KONSTANT FOR INTEGRASJON: MENING, BEREGNING OG EKSEMPLER - MATTE - 2025

Den integrasjonskonstant er en tilleggsverdi til beregning av primitiv funksjon eller integral, tjener det til å representere de løsningene som utgjør den primitive av en funksjon. Det uttrykker en iboende tvetydighet der enhver funksjon har et uendelig antall primitiver.

Hvis vi for eksempel tar funksjonen: f (x) = 2x + 1 og vi får dens antiderivativ:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ; Hvor C er integrasjonskonstanten og grafisk representerer den vertikale translasjonen mellom de uendelige mulighetene til det primitive. Det er riktig å si at (x ² + x) er et av primitivene til f (x).

Kilde: forfatter

På samme måte kan vi definere (x ² + x + C ) som den primitive til f (x).

Omvendt eiendom

Det kan bemerkes at når man avleder uttrykket (x ² + x), oppnås funksjonen f (x) = 2x + 1. Dette skyldes den inverse egenskapen som er mellom derivasjonen og integrasjonen av funksjoner. Denne egenskapen gjør det mulig å få integrasjonsformler fra differensieringen. Som tillater bekreftelse av integraler gjennom de samme derivater.

Kilde: forfatter

Imidlertid (x ² + x) er ikke den eneste funksjonen derivatet er lik (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C ) / dx = 2x + 1

Hvor 1, 2, 3 og 4 representerer bestemte primitiver av f (x) = 2x + 1. Mens 5 representerer det ubestemte eller primitive integralet til f (x) = 2x + 1.

Kilde: forfatter

Primitivene til en funksjon oppnås gjennom antiderivering eller integrert prosess. Hvor F vil være en primitiv av f hvis følgende er sant

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = konstant for integrasjon
• F '(x) = f (x)

Det kan sees at en funksjon har et enkelt derivat, i motsetning til dets uendelige primitiver som følger av integrasjon.

Det ubestemte integralet

∫ f (x) dx = F (x) + C

Det tilsvarer en familie av kurver med samme mønster, som opplever inkongruitet i verdien av bildene til hvert punkt (x, y). Hver funksjon som oppfyller dette mønsteret vil være en individuell primitiv og settet med alle funksjoner er kjent som et ubestemt integral.

Verdien av integrasjonskonstanten vil være den som skiller hver funksjon i praksis.

Den integrasjonskonstant antyder en vertikal forskyvning i alle diagrammer som tilkjennegir primitivene av en funksjon. Hvor parallelliteten mellom dem blir observert, og det faktum at C er verdien av forskyvningen.

I henhold til vanlig praksis betegnes integrasjonskonstanten med bokstaven "C" etter et tillegg, selv om det i praksis er likegyldig om konstanten blir lagt til eller trukket fra. Den reelle verdien kan bli funnet på forskjellige måter under forskjellige innledende forhold .

Andre betydninger av konstant for integrasjon

Vi har allerede snakket om hvordan konstant for integrering blir brukt i grenen av integrert kalkulatur ; Representere en familie av kurver som definerer det ubestemte integralet. Men mange andre vitenskaper og grener har tildelt veldig interessante og praktiske verdier for konstanten av integrasjon, som har gjort det lettere å utvikle flere studier.

I fysikk kan integrasjonskonstanten ta flere verdier avhengig av datatypen. Et veldig vanlig eksempel er å kjenne til funksjonen V (t) som representerer hastigheten til en partikkel mot tiden t. Det er kjent at når man beregner en primitiv av V (t) oppnås funksjonen R (t) som representerer posisjonen til partikkelen mot tiden.

Den integrasjonskonstant vil representere verdien av utgangsposisjon, det vil si ved tidspunktet t = 0.

På samme måte er kjent funksjonen A (t) som representerer akselerasjonen av partikkelen mot tiden. Primitivet til A (t) vil resultere i funksjonen V (t), der integrasjonskonstanten er verdien av den første hastigheten V ₀ .

I økonomi , ved å oppnå ved integrering det primitive av en kostnadsfunksjon. Den integrasjonskonstant vil representere de faste kostnadene. Og så mange andre applikasjoner som fortjener differensial- og integralberegning.

Hvordan beregnes integrasjonskonstanten?

For å beregne integrasjonskonstanten vil det alltid være nødvendig å kjenne de opprinnelige forholdene . Som har ansvaret for å definere hvilke av de mulige primitivene som er den tilsvarende.

I mange applikasjoner blir den behandlet som en uavhengig variabel på tidspunktet (t), der konstanten C tar verdiene som definerer de opprinnelige forholdene i det aktuelle tilfellet.

Hvis vi tar det første eksemplet: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

En gyldig startbetingelse kan være å forutse at grafen går gjennom en spesifikk koordinat. For eksempel vet vi at den primitive (x ² + x + C) går gjennom punktet (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; dette er den generelle løsningen

F (1) = 2

Vi erstatter den generelle løsningen i denne likestillingen

F (1) = (1) ² + (1) + C = 2

Derfra følger det lett at C = 0

På denne måten er den tilsvarende primitive for dette tilfellet F (x) = x ² + x

Det er flere typer numeriske øvelser som jobber med konstanter for integrering . Faktisk slutter ikke differensial- og integralberegningen å bli brukt i nåværende undersøkelser. På forskjellige akademiske nivåer kan de bli funnet; fra første beregning, gjennom fysikk, kjemi, biologi, økonomi, blant andre.

