TELLETEKNIKKER: TEKNIKKER, APPLIKASJONER, EKSEMPLER, ØVELSER - DUDAS - 2026

De telleteknikker er en serie av sannsynlighets metoder for å telle antall mulige arrangementer innenfor et bestemt eller flere sett med objekter. Disse brukes når man gjør regnskapet manuelt blir komplisert på grunn av det store antallet objekter og / eller variabler.

For eksempel er løsningen på dette problemet veldig enkel: forestill deg at sjefen din ber deg om å telle de siste produktene som har kommet den siste timen. I dette tilfellet kan du telle produktene en etter en.

Tenk deg imidlertid at problemet er dette: sjefen din ber deg om å telle hvor mange grupper på 5 produkter av samme type som kan dannes med de som har kommet den siste timen. I dette tilfellet er beregningen komplisert. For denne typen situasjoner brukes de såkalte telleteknikkene.

Disse teknikkene er forskjellige, men de viktigste er delt inn i to grunnleggende prinsipper, som er multiplikativet og tilsetningsstoffet; permutasjoner og kombinasjoner.

Multiplikasjonsprinsipp

applikasjoner

Multiplikasjonsprinsippet, sammen med tilsetningsstoffet, er grunnleggende for å forstå virkningen av telleteknikker. Når det gjelder multiplikativet, består det av følgende:

La oss forestille oss en aktivitet som involverer et spesifikt antall trinn (vi markerer totalen som “r”), der det første trinnet kan gjøres på N1-måter, det andre trinnet i N2, og trinnet “r” på Nr måter. I dette tilfellet kan aktiviteten utføres fra antall figurer som følger av denne operasjonen: N1 x N2 x ……… .x Nr former

Derfor kalles dette prinsippet multiplikativ, og det innebærer at hvert eneste av trinnene som er nødvendige for å utføre aktiviteten, må utføres etter hverandre.

Eksempel

La oss forestille oss en person som ønsker å bygge en skole. For å gjøre dette må du vurdere at basen til bygningen kan bygges på to forskjellige måter, sement eller betong. Når det gjelder veggene, kan de være laget av adobe, sement eller murstein.

Når det gjelder taket, kan det være laget av sement eller galvanisert plate. Endelig kan det endelige maleriet bare gjøres på en måte. Spørsmålet som melder seg er følgende: Hvor mange måter har han å bygge skolen på?

Først vurderer vi antall trinn, som vil være basen, veggene, taket og malingen. Totalt 4 trinn, så r = 4.

Følgende vil være å liste over N-ene:

N1 = måter å bygge basen på = 2

N2 = måter å bygge veggene på = 3

N3 = måter å lage taket på = 2

N4 = måter å male på = 1

Derfor vil antallet mulige former beregnes ved å bruke formelen beskrevet over:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 måter å gjøre skole på.

Tilsetningsprinsipp

applikasjoner

Dette prinsippet er veldig enkelt, og det består i det faktum at når det er flere alternativer for å utføre den samme aktiviteten, består de mulige måtene av summen av de forskjellige mulige måtene å utføre alle alternativene.

Med andre ord, hvis vi ønsker å utføre en aktivitet med tre alternativer, der det første alternativet kan gjøres på M måter, det andre på N måter og det siste på W måter, kan aktiviteten gjøres på: M + N + ……… + W former.

Eksempel

La oss forestille oss denne gangen en person som ønsker å kjøpe en tennisracket. For å gjøre dette har du tre merker å velge mellom: Wilson, Babolat eller Head.

Når du drar til butikken ser du at Wilson-racketen kan kjøpes med håndtaket i to forskjellige størrelser, L2 eller L3 i fire forskjellige modeller, og det kan være spredt eller avspent.

Babolat-racketen har derimot tre håndtak (L1, L2 og L3), det er to forskjellige modeller, og den kan også strammes eller strykes.

Head-racketen er på sin side bare tilgjengelig med ett håndtak, L2, i to forskjellige modeller og bare unstrung. Spørsmålet er: Hvor mange måter må denne personen kjøpe racketen?

M = Antall måter å velge en Wilson-racket

N = Antall måter å velge en Babolat-racket på

W = Antall måter å velge en hodetracket

Vi utfører multiplikatorprinsippet:

M = 2 x 4 x 2 = 16 former

N = 3 x 2 x 2 = 12 måter

W = 1 x 2 x 1 = 2 måter

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 måter å velge racket på.

For å vite når du skal bruke multiplikasjonsprinsippet og tilsetningsstoffet, trenger du bare å se på om aktiviteten har en rekke trinn å utføre, og om det er flere alternativer, tilsetningsstoffet.

Kombinasjonsmuligheter

applikasjoner

For å forstå hva en permutasjon er, er det viktig å forklare hva en kombinasjon er, slik at du kan skille dem og vite når du skal bruke dem.

En kombinasjon vil være et arrangement av elementer der vi ikke er interessert i stillingen som hver og en av dem inntar.

