Sc (f, n) = * Δx

Figur 4. Mellomliggende Riemann-sum. Kilde: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Avhengig av hvor punktet t _k ligger i intervallet, kan Riemann summen overvurdere eller undervurdere den nøyaktige verdi av arealet under kurven for funksjonen y = f (x). Med andre ord kan rektanglene enten stikke ut fra kurven eller være litt under den.

Området under kurven

Hovedegenskapen til Riemann-summen, og dens betydning stammer fra, er at hvis antall underavdelinger har en tendens til uendelig, konvergerer resultatet av summen til det bestemte integralet av funksjonen:

Løste øvelser

- Oppgave 1

Beregn verdien av det bestemte integralet mellom a = -2 til b = +2 av funksjonen:

f (x) = x ²

Benytt deg av en Riemann-sum. For å gjøre dette, finn først summen for n vanlige partisjoner i intervallet, og ta deretter den matematiske grensen for at antall partisjoner har en tendens til uendelig.

Løsning

Dette er trinnene som skal følges:

-Først er partisjonsintervallet definert som:

Δx = (b - a) / n.

-Da ser Riemann-summen til høyre som tilsvarer funksjonen f (x) slik:

-Og så erstattes den nøye i sammendraget:

-Det neste trinnet er å skille summene og ta de konstante mengdene som en felles faktor for hver sum. Det er nødvendig å ta med at indeksen er i, derfor blir tallene og begrepene med n betraktet som konstant:

-Hver sum blir evaluert, siden for hver av dem er det passende uttrykk. For eksempel gir den første av summene n:

Endelig er integralen som skal beregnes:

Leseren kan sjekke at dette er det eksakte resultatet, som kan oppnås ved å løse det ubestemte integralet og evaluere integreringsgrensene etter Barrows regel.

- Oppgave 2

Omtrent bestemme området under funksjonen:

f (x) = (1 / √ (2π)) e ^{(-x 2- / 2)}

Skriv inn x = -1 og x = + 1 ved å bruke en sentral Riemann-sum med 10 partisjoner. Sammenlign med det nøyaktige resultatet og estimer prosentvis forskjell.

Løsning

Trinnet eller trinnet mellom to påfølgende diskrete verdier er:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2

Så partisjonen P som rektanglene er definert på ser slik ut:

P = {-1,0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0}

Men siden det som er ønsket er den sentrale summen, vil funksjonen f (x) evalueres i midtpunktene til delintervaller, det vil si i settet:

T = {-0,9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0,1; 0,3; 0,5; 0,7; 0,9}.

Den (sentrale) Riemann-summen ser slik ut:

S = f (-0,9) * 0,2 + f (-0,7) * 0,2 + f (-0,5) * 0,2 + … + f (0,7) * 0,2 + f (0,9) * 0,2

Siden funksjonen f er symmetrisk, er det mulig å redusere summen til bare 5 termer, og resultatet multipliseres med to:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0.2 * {0.397+ 0.381+ 0.352+ 0.312+ 0.266} = 0.683

Funksjonen gitt i dette eksemplet er ingen ringere enn den velkjente Gauss-bjellen (normalisert, med gjennomsnitt lik null og standardavvik en). Området under kurven i intervallet for denne funksjonen er kjent for å være 0,6827.

Figur 5. Område under en gaussisk bjelle tilnærmet en Riemann-sum. Kilde: F. Zapata.

Dette betyr at den omtrentlige løsningen med bare 10 termer samsvarer med den eksakte løsningen med tre desimaler. Prosentvis feil mellom omtrentlig og nøyaktig integral er 0,07%.

referanser

1. Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Integrert kalkulus (Illustrert utg.). Madrid: ESIC-redaksjon.
2. Unican. Historie om integralbegrepet. Gjenopprettet fra: repositorio.unican.es
3. UIS. Riemann oppsummerer. Gjenopprettet fra: matematicas.uis.edu.co
4. Wikipedia. Riemann sum. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Riemann-integrasjon. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com