Det blir også verdsatt i studiet av differensialligninger , der integrasjonskonstanten kan ta forskjellige verdier og løsninger, dette på grunn av de flere derivasjoner og integrasjoner som utføres i denne saken.

eksempler

Eksempel 1

1. En kanon som ligger 30 meter høy skyter et prosjektil loddrett oppover. Det er kjent at prosjektilets begynnelseshastighet er 25 m / s. Bestemme seg for:

• Funksjonen som definerer prosjektilets posisjon med hensyn til tid.
• Tidspunktet for flyging eller øyeblikkelig tid når partikkelen treffer bakken.

Det er kjent at i en rettlinjet bevegelse jevnt variert er akselerasjonen en konstant verdi. Dette er tilfelle av prosjektiloppskytingen, hvor akselerasjonen vil være tyngdekraften

g = - 10 m / s ²

Det er også kjent at akselerasjonen er det andre derivatet av stillingen, noe som indikerer en dobbel integrasjon i oppløsningen av øvelsen, og dermed oppnå to integrasjonskonstanter.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

De opprinnelige forholdene for øvelsen indikerer at starthastigheten er V ₀ = 25 m / s. Dette er hastigheten på tidspunktet for t = 0. På denne måten er den tilfreds med at:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ og C- ₁ = 25

Med hastighetsfunksjonen definert

V (t) = -10t + 25; Likheten kan observeres med MRUV-formelen (V _f = V ₀ + axt)

På en homolog måte fortsetter vi med å integrere hastighetsfunksjonen for å oppnå uttrykket som definerer posisjonen:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (stilling primitiv)

Utgangsposisjonen R (0) = 30 m er kjent. Deretter beregnes prosjektilets primitive.

R (0) = 30 m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂ . Hvor C ₂ = 30

Eksempel 2

1. Finn den primitive f (x) som tilfredsstiller de opprinnelige betingelsene:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

Med informasjonen til det andre derivatet f '' (x) = 4 begynner antideriveringsprosessen

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Da vi kjenner tilstanden f '(2) = 2, fortsetter vi:

4 (2) + C ₁ = 2

C ₁ = -6 og f '(x) = 4x - 8

Vi fortsetter på samme måte for den andre integrasjonen

f (x) = ∫f '(x) dx
∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Den opprinnelige tilstanden f (0) = 7 er kjent, og vi fortsetter:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 og f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ² ; f '(0) = 6; f (0) = 3

På lignende måte som det forrige problemet, definerer vi de første derivatene og den opprinnelige funksjonen fra de opprinnelige forholdene.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x ² ) dx = (x ^3- / 3) + C ₁

Med betingelsen f '(0) = 6 fortsetter vi:

(0 ^3/3 ) + C ₁ = 6; Hvor C ₁ = 6 og f '(x) = (x ^3- / 3) + 6

Så integrasjonens andre konstant

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ dx = (x ⁴ /12) + 6x + C ₂

Den opprinnelige tilstanden f (0) = 3 er kjent, og vi fortsetter:

+ 6 (0) + C ₂ = 3; Hvor C ₂ = 3

Dermed oppnår vi den primitive spesielle

f (x) = (x ⁴ /12) + 6x + 3

Eksempel 3

1. Definer de primitive funksjonene gitt derivater og et punkt på grafen:

• dy / dx = 2x - 2 som går gjennom punktet (3, 2)

Det er viktig å huske at derivater refererer til helningen på linjetangenten til kurven på et gitt punkt. Der det ikke er riktig å anta at grafen til derivatet berører det angitte punktet, siden dette hører til grafen til den primitive funksjonen.

På denne måten uttrykker vi differensialligningen som følger:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Bruke den opprinnelige betingelsen:

2 = (3) ² - 2 (3) + C

C = -1

Det oppnås: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1 som går gjennom punktet (0, 2)

Vi uttrykker differensialligningen som følger:

Bruke den opprinnelige betingelsen:

2 = (0) ² - 2 (0) + C

C = 2

Vi oppnår: f (x) = x ³ - x + 2

Foreslåtte øvelser

Oppgave 1

1. Finn den primitive f (x) som tilfredsstiller de opprinnelige betingelsene:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Oppgave 2

1. En ballong som stiger opp med en hastighet av 16 ft / s, slipper en pose med sand fra en høyde på 64 fot over bakkenivå.

• Definer flytiden
• Hva vil vektoren V _{f være} når den treffer bakken?

Oppgave 3

1. Figuren viser akselerasjonstidsgrafen til en bil som beveger seg i den positive retningen til x-aksen. Bilen kjørte med en konstant hastighet på 54 km / t da sjåføren satte bremsene for å stoppe på 10 sekunder. Fastslå:

• Den første akselerasjonen av bilen
• Hastigheten på bilen ved t = 5s
• Forskyvningen av bilen under bremsing

Kilde: forfatter

Oppgave 4

1. Definer de primitive funksjonene gitt derivater og et punkt på grafen:

• dy / dx = x som går gjennom punktet (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1 som går gjennom punktet (0, 0)
• dy / dx = -x + 1 som går gjennom punktet (-2, 2)

referanser

1. Integrert kalkyle. De ubestemte integrerings- og integrasjonsmetodene. Wilson, Velásquez Bastidas. Magdalena University 2014
2. Stewart, J. (2001). Beregning av en variabel. Tidlige transcendentals. Mexico: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). Matematikk VI. Integrert kalkyle. Mexico: Pearson Education.
4. Fysikk I. Mc Graw hill