EUKLIDISK GEOMETRI: HISTORIE, GRUNNLEGGENDE KONSEPTER OG EKSEMPLER - MATTE - 2025

Den euklidske geometri svarer til studium av egenskapene til geometriske steder hvor Euklids gullkorn er oppfylt. Selv om dette begrepet noen ganger brukes for å dekke geometrier som har høyere dimensjoner med lignende egenskaper, er det generelt synonymt med klassisk geometri eller plangeometri.

I det III århundre a. C. Euclides og disiplene hans skrev Elementene, et verk som omfattet den matematiske kunnskapen fra tiden utstyrt med en logisk-deduktiv struktur. Siden den gang ble geometri en vitenskap, i utgangspunktet for å løse klassiske problemer og utviklet seg til å være en formativ vitenskap som hjelper fornuft.

Historie

For å snakke om historien til euklidisk geometri, er det viktig å starte med Euklid av Alexandria og elementene.

Da Egypt ble igjen i hendene på Ptolemaios I, etter Alexander den store død, begynte han sitt prosjekt på en skole i Alexandria.

Blant vismennene som underviste på skolen var Euclid. Det spekuleres i at hans fødsel stammer fra cirka 325 f.Kr. C. og hans død på 265 a. C. Vi kan vite med sikkerhet at han gikk på Platons skole.

I mer enn tretti år underviste Euclid i Alexandria, og bygde dets berømte elementer: Han begynte å skrive en uttømmende beskrivelse av sin matematikk. Euklids lære ga fremragende disipler, som Archimedes og Apollonius av Perga.

Euclid hadde ansvaret for å strukturere de forskjellige funnene fra de gamle grekere i elementene, men i motsetning til forgjengerne begrenser han seg ikke til å bekrefte at et teorem er sant; Euclid tilbyr en demonstrasjon.

Elementene er et kompendium av tretten bøker. Etter Bibelen er det den mest utgitte boken, med mer enn tusen utgaver.

Euclids elementer

The Elements er Euclids mesterverk innen geometri, og tilbyr en definitiv behandling av geometrien til to dimensjoner (planet) og tre dimensjoner (space), dette er opprinnelsen til det vi nå kjenner som euklidisk geometri .

Enkle konsepter

Elementene består av definisjoner, vanlige forestillinger og postulater (eller aksiomer) etterfulgt av teoremer, konstruksjoner og bevis.

- Et poeng er det som ikke har deler.

- En linje er en lengde som ikke har bredde.

- En rett linje er en som ligger likt i forhold til punktene som er i den.

- Hvis to linjer er kuttet slik at de tilstøtende vinklene er like, kalles vinklene rette linjer og linjene kalles vinkelrett.

- Parallelle linjer er de som, i det samme planet, aldri krysser hverandre.

Etter disse og andre definisjoner presenterer Euclid oss ​​med en liste over fem postulater og fem forestillinger.

Vanlige forestillinger

- To ting som er lik en tredjedel er lik hverandre.

- Hvis de samme tingene blir lagt til de samme tingene, er resultatene de samme.

- Hvis like ting trekkes fra like ting, er resultatene like.

- Ting som matcher hverandre er lik hverandre.

- Totalen er større enn en del.

Postulater eller aksiomer

- Én og bare en linje går gjennom to forskjellige punkter.

- Rette linjer kan forlenges på ubestemt tid.

- Du kan tegne en sirkel med hvilket som helst sentrum og hvilken som helst radius.

- Alle rette vinkler er like.

- Hvis en rett linje krysser to rette linjer slik at de indre vinklene på samme side legger opp til mindre enn to rette vinkler, vil de to linjene krysse på den siden.

Dette siste postulatet er kjent som det parallelle postulatet og ble omformulert på følgende måte: "For et punkt utenfor en linje kan en enkelt parallell til den gitte linjen tegnes."

eksempler

Deretter vil noen teoremer om elementene tjene til å vise egenskaper til geometriske rom der de fem postulatene til Euclid er oppfylt; I tillegg vil de illustrere den logisk-deduktive resonnementet som brukes av denne matematikeren.

Første eksempel

Proposisjon 1.4. (LAL)

Hvis to trekanter har to sider og vinkelen mellom dem er lik, er de andre sidene og de andre vinklene like.

Demonstrasjon

La ABC og A'B'C 'være to trekanter med AB = A'B', AC = A'C 'og vinklene BAC og B'A'C' like. La oss flytte trekant A'B'C 'slik at A'B' faller sammen med AB og den vinkelen B'A'C 'sammenfaller med vinkelen BAC.

Så linje A'C faller sammen med linje AC, så C 'sammenfaller med C. Da må post BC 1 sammenfalle med linje B'C'. Derfor sammenfaller de to trekantene, og følgelig er deres vinkler og sider like.

Andre eksempel

Proposisjon 1.5. (

Anta at trekant ABC har like sider AB og AC.

Så trekantene ABD og ACD har to like sider, og vinklene mellom dem er like. Således, med proposisjon 1.4, er vinklene ABD og ACD like.

Tredje eksempel

Proposisjon 1.31

Du kan konstruere en linje parallell med en linje gitt av et gitt punkt.

Bygning

Gitt en linje L og et punkt P, trekkes en linje M gjennom P og skjærer L. Deretter trekkes en linje N gjennom P som skjærer L. Nå blir en linje N trukket gjennom P, som skjærer M, danner en vinkel lik den som L danner med M.

Bekreftelse

N er parallell med L.

Demonstrasjon

Anta at L og N ikke er parallelle og skjærer hverandre i punkt A. La B være et punkt i L utover A. La oss vurdere linjen O som går gjennom B og P. Deretter skjærer O M i vinkler som legger opp til mindre enn to rette.

Deretter med 1,5 linje må O krysse linje L på den andre siden av M, så L og O krysser hverandre på to punkter, noe som strider mot Postulat 1. Derfor må L og N være parallelle.

referanser

1. Euclid, Elements of Geometry. National Autonomous University of Mexico
2. Euclid. De første seks bøkene og den ellevte og tolvte delen av Euclids elementer
3. Eugenio Filloy Yague. Didaktikk og historie om euklidisk geometri, Grupo Redaktion Iberoamericano
4. K. Ribnikov. Matematikkens historie. Mir Redaksjon
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Redaksjonell Venezolana CA