En permutasjon, derimot, vil være en ordning med elementer der vi er interessert i stillingen som hver og en av dem inntar.

La oss sette et eksempel for å forstå forskjellen bedre.

Eksempel

La oss tenke oss en klasse med 35 elever, og med følgende situasjoner:

1. Læreren vil at tre av elevene hans skal hjelpe ham med å holde klasserommet rent eller dele ut materiale til de andre elevene når det trengs.
2. Læreren ønsker å utnevne klassedelegatene (en president, en assistent og en finansmann).

Løsningen vil være følgende:

1. La oss forestille oss at Juan, María og Lucía ved å stemme blir valgt til å rense klassen eller levere materialene. Det er klart at andre grupper på tre kunne ha blitt dannet, blant de 35 mulige studentene.

Vi må spørre oss selv følgende: er rekkefølgen eller stillingen til hver student viktig når de velger dem?

Hvis vi tenker på det, ser vi at det virkelig ikke er viktig, siden gruppen vil ha ansvaret for de to oppgavene likt. I dette tilfellet er det en kombinasjon, siden vi ikke er interessert i elementenes plassering.

1. La oss forestille oss at Juan er valgt som president, Maria som assistent og Lucia som finansmann.

I så fall, vil ordren være viktig? Svaret er ja, for hvis vi endrer elementene, endres resultatet. Det vil si at hvis vi i stedet for å stille Juan som president, setter ham som assistent, og María som president, ville det endelige resultatet endre seg. I dette tilfellet er det en permutasjon.

Når forskjellen er forstått, kommer vi til å skaffe formlene for permutasjoner og kombinasjoner. Først må vi imidlertid definere begrepet "n!" (en factorial), siden den vil bli brukt i de forskjellige formlene.

n! = produktet fra 1 til n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Bruker den med reelle tall:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Formelen for permutasjonene vil være følgende:

nPr = n! / (nr)!

Med den kan vi finne ut arrangementene der rekkefølgen er viktig, og hvor n-elementene er forskjellige.

kombinasjoner

applikasjoner

Som vi har kommentert tidligere, er kombinasjonene arrangementene der vi ikke bryr oss om elementenes plassering.

Formelen er følgende:

nCr = n! / (nr)! r!

Eksempel

Hvis det er 14 elever som vil melde seg frivillig til å rengjøre klasserommet, hvor mange rengjøringsgrupper kan dannes hvis hver gruppe må være 5 personer?

Løsningen vil derfor være følgende:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002-grupper

Løste øvelser

Oppgave 1

Kilde: Pixabay.com

Natalia blir bedt av moren sin om å gå til en matbutikk og kjøpe henne en brus for å avkjøle seg. Når Natalia ber kontoristen om en drink, forteller han henne at det er fire smaker av brus, tre typer og tre størrelser.

Smakene til brus kan være: cola, sitron, appelsin og mynte.

Typene cola kan være: vanlig, sukkerfri, koffeinfri.

Størrelsene kan være: små, mellomstore og store.

Natalias mor oppga ikke hva slags brus hun ville ha. Hvor mange måter må Natalia kjøpe drikken?

Løsning

M = Størrelse og type nummer som du kan velge når du velger cola.

N = Antall størrelse og type du kan velge når du skal velge sitronbrus.

W = Størrelse og type nummer som du kan velge når du skal velge appelsinbrus.

Y = Størrelse og type nummer som du kan velge når du velger mintbrus.

Vi utfører multiplikatorprinsippet:

M = 3 × 3 = 9 måter

N = 3 × 3 = 9 måter

W = 3 × 3 = 9 måter

Y = 3 × 3 = 9 måter

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 måter å velge brus på.

Oppgave 2

Kilde: pixabay.com

En sportsklubb reklamerer for gratis tilgangsverksteder for barn å lære å skate. 20 barn er påmeldt, så to grupper på ti personer bestemmer seg for å dele dem slik at instruktørene kan gi klassene mer komfortabelt.

På sin side bestemmer de seg for å tegne i hvilken gruppe hvert barn vil falle. Hvor mange forskjellige grupper kunne et barn komme inn?

Løsning

I dette tilfellet er måten å finne et svar på gjennom kombinasjonsteknikken, hvis formel var: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (antall barn)

r = 10 (gruppestørrelse)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15 x 14 x 13 x 12 x 11 x 10! / 10! 10! = 184 756 grupper.

referanser

1. Jeffrey, RC, Probability and the Art of Judgment, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, "En introduksjon til sannsynlighetsteori og dens anvendelser", (Vol 1), 3. utg., (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Logiske fundamenter og måling av subjektiv sannsynlighet". Acta Psychologica.
4. Hogg, Robert V .; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004). Introduksjon til matematisk statistikk (6. utg.). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) The Science of Conjecture: Evidence and Probability Before Pascal, Johns Hopkins University Press.