ANALYTISK GEOMETRI: HVA DEN STUDERER, HISTORIE, APPLIKASJONER - MATTE - 2025

Den analytiske geometrien studerer linjer og geometriske former ved å anvende grunnleggende algebrateknikker og matematisk analyse i et gitt koordinatsystem.

Følgelig er analytisk geometri en gren av matematikk som analyserer i detalj alle dataene til geometriske figurer, det vil si volumet, vinklene, området, skjæringspunktene, deres avstander, blant andre.

Det grunnleggende kjennetegn ved analytisk geometri er at den tillater representasjon av geometriske figurer gjennom formler.

For eksempel er omkretsene representert av polynomligninger i den andre graden, mens linjene er uttrykt av polynomligninger i den første grad.

Analytisk geometri oppsto på det syttende århundre på grunn av behovet for å gi svar på problemer som til nå ikke hadde noen løsning. Topp representantene var René Descartes og Pierre de Fermat.

I dag peker mange forfattere på det som en revolusjonerende skapelse i matematikkens historie, siden den representerer begynnelsen på moderne matematikk.

Historisk analytisk geometri

Begrepet analytisk geometri oppsto i Frankrike på syttende århundre på grunn av behovet for å gi svar på problemer som ikke kunne løses ved bruk av algebra og geometri isolert, men løsningen lå i den kombinerte bruken av begge.

Hovedrepresentanter for analytisk geometri

I løpet av det syttende århundre gjennomførte to franskmenn ved en tilfeldighet i livet forskning som på en eller annen måte endte i etableringen av analytisk geometri. Disse menneskene var Pierre de Fermat og René Descartes.

For tiden anses det som skaperen av analytisk geometri var René Descartes. Dette skyldes det faktum at han ga ut boken sin før Fermats og også i dybden med Descartes om emnet analytisk geometri.

Imidlertid oppdaget både Fermat og Descartes at linjer og geometriske figurer kunne uttrykkes ved ligninger og ligninger kunne uttrykkes som linjer eller geometriske figurer.

I følge funnene de to har gjort, kan det sies at begge er skaperne av analytisk geometri.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat var en fransk matematiker som ble født i 1601 og døde i 1665. I løpet av livet studerte han geometrien til Euclid, Apollonius og Pappus, for å løse måleproblemene som eksisterte på den tiden.

Senere utløste disse studiene etableringen av geometri. De endte med å komme til uttrykk i boka hans "Introduksjon til flate og solide steder" (Ad Locos Planos et Solidos Isagoge), som ble utgitt 14 år etter hans død i 1679.

Pierre de Fermat anvendte analytisk geometri på Apollonius 'teoremer på geometriske steder i 1623. Han var også den første til å bruke analytisk geometri i tredimensjonalt rom.

Rene Descartes

Også kjent som Cartesius, var han matematiker, fysiker og filosof som ble født 31. mars 1596 i Frankrike og døde i 1650.

René Descartes publiserte i 1637 sin bok "Diskurs om metoden for å føre fornuft riktig og søke sannhet i vitenskapene" bedre kjent som "Metoden" og derfra ble begrepet analytisk geometri introdusert for verden. Et av vedleggene var "Geometri."

Grunnleggende elementer i analytisk geometri

Analytisk geometri består av følgende elementer:

Det kartesiske koordinatsystemet

Dette systemet er oppkalt etter René Descartes.

Det var ikke han som navnga det, og heller ikke den som fullførte det kartesiske koordinatsystemet, men han var den som snakket om koordinater med positive tall som tillot fremtidige forskere å fullføre det.

Dette systemet er sammensatt av det rektangulære koordinatsystemet og det polare koordinatsystemet.

Rektangulære koordinatsystemer

Rektangulære koordinatsystemer kalles planet dannet ved sporing av to tallinjer vinkelrett på hverandre, der avskjæringspunktet sammenfaller med felles null.

Da ville dette systemet bestå av en horisontal linje og en vertikal linje.

Den horisontale linjen er X-aksen eller abscisseaksen. Den vertikale linjen vil være Y-aksen eller ordinataksen.

Polart koordinatsystem

Dette systemet er ansvarlig for å verifisere den relative posisjonen til et punkt i forhold til en fast linje og til et fast punkt på linjen.

Kartesisk ligning av linjen

Denne ligningen oppnås fra en linje når det er kjent to punkter som den passerer gjennom.

Rett linje

Det er en som ikke avviker og har verken kurver eller vinkler.

kjeglesnitt

Det er kurvene som er definert av linjene som går gjennom et fast punkt og av punktene på en kurve.

Ellipsen, omkretsen, parabolen og hyperbola er koniske kurver. Hver av dem er beskrevet nedenfor.

