UAVHENGIGE HENDELSER: DEMONSTRASJON, EKSEMPLER, ØVELSER - DUDAS - 2025

To hendelser er uavhengige , når sannsynligheten for at en av dem oppstår ikke påvirkes av det faktum at den andre oppstår -eller ikke forekommer - med tanke på at disse hendelsene skjer tilfeldig.

Denne omstendigheten oppstår når prosessen som genererer resultatet av hendelse 1, ikke på noen måte endrer sannsynligheten for mulige resultater av hendelse 2. Men hvis dette ikke skjer, sies hendelsene å være avhengige.

Figur 1. Fargede kuler brukes ofte for å forklare sannsynligheten for uavhengige hendelser. Kilde: Pixabay.

En uavhengig hendelsessituasjon er som følger: Anta at to seks-sidige terninger er rullet, den ene blå og den andre rosa. Sannsynligheten for at en 1 vil rulle på den blå formen er uavhengig av sannsynligheten for at en 1 vil rulle eller ikke rulle på den rosa formen.

Et annet tilfelle av to uavhengige hendelser er å kaste en mynt to ganger på rad. Resultatet av det første kastet vil ikke avhenge av resultatet av det andre og omvendt.

Bevis på to uavhengige hendelser

For å bekrefte at to hendelser er uavhengige, vil vi definere begrepet betinget sannsynlighet for en hendelse i forhold til en annen. For dette er det nødvendig å skille mellom eksklusive arrangementer og inkluderende hendelser:

To hendelser er eksklusive hvis de mulige verdiene eller elementene i hendelse A ikke har noe til felles med verdiene eller elementene i hendelse B.

Derfor er settet i krysset mellom A og B i to eksklusive arrangementer vakuumet:

Eksklusiv hendelser: A∩B = Ø

Tvert imot, hvis hendelsene er inkluderende, kan det hende at et resultat av hendelse A også sammenfaller med det for en annen B, der A og B er forskjellige hendelser. I dette tilfellet:

Inkluderende arrangementer: A∩B ≠ Ø

Dette fører til at vi definerer betinget sannsynlighet for to inkluderende hendelser, med andre ord sannsynligheten for forekomst av hendelse A, når hendelse B inntreffer:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

Derfor er den betingede sannsynligheten sannsynligheten for at A og B vil skje divisert med sannsynligheten for at B vil oppstå. Sannsynligheten for at B vil forekomme betinget av A kan også defineres:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

Kriterier for å vite om to hendelser er uavhengige

Deretter vil vi gi tre kriterier for å vite om to hendelser er uavhengige. Det er nok at en av de tre blir oppfylt, slik at begivenheters uavhengighet blir demonstrert.

1.- Hvis sannsynligheten for at A oppstår når B oppstår er lik sannsynligheten for A, er de uavhengige hendelser:

P (A¦B) = P (A) => A er uavhengig av B

2.- Hvis sannsynligheten for at B oppstår gitt A, er lik sannsynligheten for B, er det uavhengige hendelser:

P (B¦A) = P (B) => B er uavhengig av A

3.- Hvis sannsynligheten for at A og B forekommer er lik produktet av sannsynligheten for at A oppstår og sannsynligheten for at B oppstår, er de uavhengige hendelser. Samtalen er også sant.

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A og B er uavhengige hendelser.

Eksempler på uavhengige hendelser

Gummisåler produsert av to forskjellige leverandører sammenlignes. Prøvene fra hver produsent blir gjenstand for flere tester som det konkluderes med om de er innenfor spesifikasjonene.

Figur 2. Variasjon av gummisåler. Kilde: Pixabay.

Det resulterende sammendraget av de 252 prøvene er som følger:

Produsent 1; 160 oppfyller spesifikasjonene; 8 oppfyller ikke spesifikasjonene.

Produsent 2; 80 oppfyller spesifikasjonene; 4 oppfyller ikke spesifikasjonene.

Hendelse A: "at prøven er fra produsent 1".

Hendelse B: "at prøven oppfyller spesifikasjonene."

Vi vil vite om disse hendelsene A og B er uavhengige eller ikke, som vi bruker et av de tre kriteriene som er nevnt i forrige avsnitt.

Kriterium: P (B¦A) = P (B) => B er uavhengig av A

P (B) = 240/252 = 0,9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0,9523

Konklusjon: Hendelser A og B er uavhengige.

Anta at hendelse C: "at prøven kommer fra produsent 2"

Vil hendelse B være uavhengig av hendelse C?

Vi bruker et av kriteriene.

Kriterium: P (B¦C) = P (B) => B er uavhengig av C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0,9523 = P (B)

Derfor, basert på tilgjengelige data, er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt gummisåle oppfyller spesifikasjonene uavhengig av produsenten.

Konverter en uavhengig hendelse til en avhengig hendelse

La oss se på følgende eksempel for å skille mellom avhengige og uavhengige hendelser.

Vi har en pose med to hvite sjokoladekuler og to svarte kuler. Sannsynligheten for å få en hvit ball eller en svart ball er lik ved første forsøk.

Anta at resultatet var en køball. Hvis den trukket ballen byttes ut i sekken, gjentas den opprinnelige situasjonen: to hvite baller og to svarte kuler.

Så i en andre hendelse eller uavgjort er sjansene for å tegne en køball eller en svart ball identisk med første gang. De er derfor uavhengige hendelser.

Men hvis køballen som trekkes i den første hendelsen ikke byttes ut fordi vi har spist den, er det i den andre uavgjort større sjanser for å tegne en svart ball. Sannsynligheten for at en ekstraksjon vil få hvitt igjen er forskjellig fra den første hendelsen og er betinget av det forrige resultatet.

