HVA ER RANGERING I STATISTIKK? (MED EKSEMPLER) - DUDAS - 2026

Den rekkevidde , rekkevidde eller amplitude, i statistikk, er forskjellen (subtraksjon) mellom maksimumsverdien og minimumsverdien til et sett av data fra en prøve eller en populasjon. Hvis området er representert med bokstaven R og dataene er representert med x, er formelen for området ganske enkelt:

R = x _maks - x _min

Hvor x _maks er maksimal verdi på dataene og x _min er minimum.

Figur 1. Dataområde som tilsvarer befolkningen i Cádiz de siste to århundrene. Kilde: Wikimedia Commons.

Konseptet er veldig nyttig som et enkelt mål på spredning for raskt å sette pris på variasjonen i dataene, siden det indikerer forlengelsen eller lengden på intervallet der disse finnes.

Anta for eksempel at høyden til en gruppe av 25 mannlige førsteårsingeniørstudenter ved et universitet blir målt. Den høyeste studenten i gruppen er 1,93 moh og den korteste 1,67 moh. Dette er ekstreme verdier for eksempeldataene, derfor er deres vei:

R = 1,93 - 1,67 m = 0,26 m eller 26 cm.

Høyden på studentene i denne gruppen er fordelt på dette området.

Fordeler og ulemper

Omfang er som vi sa før, et mål på hvor spredt dataene er. Et lite område indikerer at dataene er mer eller mindre nær og spredningen er lav. På den annen side indikerer et større område at dataene er mer spredt.

Fordelene med å beregne rekkevidden er åpenbare: det er veldig enkelt og raskt å finne, ettersom det er en enkel forskjell.

Den har også de samme enhetene som dataene den fungerer med, og konseptet er veldig enkelt å tolke for enhver observatør.

I eksemplet med høyden til ingeniørstudenter, hvis rekkevidden hadde vært 5 cm, vil vi si at studentene alle er omtrent like store. Men med en rekkevidde på 26 cm, antar vi med en gang at det er elever i alle mellomhøyder i prøven. Er denne antagelsen alltid riktig?

Ulemper med rekkevidde som et mål på spredning

Hvis vi ser nøye på, kan det være at i vårt utvalg av 25 ingeniørstudenter, bare en av dem måler 1,93 og de resterende 24 har høyder nær 1,67 moh.

Og likevel forblir rekkevidden det samme, selv om det motsatte er fullt mulig: at høyden til flertallet er rundt 1,90 m og bare den ene er 1,67 m.

I begge tilfeller er distribusjonen av dataene ganske forskjellig.

Ulempene med rekkevidde som et mål for spredning er fordi det bare bruker ekstreme verdier og ignorerer alle andre. Siden mesteparten av informasjonen går tapt, har du ingen anelse om hvordan eksempeldataene blir distribuert.

Et annet viktig kjennetegn er at utvalget for prøven aldri avtar. Hvis vi legger til mer informasjon, det vil si at vi vurderer mer data, øker rekkevidden eller forblir den samme.

Og i alle fall er det bare nyttig når du arbeider med små prøver, det anbefales ikke å bruke det som et mål på spredning i store prøver.

Det som må gjøres, er å komplettere den med beregningen av andre spredningstiltak som tar hensyn til informasjonen som er gitt av de totale dataene: interkvartilt område, varians, standardavvik og variasjonskoeffisient.

Interquartile rekkevidde, kvartiler og arbeidet eksempel

Vi har innsett at svakheten i området som et mål for spredning er at det bare benytter seg av ekstreme verdier for datadistribusjonen, utelater de andre.

For å unngå denne ulempen brukes kvartiler: tre verdier kjent som posisjonstiltak.

De distribuerer de ugrupperte dataene i fire deler (andre mye brukte posisjonstiltak er desiler og persentiler). Dette er dens egenskaper:

-Den første kvartilen Q ₁ er verdien av dataene slik at 25% av dem alle er mindre enn Q ₁ .

-Den andre kvartilen Q ₂ er median for distribusjonen, noe som betyr at halvparten (50%) av dataene er mindre enn denne verdien.

Endelig indikerer tredje kvartil Q ₃ at 75% av dataene er mindre enn Q ₃ .

