerende, hvorfra vi har at A + B = 180 grader, deretter blir uttrykket til A og B erstattet som en funksjon av x, slik det vises på bildet:

(x + 15) + (5x + 45) = 180

En førsteordens lineær ligning oppnås. For å løse det er vilkårene gruppert nedenfor:

6 x + 60 = 180

Ved å dele begge medlemmene med 6 har vi:

x + 10 = 30

Og til slutt å løse, følger det at x er verdt 20º.

Nå må vi plugge inn verdien til x for å finne de ønskede vinklene. Dermed er vinkelen A: A = 20 +15 = 35º.

Og for sin del er vinkel B B = 5 * 20 + 45 = 145º.

- Øvelse II

Finn verdiene til vinklene A og B fra del II) i figur 3.

Løsning

Siden A og B er tilleggsvinkler, har vi at A + B = 180 grader. Ved å erstatte uttrykket for A og B som en funksjon av x gitt i del II) i figur 3, har vi:

(-2x + 90) + (8x - 30) = 180

Igjen oppnås en førstegradsligning som vilkårene må være gruppert for:

6 x + 60 = 180

Ved å dele begge medlemmene med 6 har vi:

x + 10 = 30

Fra dette følger at x er verdt 20º.

Med andre ord, vinkelen A = -2 * 20 + 90 = 50º. Mens vinkel B = 8 * 20 - 30 = 130º.

- Øvelse III

Bestem verdiene til vinklene A og B fra del III) i figur 3 (i grønt).

Løsning

Siden A og B er tilleggsvinkler, har vi at A + B = 180 grader. Vi må erstatte uttrykket for A og B som en funksjon av x gitt i figur 3, som vi har:

(5x - 20) + (7x + 80) = 180

12 x + 60 = 180

Ved å dele begge medlemmene med 12 for å løse for verdien av x, har vi:

x + 5 = 15

Til slutt finner man at x er verdt 10 grader.

Nå fortsetter vi med å erstatte for å finne vinkelen A: A = 5 * 10 -20 = 30º. Og for vinkel B: B = 7 * 10 + 80 = 150º

Tilleggsvinkler i to paralleller skåret av en sekant

Figur 4. Vinkler mellom to paralleller kuttet av en sekant. Kilde: F. Zapata.

To parallelle linjer kuttet av en sekant er en vanlig geometrisk konstruksjon i noen problemer. Mellom slike linjer dannes 8 vinkler som vist i figur 4.

Av de 8 vinklene er noen par vinkler supplerende, som vi viser nedenfor:

1. De ytre vinklene A og B, og de ytre vinklene G og H
2. De indre vinklene D og C, og de indre vinklene E og F
3. De ytre vinklene A og G, og de ytre vinklene B og H
4. Interiørvinklene D og E, og interiørene C og F

For fullstendighet heter også vinklene som er like:

1. De interne veksler: D = F og C = E
2. De ytre veksler: A = H og B = G
3. De tilsvarende: A = E og C = H
4. Motsetningene ved toppunktet A = C og E = H
5. De tilsvarende: B = F og D = G
6. Vertex motsats B = D og F = G

- Øvelse IV

Under henvisning til figur 4, som viser vinklene mellom to parallelle linjer kuttet av en sekant, bestemmer verdien av alle vinkler i radianer, vel vitende om at vinkelen A = π / 6 radianer.

Løsning

A og B er komplementære ytre vinkler, så B = π - A = π - π / 6 = 5π / 6

A = E = C = H = π / 6

B = F = D = G = 5π / 6

referanser

1. Baldor, JA 1973. Plane and Space Geometry. Mellomamerikansk kultur.
2. Matematiske lover og formler. Vinkelmålsystemer. Gjenopprettet fra: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane Geometry. Gjenopprettet fra: gutenberg.org.
4. Wikipedia. Tilleggsvinkler. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Transportbånd. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Goniómetro: historie, deler, drift. Gjenopprettet fra: lifeder.com