Omkrets

Omkrets kalles den lukkede plankurven som dannes av alle punktene i planet som er likevidt fra et indre punkt, det vil si fra sentrum av omkretsen.

lignelsen

Det er stedet for punktene i planet som er likevidt fra et fast punkt (fokus) og en fast linje (directrix). Så direkten og fokuset er det som definerer parabolen.

Parabolen kan oppnås som et snitt av en konisk revolusjonsoverflate gjennom et plan parallelt med en generatrix.

ellipse

Den lukkede kurven som beskriver et punkt når du beveger deg i et plan kalles ellipse på en slik måte at summen av avstandene til to (2) faste punkter (kalt foci) er konstant.

hyperbelen

Hyperbola kalles kurven som er definert som stedet for punktene i planet, hvor forskjellen mellom avstandene til to faste punkter (foci) er konstant.

Hyperbolaen har en symmetriakse som går gjennom fociene, kalt fokalaksen. Den har også en annen, som er halvparten av segmentet som har de faste punktene i endene.

applikasjoner

Det er mange anvendelser av analytisk geometri på forskjellige områder i dagliglivet. For eksempel kan vi finne parabolen, et av de grunnleggende elementene i analytisk geometri, i mange av verktøyene som brukes daglig i dag. Noen av disse verktøyene er som følger:

Parabolantenne

Parabolantenner har en reflektor generert som et resultat av en parabola som roterer på antennen til nevnte antenne. Overflaten som genereres som et resultat av denne handlingen kalles en paraboloid.

Denne evnen til paraboloidene kalles den optiske egenskapen eller refleksjonsegenskapen til en parabola, og takket være dette er det mulig for paraboloidene å gjenspeile de elektromagnetiske bølgene den mottar fra matemekanismen som utgjør antennen.

Hengebroer

Når et tau understøtter en vekt som er homogen, men samtidig er betydelig større enn selve tauets vekt, blir resultatet en parabola.

Dette prinsippet er grunnleggende for konstruksjon av hengebroer, som vanligvis støttes av brede stålkabelkonstruksjoner.

Parabolens prinsipp i hengebroer har blitt brukt i strukturer som Golden Gate Bridge, som ligger i byen San Francisco, i USA, eller Great Bridge of Akashi Strait, som ligger i Japan og forbinder øya of Awaji med Honshū, det viktigste øya i landet.

Astronomisk analyse

Analytisk geometri har også hatt veldig spesifikke og avgjørende bruksområder innen astronomi. I dette tilfellet er elementet i analytisk geometri som tar midtpunktet ellipsen; Johannes Keplers lov om bevegelse av planetene gjenspeiler dette.

Kepler, en tysk matematiker og astronom, bestemte at ellipsen var den kurven som best passet til bevegelsen til Mars; Han hadde tidligere testet den sirkulære modellen som ble foreslått av Copernicus, men midt i eksperimentene sine, la han til grunn at ellipsen tjente til å tegne en bane som perfekt ligner den på planeten han studerte.

Takket være ellipsen kunne Kepler bekrefte at planetene beveget seg i elliptiske baner; dette hensynet var uttalelsen fra den såkalte andre loven til Kepler.

Fra denne oppdagelsen, senere beriket av den engelske fysikeren og matematikeren Isaac Newton, var det mulig å studere planetenes orbitasjonelle bevegelser, og å øke kunnskapen om universet vi er en del av.

Cassegrain-teleskop

Cassegrain-teleskopet er oppkalt etter sin oppfinner, den franskfødte fysikeren Laurent Cassegrain. I dette teleskopet brukes prinsippene for analytisk geometri fordi det hovedsakelig er sammensatt av to speil: det første er konkave og parabolske, og det andre er preget av å være konveks og hyperbolsk.

Plasseringen og arten av disse speilene gjør at mangelen kjent som sfærisk aberrasjon ikke kan finne sted; Denne feilen forhindrer at lysstråler reflekteres i fokus for en gitt linse.

Cassegrain-teleskopet er veldig nyttig for planetarisk observasjon, i tillegg til å være ganske allsidig og lett å bruke.

referanser

1. Analytisk geometri. Hentet 20. oktober 2017, fra britannica.com
2. Analytisk geometri. Hentet 20. oktober 2017, fra encyclopediafmath.org
3. Analytisk geometri. Hentet 20. oktober 2017 fra khancademy.org
4. Analytisk geometri. Hentet 20. oktober 2017, fra wikipedia.org
5. Analytisk geometri. Hentet 20. oktober 2017, fra whitman.edu
6. Analytisk geometri. Hentet 20. oktober 2017, fra stewartcalculus.com
7. Plananalytisk geometri Hentet 20. oktober 2017