KVADRATISKE SEKVENSER: EKSEMPLER, REGEL OG LØSTE ØVELSER - MATTE - 2025

De kvadratiske suksessene består, i matematiske termer, av sekvenser med tall som følger en viss aritmetisk regel. Det er interessant å vite denne regelen for å bestemme noen av begrepene i en sekvens.

En måte å gjøre dette på er å bestemme forskjellen mellom to påfølgende termer og se om den oppnådde verdien alltid gjentas. Når dette er tilfelle, sies det å være en vanlig sekvens.

Talesekvenser er en måte å organisere tallsekvenser på. Kilde: pixabay.com

Men hvis den ikke gjentar seg, kan du prøve å undersøke forskjellen mellom forskjellene og se om denne verdien er konstant. I så fall er det en kvadratisk sekvens .

Eksempler på vanlige sekvenser og kvadratiske sekvenser

Følgende eksempler er med på å tydeliggjøre hva som er forklart så langt:

Eksempel på vanlig rekkefølge

La sekvensen S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Denne sekvensen, betegnet med S, er et uendelig talloppsett, i dette tilfellet med heltall.

Det kan sees at det er en vanlig sekvens, fordi hvert begrep oppnås ved å legge til 3 til forrige begrep eller element:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Med andre ord: denne sekvensen er regelmessig fordi forskjellen mellom neste termin og den forrige gir en fast verdi. I det gitte eksemplet er denne verdien 3.

De vanlige sekvensene som oppnås ved å legge en fast mengde til forrige begrep, kalles også aritmetiske fremskritt. Og forskjellen - konstant - mellom suksessive termer kalles forholdet og betegnes som R.

Eksempel på ikke-regelmessig og kvadratisk sekvens

Se nå følgende sekvens:

S = {2, 6, 12, 20, 30, ….}

Når påfølgende forskjeller beregnes, oppnås følgende verdier:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Forskjellene deres er ikke konstante, så det kan sies at det er en IKKE vanlig sekvens.

Hvis vi vurderer settet med forskjeller, har vi imidlertid en annen sekvens, som vil bli betegnet som S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10, ….}

Denne nye sekvensen er faktisk en vanlig sekvens, siden hvert begrep oppnås ved å legge den faste verdien R = 2 til den forrige. Derfor kan vi bekrefte at S er en kvadratisk sekvens.

Generell regel for konstruksjon av en kvadratisk sekvens

Det er en generell formel for å konstruere en kvadratisk sekvens:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

I denne formel T _n er betegnelsen ved posisjon n i sekvensen. A, B og C er faste verdier, mens n varierer en etter en, det vil si 1, 2, 3, 4, …

I sekvensen S fra forrige eksempel er A = 1, B = 1 og C = 0. Derfra følger det at formelen som genererer alle begrepene er: T _n = n ² + n

Det er å si:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Forskjell mellom to påfølgende begreper i en kvadratisk sekvens

T _{n + 1} - T _n = -

Å utvikle uttrykket gjennom bemerkelsesverdige produkter gjenstår:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Ved å forenkle det, får du:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Dette er formelen som gir sekvensen av forskjellene S _Dif som kan skrives slik:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Hvor klart neste termin er 2 ∙ Noen ganger den forrige. Det vil si at forholdet mellom sekvensen av forskjeller S _diff er: R = 2 ∙ A.

Løst problemer med kvadratiske sekvenser

Oppgave 1

La sekvensen S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Bestem om:

i) Er det vanlig eller ikke

ii) Er det kvadratisk eller ikke

iii) Det var kvadratisk, sekvensen av forskjeller og forholdet mellom dem

svar

i) La oss beregne forskjellen mellom følgende og de forrige begrepene:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Vi kan bekrefte at sekvensen S ikke er regelmessig, fordi forskjellen mellom påfølgende vilkår ikke er konstant.

ii) Forskjellenes sekvens er regelmessig, fordi forskjellen mellom dens begrep er den konstante verdien 2. Derfor er den opprinnelige sekvensen S kvadratisk.

iii) Vi har allerede bestemt at S er kvadratisk, sekvensen av forskjellene er:

S _dif = {2, 4, 6, 8, …} og forholdet er R = 2.

Oppgave 2

La sekvensen S = {1, 3, 7, 13, 21, … …} fra forrige eksempel, der det ble bekreftet at den er kvadratisk. Fastslå:

i) Formelen som bestemmer det generelle uttrykket T _n.

ii) Sjekk tredje og femte termin.

iii) Verdien av den tiende termin.

svar

i) Den generelle formelen til _Tn er A ∙ n ² + B ∙ n + C. Da gjenstår det å kjenne til verdiene til A, B og C.

Forskjellssekvensen har forholdet 2. For enhver kvadratisk sekvens er forholdet R 2 ∙ A som vist i de foregående seksjoner.

R = 2 ∙ A = 2 som fører til at vi konkluderer med at A = 1.

Den første termen i sekvensen av forskjeller S _Dif er 2 og må tilfredsstille A ∙ (2n + 1) + B, med n = 1 og A = 1, det vil si:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

løse for B oppnår vi: B = -1

Da er den første termen av S (n = 1) verdt 1, det vil si: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Som vi allerede vet at A = 1 og B = -1, erstatter vi:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Løsning for C får vi verdien: C = 1.

Oppsummert:

A = 1, B = -1 og C = 1

Da vil den niende termin være T _n = n ² - n + 1

ii) Det tredje begrepet T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 og det er bekreftet. Den femte T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 som også er bekreftet.

iii) Den tiende termin vil være T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Oppgave 3

Sekvens av områder for øvelse 3. Kilde: egen utdyping.

Figuren viser en sekvens på fem figurer. Gitteret representerer lengdenheten.

i) Bestem rekkefølgen for området for figurene.

ii) Vis at det er en kvadratisk sekvens.

iii) Finn området i figur # 10 (ikke vist).

svar

i) Sekvensen S som tilsvarer området for figursekvensen er:

S = {0, 2, 6, 12, 20 ,. . . . . }

ii) Sekvensen som tilsvarer de påfølgende forskjellene i vilkårene i S er:

S _diff = {2, 4, 6, 8 ,. . . . . }

Siden forskjellen mellom påfølgende vilkår ikke er konstant, er ikke S en vanlig sekvens. Det gjenstår å vite om det er kvadratisk, som vi igjen gjør sekvensen av forskjellene, og oppnår:

{2, 2, 2, …….}

Siden alle vilkårene i sekvensen gjentas, bekreftes det at S er en kvadratisk sekvens.

iii) Sekvensen S _dif er regelmessig og forholdet R er 2. Ved å bruke ligningen vist ovenfor R = 2 ∙ A, forblir den:

2 = 2 ∙ A, noe som innebærer at A = 1.

Den andre termen i sekvensen av forskjeller S _Dif er 4 og den niende termin av S _Dif er

A ∙ (2n + 1) + B.

Den andre termin har n = 2. I tillegg er det allerede bestemt at A = 1, så ved å bruke den forrige ligningen og erstatte, har vi:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Løsning for B, oppnår vi: B = -1.

Det er kjent at den andre termen til S er verdt 2, og at den må oppfylle formelen til den generelle termen med n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Det er å si

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Det konkluderes med at C = 0, det vil si at formelen som gir den generelle betegnelsen for sekvensen S er:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Nå er den femte termin bekreftet:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Figur 10, som ikke er tegnet her, vil ha det området som tilsvarer den tiende termen i sekvensen S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

referanser

1. https://www.geogebra.org