DISKRET FOURIER TRANSFORM: EGENSKAPER, APPLIKASJONER, EKSEMPLER - MATTE - 2025

Den diskrete Fourier-transformasjonen er en numerisk metode som brukes til å definere prøver som refererer til spektralfrekvensene som utgjør et signal. Den studerer periodiske funksjoner i lukkede parametere, og gir et annet diskret signal som et resultat.

For å oppnå den diskrete Fourier-transformasjonen av N-punkter, på et diskret signal, må følgende 2 betingelser være oppfylt i en sekvens x

TDF

Den diskrete Fourier-transformasjonen kan defineres som en N-punkts prøvetaking av Fourier-transformasjonen.

Tolkning av den diskrete Fourier-transformen

Kilde: Pexels

Det er to synspunkter hvorfra resultatene oppnådd i en sekvens x _s kan tolkes gjennom den diskrete Fourier-transformasjonen.

-Den første tilsvarer spektralkoeffisientene, allerede kjent fra Fourier-serien. Det blir observert i diskrete periodiske signaler, med prøver som faller sammen med sekvensen x _s .

-Det andre omhandler spekteret til et diskret aperiodisk signal, med prøver som tilsvarer sekvensen x _s .

Den diskrete transformasjonen er en tilnærming til spekteret til det originale analoge signalet. Fasen avhenger av prøvetakingsinstansene, mens dens størrelse avhenger av samplingintervallet.

Egenskaper

De algebraiske grunnmurene av strukturen utgjør begrunnelsen for de følgende seksjoner.

linearitet

C. S _n → C. F; Hvis en sekvens blir multiplisert med en skalar, vil dens transformasjon også være.

T _n + V _n = F + F; Transformasjonen av en sum er lik summen av transformasjonene.

duality

F → (1 / N) S _-k; Hvis den diskrete Fourier-transformasjonen blir beregnet på nytt til et allerede transformert uttrykk, oppnås det samme uttrykket, skalert i N og omvendt i forhold til den vertikale aksen.

konvolusjon

Forfølgelse av lignende mål som i Laplace-transformen, og konvolvering av funksjoner refererer til produktet mellom deres Fourier-transformasjoner. Convolution gjelder også diskrete tider og er ansvarlig for mange moderne prosedyrer.

X _n * R _n → F .F; Transformasjonen av en konvolusjon er lik produktet av transformasjonene.

X _n . R _n → F * F; Transformasjonen av et produkt tilsvarer konvolusjonen av transformasjonene.

Displacement

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Hvis en sekvens blir forsinket av m-prøver, vil dens virkning på den diskrete transformasjonen være en modifisering av vinkelen definert av (2π / N) km.

Symmetry

X _t = X * _t = X _t

modulation

W ^-Nm _N . x ↔ X _t

Produkt

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Symmetry

X ↔ X _t = X * _t

konjugat

x * ↔ X * _t

Parseval ligning

Med hensyn til den konvensjonelle Fourier-transformen har den flere likheter og forskjeller. Fourier-transformasjonen konverterer en sekvens til en solid linje. På denne måten sies det at resultatet av Fourier-variabelen er en kompleks funksjon av en reell variabel.

Den diskrete Fourier-transformasjonen mottar i motsetning til et diskret signal og transformerer det til et annet diskret signal, det vil si en sekvens.

Hva er den diskrete Fourier-transformasjonen til?

De tjener først og fremst til å forenkle likninger, mens de transformerer avledede uttrykk til maktelementer. Betegner differensielle uttrykk i integrerbare polynomformer.

I optimalisering, modulering og modellering av resultater fungerer det som et standardisert uttrykk, og er en hyppig ressurs for prosjektering etter flere generasjoner.

Kilde: pixabay

Historie

Dette matematiske konseptet ble introdusert av Joseph B. Fourier i 1811, mens det ble utviklet en avhandling om forplantning av varme. Det ble raskt adoptert av forskjellige grener av vitenskap og teknikk.

Det ble etablert som det viktigste arbeidsverktøyet i studien av ligninger med partielle derivater, og sammenlignet det til og med det eksisterende arbeidsforholdet mellom Laplace-transformasjonen og ordinære differensialligninger.

Hver funksjon som kan arbeides med en Fourier-transformasjon, må presentere null utenfor en definert parameter.

Diskret Fourier-transformasjon og dens inverse

Den diskrete transformasjonen oppnås gjennom uttrykket:

Etter å ha gitt en diskret sekvens X

Det inverse av den diskrete Fourier-transformasjonen er definert gjennom uttrykket:

Omvendt kraftuttak

Når den diskrete transformasjonen er oppnådd, tillater den å definere sekvensen i tidsdomenet X.