Deretter defineres interkvartilområdet eller interkvartilområdet som forskjellen mellom den tredje kvartil Q ₃ og den første kvartil Q ₁ av dataene:

Interkvartilt område = R _Q = Q ₃ - Q ₁

På denne måten påvirkes ikke verdien av området R _Q av ekstreme verdier. Av denne grunn er det tilrådelig å bruke det når du arbeider med skjevfordeling, for eksempel de til veldig høye eller veldig korte studenter som er beskrevet ovenfor.

- Beregning av kvartiler

Det er flere måter å beregne dem på, her vil vi foreslå en, men i alle fall er det nødvendig å kjenne ordrenummeret "N _o ", som er stedet som den respektive kvartilen opptar i distribusjonen.

Det vil si hvis for eksempel betegnelsen som tilsvarer Q ₁ er den andre, den tredje eller den fjerde og så videre av distribusjonen.

Første kvartil

N _eller (Q ₁ ) = (N + 1) / 4

Andre kvartil eller median

N _eller (Q ₂ ) = (N + 1) / 2

Tredje kvartil

N _eller (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4

Hvor N er antall data.

Medianen er verdien som er midt i distribusjonen. Hvis antall data er rart, er det ikke noe problem å finne den, men hvis den er jevn, blir de to sentrale verdiene gjennomsnittet til å bli en.

Når ordrenummeret er beregnet, følges en av disse tre reglene:

-Hvis det ikke er noen desimaler, blir dataene som er angitt i distribusjonen søkt, og dette vil være det søkt kvartil.

-Når ordrenummeret er halvveis mellom to, blir dataene som indikeres av heltallsdelen gjennomsnittet av følgende data, og resultatet er den tilsvarende kvartilen.

-I alle andre tilfeller er det avrundet til nærmeste heltall, og det vil være posisjonen til kvartilen.

Jobbet eksempel

På en skala fra 0 til 20, oppnådde en gruppe på 16 matte I-studenter følgende karakterer (poeng) på en midtveiseksamen:

16, 10, 12, 8, 9, 15, 18, 20, 9, 11, 1, 13, 17, 9, 10, 14

Finne:

a) Omfanget eller omfanget av dataene.

b) Verdiene til kvartilene Q ₁ og Q ₃

c) Interkvartilområdet.

Figur 2. Har resultatene på denne matteprøven så stor variasjon? Kilde: Pixabay.

Løsning på

Den første tingen å gjøre for å finne ruten er å bestille dataene i økende eller synkende rekkefølge. For eksempel i økende rekkefølge har du:

1, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20

Ved å bruke formelen gitt i begynnelsen: R = x _maks - x _min

R = 20 - 1 poeng = 19 poeng.

I følge resultatet har disse rangeringene en stor spredning.

Løsning b

N = 16

N _eller (Q ₁ ) = (N + 1) / 4 = (16 + 1) / 4 = 17/4 = 4,25

Det er et tall med desimaler, hvis heltal er 4. Så går vi til fordelingen, vi ser etter dataene som inntar fjerdeplassen og verdien av den er gjennomsnittet med den på femte plassering. Siden de begge er 9, er gjennomsnittet også 9 og så:

Q ₁ = 9

Nå gjentar vi prosedyren for å finne _{3. spørsmål} :

N _eller (Q ₃ ) = 3 (N + 1) / 4 = 3 (16 +1) / 4 = 12,75

Igjen er det en desimal, men siden den ikke er halvveis, blir den avrundet til 13. Den søkt kvartil inntar den trettende stillingen og er:

Spørsmål ₃ = 16

Løsning c

R _Q = Q ₃ - Q ₁ = 16 - 9 = 7 poeng.

Som, som vi kan se, er mye mindre enn dataområdet som er beregnet i seksjon a), fordi minimumsscore var 1 poeng, en verdi mye lenger fra resten.

referanser

1. Berenson, M. 1985. Statistikk for ledelse og økonomi. Interamericana SA
2. Canavos, G. 1988. Probability and Statistics: Applications and Methods. McGraw Hill.
3. Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. Åttende. Edition. Cengage.
4. Eksempler på kvartiler. Gjenopprettet fra: matematicas10.net.
5. Levin, R. 1988. Statistikk for administratorer. Andre. Edition. Prentice Hall.
6. Walpole, R. 2007. Probability and Statistics for Engineering and Sciences. Pearson.