DIREKTØRVEKTOR: LIGNING AV LINJEN, LØSTE ØVELSER - FYSISK - 2025

En regissørvektor forstås å være en som definerer retningen på en linje, enten i planet eller i rommet. Derfor kan en vektor parallelt med linjen betraktes som en retningsvektor av den.

Dette er mulig takket være et aksiom av euklidisk geometri som sier at to punkter definerer en linje. Da definerer det orienterte segmentet dannet av disse to punktene også en direktørvektor for linjen.

Figur 1. Direktørvektor for en linje. (Egen utdyping)

Gitt et punkt P som tilhører linjen (L) og gitt en direktørvektor u for den linjen, er linjen fullstendig bestemt.

Ligning av linjen og direktørvektoren

Figur 2. Ligning av linjen og direktørvektoren. (Egen utdyping)

Gitt et punkt P med koordinater P: (Xo, I) og en vektor u- regissør for en linje (L), må hvert punkt Q i koordinatene Q: (X, Y) tilfredsstille at vektoren PQ er parallell med u. Denne siste betingelsen er garantert hvis PQ er proporsjonal med u :

PQ = t⋅ u

i uttrykket ovenfor er t en parameter som hører til de reelle tallene.

Hvis de kartesiske komponentene i PQ og u er skrevet, skrives likningen ovenfor som følger:

(X-Xo, Y-Yo) = t⋅ (a, b)

Hvis komponentene i vektorlikhet utjevnes, oppnås følgende par av ligninger:

X - Xo = god Y - I = b⋅t

Parametrisk ligning av linjen

X- og Y-koordinatene til et punkt som tilhører linjen (L) som går gjennom et koordinatpunkt (Xo, Yo) og er parallelt med direktørvektoren u = (a, b) bestemmes ved å tilordne reelle verdier til variabelen parameter t:

{X = Xo + a⋅t; Y = I + btt}

Eksempel 1

For å illustrere betydningen av den parametriske ligningen på linjen, tar vi som retningsvektor

u = (a, b) = (2, -1)

og som et kjent punkt på linjen poenget

P = (Xo, I) = (1, 5).

Den parametriske ligningen for linjen er:

{X = 1 + 2⋅t; Y = 5 - 1⋅t; -∞

For å illustrere betydningen av denne ligningen, er figur 3 vist, der parameteren t endrer verdien og punktet Q for koordinater (X, Y) tar forskjellige posisjoner på linjen.

Figur 3. PQ = t u. (Egen utdyping)

Linjen i vektorform

Gitt et punkt P på linjen og dens direktørvektor u, kan ligningen på linjen skrives i vektorform:

OQ = OP + λ⋅ u

I ligningen ovenfor er Q et hvilket som helst punkt, men tilhører linjen og λ er et reelt tall.

Vektorlikningen for linjen er gjeldende for et hvilket som helst antall dimensjoner, til og med en hyperlinje kan defineres.

I det tredimensjonale tilfellet for en direktørvektor u = (a, b, c) og et punkt P = (Xo, Yo, Zo), er koordinatene til et generisk punkt Q = (X, Y, Z) som tilhører linjen :

(X, Y, Z) = (Xo, Yo, Zo) + λ⋅ (a, b, c)

Eksempel 2

Tenk igjen linjen som har som retningsvektor

u = (a, b) = (2, -1)

og som et kjent punkt på linjen poenget

P = (Xo, I) = (1, 5).

Vektorlikningen for nevnte linje er:

(X, Y) = (1, 5) + X (2, -1)

Kontinuerlig form for linjen og direktørvektoren

Med utgangspunkt i den parametriske formen, rensing og likestilling av parameteren λ, har vi:

(X-Xo) / a = (Y-Yo) / b = (Z-Zo) / c

Dette er den symmetriske formen for ligningen på linjen. Legg merke til at a, b og c er komponentene i regissørvektoren.

Eksempel 3

Tenk på linjen som har som retningsvektor

u = (a, b) = (2, -1)

og som et kjent punkt på linjen poenget

P = (Xo, I) = (1, 5). Finn dens symmetriske form.