Winged

Parametriseringsprosessen som tilsvarer den diskrete Fourier-transformasjonen ligger i vinduet. For å utføre transformasjonen må vi begrense sekvensen i tid. I mange tilfeller har ikke de aktuelle signalene disse begrensningene.

En sekvens som ikke oppfyller størrelseskriteriene som skal brukes på den diskrete transformasjonen, kan multipliseres med en "vindus" -funksjon V, som definerer oppførselen til sekvensen i en kontrollert parameter.

X. V

Bredden på spekteret vil være avhengig av bredden på vinduet. Når bredden på vinduet øker, vil den beregnede transformasjonen bli smalere.

applikasjoner

Beregning av den grunnleggende løsningen

Den diskrete Fourier-transformasjonen er et kraftig verktøy i studiet av diskrete sekvenser.

Den diskrete Fourier-transformasjonen transformerer en kontinuerlig variabel funksjon til en diskret variabel transformasjon.

Cauchy-problemet for varmeforlikningen presenterer et hyppig anvendelsesfelt for den diskrete Fourier-transformasjonen . Hvor kjernefunksjonen til varme eller Dirichlet-kjerne genereres, som gjelder samplingverdier i en definert parameter.

Signal teori

Den generelle årsaken til anvendelsen av den diskrete Fourier-transformasjonen i denne grenen skyldes hovedsakelig den karakteristiske nedbrytningen av et signal som en uendelig superposisjon av lettere behandlingsbare signaler.

Det kan være en lydbølge eller en elektromagnetisk bølge, den diskrete Fourier-transformasjonen uttrykker den i en superposisjon av enkle bølger. Denne representasjonen er ganske hyppig innen elektroteknikk.

Fourier-serien

De er serier definert i form av Cosines and Sines. De tjener til å lette arbeid med generelle periodiske funksjoner. Når de brukes, er de en del av teknikkene for å løse ordinære og partielle differensialligninger.

Fourier-serier er enda mer generelle enn Taylor-serier, fordi de utvikler periodiske diskontinuerlige funksjoner som ikke har Taylor-serierepresentasjon.

Andre former for Fourier-serien

For å forstå Fourier-transformasjonen analytisk, er det viktig å gjennomgå de andre måtene Fourier-serien kan finnes på, til vi kan definere Fourier-serien i dens komplekse notasjon.

-Fourier-serien om en funksjon av periode 2L:

Intervallet blir vurdert, noe som gir fordeler når du utnytter de symmetriske egenskapene til funksjonene.

Hvis f er jevn, etableres Fourier-serien som en serie av Cosines.

Hvis f er merkelig, etableres Fourier-serien som en serie med Sines.

-Kompleks notasjon av Fourier-serien

Hvis vi har en funksjon f (t), som oppfyller alle kravene i Fourier-serien, er det mulig å betegne den i intervallet ved å bruke den komplekse notasjonen:

eksempler

Når det gjelder beregning av den grunnleggende løsningen, presenteres følgende eksempler:

På den annen side er følgende eksempler på anvendelse av den diskrete Fourier-transformasjonen innen signalteori:

-Problemer med systemidentifikasjon. Etablert f og g

-Problem med utgangssignalets konsistens

-Problemer med signalfiltrering

Øvelser

Oppgave 1

Beregn den diskrete Fourier-transformasjonen for følgende sekvens.

Du kan definere kraftuttaket til x som:

X _t = {4, -j2, 0, j2} for k = 0, 1, 2, 3

Oppgave 2

Vi ønsker å bestemme spektralsignalet som er definert av uttrykket x (t) = e- ^t gjennom en digital algoritme . Hvor den høyeste frekvensen som ber om koeffisient er f _m = 1Hz. En harmonisk tilsvarer f = 0,3 Hz. Feilen er begrenset til mindre enn 5%. Beregn f _s , D og N.

Under hensyntagen til samplingsteoremet f _s = 2f _m = 2 Hz

En frekvensoppløsning på f ₀ = 0,1 Hz er valgt , hvorfra vi får D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz er frekvensen som tilsvarer indeksen k = 3, der N = 3 × 8 = 24 prøver. Indikerer at f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

Siden målet er å få lavest mulig verdi for N, kan følgende verdier betraktes som en løsning:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

referanser

1. Mestring av den diskrete Fourier-transformasjonen i en, to eller flere dimensjoner: Fallgruver og artefakter. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19. jul. 2013
2. DFT: En eierhåndbok for den diskrete Fourier-transformasjonen. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1. jan. nitten nitti fem
3. Digital signalbehandling: teori og praksis. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transformer og raske algoritmer for signalanalyse og representasjoner. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6. desember. 2012
5. Diskrete og kontinuerlige Fourier-transformasjoner: analyse, applikasjoner og raske algoritmer. Eleanor Chu. CRC Press, 19. mars. 2008