TESSELLASJONER: KARAKTERISTISKE, TYPER (VANLIGE, UREGELMESSIGE), EKSEMPLER - MATTE - 2026

De tilings er belagte overflater ett eller flere tall som kalles tesserae. De er overalt: i gater og bygninger av alle slag. Tesseraene eller flisene er flate stykker, vanligvis polygoner med kongruente eller isometriske kopier, som er plassert etter et vanlig mønster. På denne måten er det ingen mellomrom igjen avdekket, og flisene eller mosaikken overlapper ikke.

I tilfelle at det brukes en enkelt type mosaikk dannet av en vanlig polygon, er det en vanlig tessellasjon, men hvis to eller flere typer vanlige polygoner brukes, så er det en halvregulær tessellasjon.

Figur 1. Flisegulv med uregelmessig tessellering, fordi rektanglene er ikke-vanlige polygoner, selv om rutene er. Kilde: Pixabay.

Til slutt, når polygonene som tessellasjonen danner ikke er regelmessige, er det en uregelmessig tessellasjon.

Den vanligste typen tessellering er den som dannes av rektangulære og spesielt firkantede mosaikker. I figur 1 har vi et godt eksempel.

Historie om tessellasjoner

Tessellasjon har blitt brukt i tusenvis av år for å dekke gulv og vegger i palasser og templer i forskjellige kulturer og religioner.

For eksempel brukte den sumeriske sivilisasjonen som blomstret rundt 3500 f.Kr sør for Mesopotamia, mellom elvene Eufrat og Tigris, tessellasjoner i sin arkitektur.

Figur 2. Sumeriske tessellasjoner ved Istar-porten. Kilde: Wikimedia Commons.

Tessellasjoner har også vekket interessen til matematikere i alle aldre: begynner med Archimedes i det 3. århundre f.Kr., fulgt av Johannes Kepler i 1619, Camille Jordan i 1880, til samtiden med Roger Penrose.

Penrose skapte en ikke-periodisk tessellasjon kjent som Penrose-tessellasjonen. Dette er bare noen få navn på forskere som bidro mye om tessellering.

Vanlige tessellasjoner

Vanlige tessellasjoner er laget med bare en type vanlig polygon. På den annen side, for at tessellasjonen skal regnes som vanlig, må hvert punkt i flyet:

-Lang til det indre av polygon

-Eller til kanten av to tilstøtende polygoner

Endelig kan det høre til den vanlige toppunktet til minst tre polygoner.

Med de ovennevnte begrensningene kan det vises at bare ensidige trekanter, firkanter og sekskanter kan danne en vanlig tessellasjon.

nomenklatur

Det er en nomenklatur for å betegne tessellasjoner som består av liste i retning med urviseren og atskilt med et punkt, antall sider av polygonene som omgir hver node (eller toppunkt) i tessellasjonen, alltid starter med polygon med det laveste tallet sider.

Denne nomenklaturen gjelder for vanlige og halvregulære tessellasjoner.

Eksempel 1: Trekantet tellasjon

Figur 3 viser en vanlig trekantet tellasjon. Det skal bemerkes at hver knutepunkt i den trekantede tessellasjonen er den vanlige toppunktet til seks like sidede trekanter.

Måten å betegne denne typen tessellasjoner er 3.3.3.3.3.3, som også er betegnet med 3 ⁶ .

Figur 3. Vanlig trekantet tellering 3.3.3.3.3.3. Kilde: wikimedia commons

Eksempel 2: Square tessellation

Figur 4 viser en vanlig tessellasjon som bare består av firkanter. Det skal bemerkes at hver node i tessellasjonen er omgitt av fire kongruente firkanter. Notasjonen som brukes på denne typen firkantede tessellasjoner er: 4.4.4.4 eller alternativt 4 ⁴

Figur 4. Square tessellation 4.4.4.4. Kilde: wikimedia commons.

Eksempel 3: Hexagonal tessellation

I en heksagonal tessellasjon er hver node omgitt av tre vanlige sekskanter som vist i figur 5. Nomenklaturen for en vanlig heksagonal tessellasjon er 6.6.6 eller alternativt 6 ³ .

Figur 5. Sekskantet tellasjon 6.6.6. Kilde: wikimedia commons.

Halv-vanlige tessellasjoner

Halv-regelmessige eller arkimediske tessellasjoner består av to eller flere typer vanlige polygoner. Hver node er omgitt av de typer polygoner som utgjør tessellasjonen, alltid i samme rekkefølge, og kanttilstanden er helt delt med naboen.