Øvelser

- Oppgave 1

I en boks legger vi de 10 kulene i figur 1, hvorav 2 er grønne, 4 er blå og 4 er hvite. To kuler blir valgt tilfeldig, en først og en senere. Det blir bedt om å finne
sannsynligheten for at ingen av dem er blå under følgende forhold:

a) Med erstatning, det vil si å returnere den første marmoren før det andre valget til boksen. Angi om det er uavhengige eller avhengige hendelser.

b) Uten utskiftning, på en slik måte at den første marmoren som ble trukket ut, er utenfor boksen når det andre valget ble gjort. Angi på samme måte om de er avhengige eller uavhengige hendelser.

Løsning på

Vi beregner sannsynligheten for at den første marmoren som er trukket ut ikke er blå, som er 1 minus sannsynligheten for at den er blå P (A), eller direkte at den ikke er blå, fordi den kom ut grønn eller hvit:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (ikke vær blå) = 1 - (2/5) = 3/5

O vel:

P (grønn eller hvit) = 6/10 = 3/5.

Hvis den utvunnet marmoren returneres, er alt som før. I denne andre trekningen er det også en 3/5 sannsynlighet for at den trukket marmoren ikke er blå.

P (ikke blå, ikke blå) = (3/5). (3/5) = 9/25.

Hendelsene er uavhengige, siden den utvunnede marmoren ble returnert til boksen og den første hendelsen ikke påvirker sannsynligheten for at den andre skal oppstå.

Løsning b

For den første ekstraksjonen, fortsett som i forrige avsnitt. Sannsynligheten for at den ikke er blå er 3/5.

For den andre ekstraksjonen har vi 9 klinkekuler i vesken, siden den første ikke kom tilbake, men den var ikke blå, derfor i posen er det 9 klinkekuler og 5 ikke blå:

P (grønn eller hvit) = 5/9.

P (ingen er blå) = P (først ikke blå). P (andre ikke blå / først ikke blå) = (3/5). (5/9) = 1/3

I dette tilfellet er de ikke uavhengige hendelser, siden den første hendelsen forutsetter den andre.

- Oppgave 2

En butikk har 15 skjorter i tre størrelser: 3 små, 6 mellomstore og 6 store. 2 skjorter er valgt tilfeldig.

a) Hva er sannsynligheten for at begge skjortene som er valgt er små, hvis man blir tatt først og uten å erstatte en annen i partiet?

b) Hva er sannsynligheten for at begge utvalgte skjorter er små, hvis en tegnes først, byttes ut i batch, og den andre fjernes?

Løsning på

Her er to hendelser:

Hendelse A: den første skjorten som er valgt er liten

Hendelse B: den andre valgte skjorten er liten

Sannsynligheten for at hendelse A inntreffer er: P (A) = 3/15

Sannsynligheten for at hendelse B inntreffer er: P (B) = 2/14, fordi en skjorte allerede hadde blitt fjernet (14 gjenstår), men i tillegg ønskes begivenhet A å bli oppfylt, den første skjorta som er fjernet må være liten og derfor begge er to små.

Det vil si at sannsynligheten for at A og B vil være et produkt av sannsynlighetene er:

P (A og B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0,029

Derfor er sannsynligheten for at hendelse A og B inntreffer lik produktet som hendelse A inntreffer, ganger sannsynligheten for at hendelse B oppstår hvis hendelse A.

Det er verdt å merke seg at:

P (B¦A) = 2/14

Sannsynligheten for at hendelse B inntreffer uansett om hendelse A inntreffer eller ikke vil være:

P (B) = (2/14) hvis den første var liten, eller P (B) = 3/14 hvis den første ikke var liten.

Generelt kan følgende konkluderes:

P (B¦A) er ikke lik P (B) => B er ikke uavhengig av A

Løsning b

Igjen er det to hendelser:

Hendelse A: den første skjorten som er valgt er liten

Hendelse B: den andre valgte skjorten er liten

P (A) = 3/15

Husk at uansett resultat blir skjorta trukket fra batch erstattet og igjen er en skjorte trukket tilfeldig. Sannsynligheten for at hendelse B inntreffer, hvis hendelse A skjedde er:

P (B¦A) = 3/15

Sannsynligheten for at hendelser A og B inntreffer vil være:

P (A og B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0,04

Noter det:

P (B¦A) er lik P (B) => B er uavhengig av A.

- Oppgave 3

Tenk på to uavhengige hendelser A og B. Det er kjent at sannsynligheten for at hendelse A inntreffer er 0,2 og sannsynligheten for at hendelse B oppstår er 0,3. Hva er sannsynligheten for at begge hendelser oppstår?

Løsning 2

Når vi vet at hendelsene er uavhengige, er det kjent at sannsynligheten for at begge hendelser oppstår er produktet av de enkelte sannsynlighetene. Det er å si,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0,2 * 0,3 = 0,06

Legg merke til at det er en sannsynlighet langt mindre enn sannsynligheten for at hver hendelse vil skje uavhengig av utfallet av den andre. Eller sagt på en annen måte, mye lavere enn individuelle odds.

referanser

1. Berenson, M. 1985. Statistikk for ledelse og økonomi. Interamericana SA 126-127.
2. Monterrey Institute. Sannsynlighet for uavhengige hendelser. Gjenopprettet fra: monterreyinstitute.org
3. Matte lærer. Uavhengige hendelser. Gjenopprettet fra: youtube.com
4. Superprof. Typer hendelser, avhengige hendelser. Gjenopprettet fra: superprof.es
5. Virtuell veileder. Sannsynlighet. Gjenopprettet fra: vitutor.net
6. Wikipedia. Uavhengighet (sannsynlighet). Gjenopprettet fra: wikipedia.com