Den symmetriske eller kontinuerlige formen på linjen er:

(X - 1) / 2 = (Y - 5) / (- 1)

Generell form for linjens ligning

Den generelle formen for linjen i XY-planet er kjent som ligningen som har følgende struktur:

A⋅X + B⋅Y = C

Uttrykket for den symmetriske formen kan skrives om til å ha den generelle formen:

b⋅X - a⋅Y = b⋅Xo - a⋅Yo

sammenlignet med den generelle formen på linjen er det:

A = b, B = -a og C = b⋅Xo - a⋅Yo

Eksempel 3

Finn den generelle formen for linjen hvis direktørvektor er u = (2, -1)

og som går gjennom punktet P = (1, 5).

For å finne den generelle formen kan vi bruke de gitte formlene, men en alternativ bane vil bli valgt.

Vi begynner med å finne den doble vektoren w av direktørvektoren u, definert som vektoren oppnådd ved å utveksle komponentene i u og multiplisere sekundet med -1:

w = (-1, -2)

den doble vektoren w , svarer til en 90 ° dreining med urviseren av den leder vektoren v .

Vi scalarly multiplisere w med (X, Y) og med (Xo, Yo) og satt lik:

(-1, -2) • (X, Y) = (-1, -2) • (1, 5)

-X-2Y = -1 -2,5 = -11

gjenstår til slutt:

X + 2Y = 11

Standardform for linjens ligning

Det er kjent som standardformen på linjen i XY-planet, en som har følgende struktur:

Y = m⋅X + d

hvor m representerer skråningen og d avskjæringen med Y-aksen.

Gitt retningsvektoren u = (a, b), er skråningen m b / a.

Yd oppnås ved å erstatte X og Y med det kjente punktet Xo, I:

I = (b / a) Xo + d.

Kort sagt, m = b / a og d = I - (b / a) Xo

Legg merke til at skråningen m er kvotienten mellom y-komponenten til direktørvektoren og x-komponenten av den.

Eksempel 4

Finn standardformen på linjen hvis direktørvektor er u = (2, -1)

og som går gjennom punktet P = (1, 5).

m = -½ og d = 5 - (-½) 1 = 11/2

Y = (-1/2) X + 11/2

Løste øvelser

-Øvelse 1

Finn en direktørvektor for linjen (L) som er skjæringspunktet mellom planet (Π): X - Y + Z = 3 og planet (Ω): 2X + Y = 1.

Skriv deretter den kontinuerlige formen for ligningen på linjen (L).

Løsning

Fra ligningen til planets (Ω) klaring Y: Y = 1 -2X

Så erstatter vi i ligningen til planet (Π):

X - (1 - 2X) + Z = 3 ⇒ 3X + Z = 4 ⇒ Z = 4 - 3X

Deretter parameteriserer vi X, vi velger parameteriseringen X = λ

Dette betyr at linjen har en vektorligning gitt av:

(X, Y, Z) = (λ, 1 - 2λ, 4 - 3λ)

som kan skrives om som:

(X, Y, Z) = (0, 1, 4) + X (1, ​​-2, -3)

som det er klart at vektoren u = (1, -2, -3) er en retningsvektor på linjen (L).

Den kontinuerlige formen for linjen (L) er:

(X - 0) / 1 = (Y - 1) / (- 2) = (Z - 4) / (- 3)

-Øvelse 2

Gitt planet 5X + a Y + 4Z = 5

og linjen hvis ligning er X / 1 = (Y-2) / 3 = (Z -2) / (- 2)

Bestem verdien for et slikt at planet og linjen er parallelle.

Løsning 2

Vektoren n = (5, a, 4) er en vektor som er normal for planet.

Vektoren u = (1, 3, -2) er en retningsvektor på linjen.

Hvis linjen er parallell med planet, er n • v = 0.

(5, a, 4) • (1, 3, -2) = 5 +3 a -8 = 0 ⇒ a = 1.

referanser

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematikk. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. (2006). Lineær algebra. Pearson Education.
3. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plane Analytical Geometry. Mérida - Venezuela: Redaksjonell Venezolana CA
4. Navarro, Rocio. Vektorer. Gjenopprettet fra: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
6. Prenowitz, W. 2012. Grunnleggende begreper om geometri. Rowman & Littlefield.
7. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.