Det er åtte halvregulære tessellasjoner:

1. 3.6.3.6 (triheksagonal tessellasjon)
2. 3.3.3.3.6 (sløv sekskantet tellasjon)
3. 3.3.3.4.4 (langstrakt trekantet tellasjon)
4. 3.3.4.3.4 (stump kvadratisk tessellasjon)
5. 3.4.6.4 (rhombi-tri-hexagonal tessellasjon)
6. 4.8.8 (avkortet firkantet tellasjon)
7. 3.12.12 (avkortet sekskantet tellasjon)
8. 4.6.12 (avkortet triheksagonal tessellasjon)

Noen eksempler på halvregulære tessellasjoner er vist nedenfor.

Eksempel 4: Triheksagonal tessellasjon

Det er den som er sammensatt av likesidede trekanter og vanlige sekskanter i strukturen 3.6.3.6, noe som betyr at en knutepunkt av tessellasjonen er omringet (inntil den fullfører en sving) av en trekant, en sekskant, en trekant og en sekskant. Figur 6 viser en slik tessellasjon.

Figur 6. Den triheksagonale tessellasjonen (3.6.3.6) er et eksempel på halvregulær tessellering. Kilde: Wikimedia Commons.

Eksempel 5: Stump sekskantet tellasjon

I likhet med tessellasjonen i forrige eksempel, består denne også av trekanter og sekskanter, men fordelingen rundt en node er 3.3.3.3.6. Figur 7 illustrerer denne typen tessellasjoner tydelig.

Figur 7. Den stumpe sekskantede tessellasjonen består av en sekskant omgitt av 16 trekanter i konfigurasjonen 3.3.3.3.6. Kilde: Wikimedia Commons.

Eksempel 6: rhombi-tri-heksagonal tessellasjon

Det er en tessellasjon bestående av trekanter, firkanter og sekskanter, i konfigurasjonen 3.4.6.4, som er vist i figur 8.

Figur 8. Halv-vanlig tessellasjon sammensatt av en trekant, en firkant og en sekskant i konfigurasjonen 3.4.6.4. Kilde: Wikimedia Commons.

Uregelmessige tessellasjoner

Uregelmessige tessellasjoner er de som er dannet av uregelmessige polygoner, eller av vanlige polygoner, men som ikke oppfyller kriteriet om at en node er et toppunkt av minst tre polygoner.

Eksempel 7

Figur 9 viser et eksempel på uregelmessig tessellasjon, der alle polygonene er regelmessige og kongruente. Det er uregelmessig fordi en node ikke er et vanlig toppunkt på minst tre firkanter, og det er også nabotormer som ikke helt deler en kant.

Figur 9. Selv om alle flisene er kongruente ruter, er dette et tydelig eksempel på uregelmessig tessellering. Kilde: F. Zapata.

Eksempel 8

Parallellogrammet fliser en flat overflate, men med mindre det er en firkant kan det ikke danne en vanlig tessellasjon.

Figur 10. En tessellasjon dannet av parallellogrammer er uregelmessig, siden dens mosaikker er ikke-regulære polygoner. Kilde: F. Zapata.

Eksempel 9

Ikke-regulære sekskanter med sentral symmetri tessellerer en flat overflate, som vist på følgende figur:

Figur 11. Sekskanter med sentral symmetri, selv når de ikke er vanlige, tessellerer planet. Kilde: F. Zapata.

Eksempel 10: tessellering av Kairo

Det er en veldig interessant tessellasjon, sammensatt av femkanter med sider med samme lengde, men med ulik vinkel, hvorav to er rette og de tre andre har 120º hver.

Navnet kommer fra det faktum at denne tessellasjonen finnes i fortauet i noen av gatene i Kairo i Egypt. Figur 12 viser tessellasjonen av Kairo.

Figur 12. Cairo Tessellation. Kilde: Wikimedia Commons.

Eksempel 11: Al-Andalus tessellasjon

Tessellasjonen i noen deler av Andalusia og Nord-Afrika er preget av geometri og epigrafi, i tillegg til prydelementer som vegetasjon.

Tessellasjonen av palasser som for Alhambra var sammensatt av fliser laget av keramiske biter av mange farger, med flere (om ikke uendelige) former som løsnet i geometriske mønstre.

Figur 13. Tessellasjon av Alhambra-palasset. Tartaglia / Public domain

Eksempel 12: tessellering i videospill

Også kjent som tesellasjon, er det en av de mest populære nyhetene i videospill. Det handler om å lage teksturer for å simulere tessellasjonen av de forskjellige scenariene som vises i simulatoren.

Dette er en tydelig refleksjon at disse beleggene fortsetter å utvikle seg, og krysser virkelighetens grenser.

referanser

1. Kos deg med matte. Tessellations. Gjenopprettet fra: enjoymatematicas.com
2. Rubinos. Tessellasjoner løste eksempler. Gjenopprettet fra: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Demiregular tessellation." Weisstein, Eric W, red. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Flislegging. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Vanlig tessellasjon. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com