SARRUS-REGEL: HVA DEN BESTÅR AV OG TYPER DETERMINANTER - KULTURORDFORRÅD - 2026

Den regel Sarrus brukes til å beregne et resultat av 3 x 3-determinanter. Disse brukes til å løse lineære ligninger og finne ut om de er kompatible.

Kompatible systemer gjør det lettere å få tak i løsningen. De brukes også til å bestemme om sett med vektorer er lineært uavhengige og for å danne grunnlaget for vektorområdet.

Disse applikasjonene er basert på matrisenes invertibilitet. Hvis en matrise er regelmessig, er dens determinant forskjellig fra 0. Hvis den er entall, er dens determinant lik 0. Determinanter kan bare beregnes i firkantede matriser.

For å beregne matriser av hvilken som helst rekkefølge, kan Laplaces teorem brukes. Dette teoremet lar oss forenkle matriser med høye dimensjoner, i summer av små determinanter som vi dekomponerer fra hovedmatrisen.

Den sier at determinanten til en matrise er lik summen av produktene i hver rad eller kolonne, ganger bestemmelsesstedet for dens tilstøtende matrise.

Dette reduserer determinantene slik at en determinant av grad n blir n determinanter for n-1. Hvis vi bruker denne regelen suksessivt, kan vi skaffe determinanter for dimensjon 2 (2 × 2) eller 3 (3 × 3), der beregningen er mye enklere.

Sarrus-regel

Pierre Frederic Sarrus var en fransk matematiker fra 1800-tallet. De fleste av hans matematiske avhandlinger er basert på metoder for å løse ligninger og beregningen av variasjoner, innen numeriske ligninger.

I en av sine avtaler løste han en av de mest komplekse gåtene i mekanikken. For å løse problemene med de artikulerte stykkene introduserte Sarrus transformasjonen av alternative rettlinjede bevegelser, i ensartede sirkulære bevegelser. Dette nye systemet er kjent som Sarrus-mekanismen.

Forskningen som ga denne matematikeren mest berømmelse var der han introduserte en ny metode for å beregne determinanter, i artikkelen "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (Ny metode for å løse ligninger), som ble publisert i år 1833. Denne måten å løse lineære ligninger er kjent som Sarrus 'regel.

Sarrus 'regel lar oss beregne determinanten til en 3 × 3-matrise, uten å måtte bruke Laplaces teorem, og introdusere en mye enklere og mer intuitiv metode. For å sjekke verdien av Sarrus sin regel, tar vi hvilken som helst matrise av dimensjon 3:

Beregningen av dens determinant ville bli utført ved å bruke produktet fra hoveddiagonalene, og trekke fra de inverse diagonalene. Dette vil være som følger:

Sarrus 'regel lar oss få et mye enklere syn når vi beregner diagonalene til determinanten. Det ville bli forenklet ved å legge de to første kolonnene bak på matrisen. På denne måten sees det tydeligere hvilke hoveddiagonaler som er og omvendt for beregning av produktet.

Gjennom dette bildet kan vi se bruken av Sarrus regel, vi inkluderer rad 1 og 2, under den grafiske representasjonen av den innledende matrisen. På denne måten er hoveddiagonalene de tre diagonalene som vises først.

De tre omvendte diagonalene er på sin side de som vises først bak.

På denne måten vises diagonalene på en mer visuell måte, uten å komplisere oppløsningen til determinanten, og prøve å finne ut hvilke elementer i matrisen som hører til hver diagonal.

Som det vises på bildet, velger vi diagonalene og beregner det resulterende produktet av hver funksjon. Diagonalene som vises i blått er de som legger opp. Til summen av disse trekker vi verdien av diagonalene som vises i rødt.

For å gjøre komprimering enklere kan vi bruke et numerisk eksempel, i stedet for å bruke algebraiske termer og undertermer.

Hvis vi tar en 3 × 3-matrise, for eksempel:

For å anvende Sarrus sin regel, og løse den på en mer visuell måte, bør vi inkludere rad 1 og 2, som henholdsvis rad 4 og 5. Det er viktig å holde rad 1 i 4. plassering, og rad 2 i 5. plassering. Siden hvis vi bytter dem, vil ikke Sarrus-regelen være effektiv.

For å beregne determinanten vil matrisen vår være som følger:

For å fortsette med beregningen vil vi multiplisere elementene i hoveddiagonalene. Etterkommere fra venstre vil ha et positivt tegn; mens de inverse diagonalene, som starter fra høyre, har et negativt tegn.

I dette eksemplet ville de blå ha et positivt tegn og de røde med et negativt tegn. Den endelige beregningen av Sarrus-regelen ville se slik ut:

Typer determinanter

Bestemmende for dimensjon 1

Hvis dimensjonen til matrisen er 1, ser matrisen slik ut: A = (a)

Derfor vil determinanten være som følger: det (A) = -A- = a

Oppsummert er determinanten for matrise A lik den absolutte verdien av matrise A, som i dette tilfellet er en.

Bestemmende for dimensjon 2

Hvis vi går over til matriser av dimensjon 2, får vi matriser av typen:

Der determinanten er definert som:

Oppløsningen til denne determinanten er basert på multiplikasjonen av dens viktigste diagonal, og trekker fra produktet av den inverse diagonalen.

Som en mnemonic kan vi bruke følgende diagram til å huske dens determinant:

Bestemmende for dimensjon 3

Hvis dimensjonen til matrisen er 3, vil den resulterende matrisen være av denne typen:

Determinanten for denne matrisen vil bli løst gjennom Sarrus 'regel på denne måten:

referanser

1. Jenny Olive (1998) Maths: A Student's Survival Guide. Cambridge University Press.
2. Richard J. Brown (2012) 30-sekunders matematikk: De 50 mest sinnsutvidende teoriene i matematikk. Ivy Press Limited.
3. Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann.
4. Awol Assen (2013) En studie om beregning av determinanter for en 3 × 3-matrise. Lap Lambert Academic Publishing.
5. Anthony Nicolaides (1994) Determinants & Matrices. Bestått publisering.
6. Jesse Russell (2012) Rule of Sarrus.
7. M. Casteleiro Villalba (2004) Introduksjon til lineær algebra. ESIC-redaksjon.