POLYTROPISK PROSESS: EGENSKAPER, ANVENDELSER OG EKSEMPLER - FYSISK - 2025

En polytropisk prosess er en termodynamisk prosess som oppstår når forholdet mellom trykk P og volum V gitt av PV ⁿ holdes konstant. Eksponenten n er et reelt tall, vanligvis mellom null og uendelig, men i noen tilfeller kan det være negativt.

Verdien av n kalles polytropy-indeksen, og det er viktig å merke seg at under en polytropisk termodynamisk prosess, må indeksen opprettholde en fast verdi, ellers vil ikke prosessen bli betraktet som polytropisk.

Figur 1. Karakteristisk likning av en polytropisk termodynamisk prosess. Kilde: F. Zapata.

Kjennetegn på polytropiske prosesser

Noen karakteristiske tilfeller av polytropiske prosesser er:

- Den isotermiske prosessen (ved konstant temperatur T), der eksponenten er n = 1.

- En isobarisk prosess (ved konstant trykk P), i dette tilfellet n = 0.

- Den isokoriske prosessen (med konstant volum V), som n = + ∞ for.

- Adiabatiske prosesser (ved konstant S-entropi), der eksponenten er n = γ, hvor γ er den adiabatiske konstanten. Denne konstanten er kvotienten mellom varmekapasiteten ved konstant trykk Cp dividert med varmekapasiteten ved konstant volum Cv:

y = Cp / Cv

- Enhver annen termodynamisk prosess som ikke er en av de tidligere sakene. men det møter PV ⁿ = ctte med en reell og konstant polytropisk indeks n vil også være en polytropisk prosess.

Figur 2. Ulike karakteristiske tilfeller av polytropiske termodynamiske prosesser. Kilde: Wikimedia Commons.

applikasjoner

En av de viktigste bruksområdene for den polytropiske ligningen er å beregne arbeidet utført av et lukket termodynamisk system, når det går fra en initialtilstand til en endelig tilstand på en kvasistatisk måte, det vil si etter en rekke likevekttilstander.

Arbeidet med polytropiske prosesser for forskjellige verdier av n

For n ≠ 1

Det mekaniske arbeidet W utført av et lukket termodynamisk system beregnes av uttrykket:

W = ∫P.dV

Hvor P er trykk og V er volum.

Som for en polytropisk prosess, er forholdet mellom trykk og volum:

Vi har det mekaniske arbeidet som er utført under en polytropisk prosess, som begynner i en starttilstand 1 og slutter i slutttilstand 2. Alt dette vises i følgende uttrykk:

C = P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ

Ved å erstatte konstantenes verdi i arbeidsuttrykket, oppnår vi:

W = (P ₂ V ₂ - P ₁ V ₁ ) / (1-n)

I tilfelle at arbeidsstoffet kan modelleres som en ideell gass, har vi følgende tilstandslikning:

PV = mRT

Hvor m er antall mol av den ideelle gassen og R er den universelle gasskonstanten.

For en ideell gass som følger en polytropisk prosess med en polytropy indeks som er forskjellig fra enhet og som passerer fra en tilstand med starttemperatur T _en til en annen tilstand med temperatur T ₂ , arbeidet er gitt ved følgende formel:

W = m R (T ₂ - T ₁ ) / (1-n)

For n → ∞

I henhold til formelen for arbeidet som ble oppnådd i forrige seksjon, har vi at arbeidet med en polytropisk prosess med n = ∞ er null, fordi uttrykket til verket er delt på uendelig, og at resultatet har en tendens til null .

En annen måte å komme frem til dette resultatet er å starte fra forholdet P ₁ V ₁ ⁿ = P ₂ V ₂ ⁿ , som kan skrives om som følger:

(P ₁ / P ₂ ) = (V ₂ / V1) ⁿ

Når vi tar den niende roten i hvert medlem, får vi:

(V ₂ / V1) = (P ₁ / P ₂ ) ^{(1 / n)}

I tilfelle at n → ∞, har vi (V ₂ / V1) = 1, noe som betyr at:

V ₂ = V ₁

Det vil si at volumet ikke endres i en polytropisk prosess med n → ∞. Derfor er volumdifferensialen dV i integrasjonen av mekanisk arbeid 0. Denne typen polytropiske prosesser er også kjent som isokoriske prosesser, eller prosesser med konstant volum.

