DERIVAT AV COTANGENT: BEREGNING, BEVIS, ØVELSER - MATTE - 2025

Den deriverte av cotangens er lik den motsatte av kvadratet av cosekans "-Csc ² ". Denne formelen adlyder derivaterens lover ved definisjon og differensiering av trigonometriske funksjoner. Det er betegnet som følger:

d (ctg u) = -csc ² u. du

Hvor "du" symboliserer uttrykket avledet fra argumentfunksjonen, med hensyn til den uavhengige variabelen.

Kilde: Pixabay.com

Hvordan beregnes det?

Fremgangsmåten for å utvikle disse derivatene er ganske enkel. Det er nok bare å identifisere argumentet og typen funksjon det representerer.

For eksempel har uttrykket Ctg (f / g) en inndeling i argumentet. Dette vil kreve en differensiering angående U / V, etter å ha utviklet derivatet til kotangenten.

Cotangenten er gjensidig av tangenten. Algebraisk betyr dette at:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Det er feil å si at cotangentfunksjonen er "invers" av tangenten. Dette er fordi den inverse tangensfunksjon per definisjon er buetangens.

(Tg ^-1 x) = arktg x

I følge Pythagorean trigonometri er kotangenten involvert i følgende seksjoner:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

I følge analytisk trigonometri svarer den til følgende identiteter:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

Kjennetegn på cotangent-funksjonen

Det er nødvendig å analysere forskjellige egenskaper ved funksjonen f (x) = ctg x for å definere aspektene som er nødvendige for å studere dens differensierbarhet og anvendelse.

Vertikale asymptoter

Cotangent-funksjonen er ikke definert på verdiene som gjør uttrykket "Senx" null. På grunn av dets ekvivalente Ctg x = (cos x) / (sin x), vil det ha en ubestemmelse i alle “nπ” med n tilhørende heltalene.

Det vil si at i hver av disse verdiene av x = nπ vil det være en vertikal asymptot. Når du nærmer deg fra venstre, reduseres verdien til kotangenten raskt, og når du nærmer deg fra høyre, vil funksjonen øke på ubestemt tid.

Domene

Domenet til cotangentfunksjonen uttrykkes av settet {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Dette blir lest som "x som tilhører settet med reelle tall slik at x er forskjellig fra nπ, med n som tilhører settet med heltall".

Rang

Området for cotangent-funksjonen er fra minus til pluss uendelig. Derfor kan det konkluderes at rangeringen er settet med reelle tall R.

Frekvens

Cotangent-funksjonen er periodisk, og dens periode er lik π. På denne måten blir likheten Ctg x = Ctg (x + nπ) oppfylt, der n tilhører Z.

Oppførsel

Det er en merkelig funksjon, siden Ctg (-x) = - Ctg x. På denne måten er det kjent at funksjonen presenterer en symmetri med hensyn til koordinatens opprinnelse. Det presenterer også en reduksjon i hvert intervall som ligger mellom to påfølgende vertikale asymptoter.

Den har ikke maksimums- eller minimumsverdier, på grunn av at dens tilnærminger til de vertikale asymptotene viser atferd der funksjonen øker eller reduseres på ubestemt tid.

Nullene eller røttene til cotangentfunksjonen er funnet ved odde multipler av π / 2. Dette betyr at Ctg x = 0 holder for verdier av formen x = nπ / 2 med et ulikt heltall.

Demonstrasjon

Det er to måter å bevise derivatet av cotangent-funksjonen.

Trigonometrisk differensialsikker

Derivatet av cotangentfunksjonen fra dens ekvivalent i sines og kosinus er bevist.

Det blir behandlet som et derivat av en funksjonsdeling

Etter avledning er faktorene gruppert, og målet er å etterligne de pythagoreiske identitetene

Å erstatte identitetene og anvende gjensidighet, uttrykket

Bevis per definisjon av derivat

Følgende uttrykk tilsvarer den deriverte per definisjon. Der avstanden mellom 2 punkter i funksjonen nærmer seg null.

I stedet for den cotangenten vi har:

Identiteter brukes for summen av argumenter og gjensidighet

Brøkdelen av telleren er tradisjonelt betjent

Å eliminere de motsatte elementene og ta en felles faktor, får vi

Bruke Pythagoreiske identiteter og gjensidighet må vi

Elementene evaluert i x er konstante med hensyn til grensen, derfor kan de legge igjen argumentet for dette. Deretter blir egenskapene til trigonometriske grenser brukt.

Grensen evalueres

Deretter blir det innregnet til ønsket verdi er nådd

Derivat av kotangenten blir således demonstrert som motsatt av kosecantens kvadrat.

Løste øvelser

Oppgave 1

Basert på funksjonen f (x), definerer du uttrykket f '(x)

Den korresponderende avledningen brukes under hensyntagen til kjederegelen

Avlede argumentet

Noen ganger er det nødvendig å bruke gjensidige eller trigonometriske identiteter for å tilpasse løsningene.

Oppgave 2

Definer differensialuttrykket som tilsvarer F (x)

I henhold til avledningsformelen og respektering av kjederegelen

Argumentet er avledet, mens resten forblir det samme

Utlede alle elementene

Arbeider på en tradisjonell måte produktene fra samme base

De like elementene blir lagt til, og den felles faktoren blir trukket ut

Skilt forenkles og betjenes. Å vike for det fullt avledede uttrykket

referanser

1. Trigonometric Series, bind 1. A. Zygmund. Cambridge University Press, 2002
2. Beregning av en enkelt variabel. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. nov 2008
3. Kalkulus med trigonometri og analytisk geometri. John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey. Saxon forlag, 1988
4. Multivariabel analyse. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. des. 2010
5. Systemdynamikk: modellering, simulering og kontroll av mekatroniske systemer. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. mars 2012
6. Kalkulus: Matematikk og modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. jan 1999