For n = 1

Igjen har vi uttrykket uttrykket for arbeid:

W = ∫P dV

I tilfelle av en polytropisk prosess med n = 1, er forholdet mellom trykk og volum:

PV = konstant = C

Ved å løse P fra forrige uttrykk og erstatte, har vi gjort arbeidet med å gå fra starttilstand 1 til slutttilstand 2:

Det er å si:

W = C ln (V ₂ / V ₁ ).

Ettersom de innledende og endelige delstatene er godt bestemt, vil også ctte. Det er å si:

C = P ₁ V ₁ = P ₂ V ₂

Til slutt har vi følgende nyttige uttrykk for å finne det mekaniske arbeidet til et lukket polytropisk system der n = 1.

W = P ₁ V ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = P ₂ V ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Hvis arbeidsstoffet består av mol mol ideell gass, kan den ideelle gasslikningen av tilstand brukes: PV = mRT

I dette tilfellet, siden PV ₁ = ctte, har vi at en polytropisk prosess med n = 1 er en prosess ved konstant temperatur T (isotermisk), slik at følgende uttrykk for arbeidet kan oppnås:

W = m RT ₁ ln (V ₂ / V ₁ ) = m RT ₂ ln (V ₂ / V ₁ )

Figur 3. En smeltende istappe, eksempel på en isotermisk prosess. Kilde: Pixabay.

Eksempler på polytropiske prosesser

- Eksempel 1

Anta en sylinder med et bevegelig stempel fylt med en kilo luft. Til å begynne med luften opptar et volum V ₁ = 0,2 m ³ ved et trykk P ₁ = 400 kPa. En polytropisk prosess blir fulgt med n = y = 1,4, hvis endelige tilstand har trykk P ₂ = 100 kPa. Bestem arbeidet som utføres av luften på stempelet.

Løsning

Når polytropyindeksen er lik den adiabatiske konstanten, er det en prosess der arbeidsstoffet (luft) ikke utveksler varme med omgivelsene, og derfor endrer heller ikke entropien.

For luft, en diatomisk ideell gass, har vi:

y = Cp / Cv, med Cp = (7/2) R og Cv = (5/2) R

Så:

y = 7/5 = 1,4

Ved bruk av uttrykk for den polytropiske prosessen kan det endelige volumet av luften bestemmes:

V ₂ = ^{(1 / 1,4)} = 0,54 m ³ .

Nå har vi betingelsene for å anvende formelen for arbeid utført i en polytropisk prosess for n ≠ 1 oppnådd ovenfor:

W = (P ₂ V ₂ - P1 V1) / (1-n)

Å erstatte de aktuelle verdiene vi har:

W = (100 kPa 0,54 m ³ - 400 kPa 0,2 m ³ ) / (1 - 1,4) = 65,4 kJ

- Eksempel 2

Anta den samme sylinderen fra eksempel 1, med et bevegelig stempel fylt med en kilo luft. Opprinnelig opptar luften et volum V1 = 0,2 m ³ ved et trykk P1 = 400 kPa. Men i motsetning til forrige tilfelle, ekspanderer luften isotermisk for å nå et slutttrykk P2 = 100 kPa. Bestem arbeidet som utføres av luften på stempelet.

Løsning

Som sett tidligere er isotermiske prosesser polytropiske prosesser med indeks n = 1, så det er sant at:

P1 V1 = P2 V2

På denne måten kan det endelige volumet enkelt løsnes for å oppnå:

V2 = 0,8 m ³

Deretter bruker vi arbeidsuttrykket som ble oppnådd for saken n = 1, at arbeidet utført av luften på stempelet i denne prosessen er:

W = P1 V1 ln (V2 / V1) = 400000 Pa × 0,2 m ³ ln (0,8 / 0,2) = 110,9 kJ.

referanser

1. Bauer, W. 2011. Fysikk for ingeniørvitenskap og vitenskap. Bind 1. Mc Graw Hill.
2. Cengel, Y. 2012. Termodynamikk. 7. utgave. McGraw Hill.
3. Figueroa, D. (2005). Serie: Fysikk for vitenskap og ingeniørfag. Volum 4. Væsker og termodynamikk. Redigert av Douglas Figueroa (USB).
4. López, C. Den første loven om termodynamikk. Gjenopprettet fra: culturacientifica.com.
5. Knight, R. 2017. Physics for Scientists and Engineering: a Strategy Approach. Pearson.
6. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentals of Physics. 9. utg. Læring.
7. Sevilla University. Termiske maskiner. Gjenopprettet fra: laplace.us.es.
8. Wikiwand. Polytropisk prosess. Gjenopprettet fra: wikiwand.com.