- Hvordan få den normale vektoren til et fly?
- Den normale vektoren fra vektorproduktet
- Eksempel
- Løsning
- Beregning av vektorproduktet
- Ligning av flyet
- referanser
Den normale vektoren er en som definerer retningen vinkelrett på en eller annen geometrisk enhet under vurdering, som kan være ved en kurve, et plan eller en overflate, for eksempel.
Det er et veldig nyttig konsept når det gjelder plassering av en bevegelig partikkel eller en overflate i rommet. I den følgende grafen er det mulig å se hvordan den normale vektoren til en vilkårlig kurve C er:
Figur 1. En kurve C med vektoren normal til kurven ved punkt P. Kilde: Svjo
Tenk på et punkt P på kurve C. Punktet kan representere en bevegelig partikkel som beveger seg langs en C-formet bane. Tangerlinjen til kurven ved punktet P er tegnet i rødt.
Legg merke til at vektor T er tangent til C på hvert punkt, mens vektor N er vinkelrett på T og peker mot midten av en tenkt sirkel hvis bue er et segment av C. Vektorer er betegnet med fet skrift i trykt tekst, for skille dem fra andre ikke-vektormengder.
Vektoren T indikerer alltid hvor partikkelen beveger seg, derfor indikerer den hastigheten på partikkelen. På den annen side peker vektoren N alltid i retningen som partikkelen roterer, på denne måten indikerer den konkaviteten til kurven C.
Hvordan få den normale vektoren til et fly?
Den normale vektoren er ikke nødvendigvis en enhetsvektor, det vil si en vektor hvis modul er 1, men i så fall kalles den en normal enhetsvektor.
Figur 2. Til venstre er et plan P og de to vektorene normale for nevnte plan. Til høyre enhetsvektorene i de tre retningene som bestemmer plass. Kilde: Wikimedia Commons. Se side for forfatter
I mange bruksområder er det nødvendig å kjenne vektoren normal til et plan i stedet for en kurve. Denne vektoren avslører planets orientering i rommet. Tenk for eksempel flyet P (gult) på figuren:
Det er to normale vektorer til dette planet: n 1 og n 2 . Bruken av det ene eller det andre vil avhenge av konteksten der nevnte plan er funnet. Å få normalvektoren til et plan er veldig enkelt hvis ligningen til planet er kjent:
Her er vektoren N uttrykt i form av de vinkelrette enhetsvektorene i , j og k , rettet langs de tre retningene som bestemmer xyz-rommet, se figur 2 til høyre.
Den normale vektoren fra vektorproduktet
En veldig enkel prosedyre for å finne den normale vektoren bruker egenskapene til vektorproduktet mellom to vektorer.
Som kjent bestemmer tre forskjellige punkter, ikke kollinære med hverandre, et plan P. Nå er det mulig å få to vektorer u og v som hører til nevnte plan med disse tre punktene.
Når vektorene er oppnådd, er vektorproduktet u x v en operasjon hvis resultat er en vektor som har egenskapen å være vinkelrett på planet bestemt av u og v .
Kjent denne vektoren, er den betegnet som N , og fra den vil det være mulig å bestemme ligningens plan takket være ligningen som er angitt i foregående seksjon:
N = u x v
Følgende figur illustrerer fremgangsmåten beskrevet:
Figur 3. Med to vektorer og deres vektorprodukt eller kryss bestemmes ligningen for planet som inneholder de to vektorene. Kilde: Wikimedia Commons. Ingen maskinlesbar forfatter gitt. M.Romero Schmidtke antok (basert på krav om opphavsrett).
Eksempel
Finn ligningen for planet bestemt av punktene A (2,1,3); B (0,1,1); C (4.2.1).
Løsning
Denne øvelsen illustrerer fremgangsmåten beskrevet ovenfor. Ved å ha 3 poeng, blir ett av dem valgt som det vanlige opprinnelsen til to vektorer som hører til planet definert av disse punktene. For eksempel er punkt A angitt som opprinnelse og vektorene AB og AC er konstruert .
Vektor AB er vektoren hvis opprinnelse er punkt A og hvis endepunkt er punkt B. Koordinatene til vektor AB bestemmes ved å trekke fra koordinatene til B fra koordinatene til A:
Vi fortsetter på samme måte for å finne vektoren AC :
Beregning av vektorproduktet
Det er flere prosedyrer for å finne kryssproduktet mellom to vektorer. Dette eksemplet bruker en mnemonisk prosedyre som bruker følgende figur for å finne vektorproduktene mellom enhetsvektorene i , j og k:
Figur 4. Graf for å bestemme vektorproduktet mellom enhetsvektorene. Kilde: self made.
For å begynne med er det godt å huske at vektorproduktene mellom parallelle vektorer er null, derfor:
i x i = 0; j x j = 0; k x k = 0
Og siden vektorproduktet er en annen vektor vinkelrett på de deltagende vektorer, beveger vi oss i retning av den røde pilen:
Hvis du må bevege deg i motsatt retning av pilen, legger du til et skilt (-):
Totalt er det mulig å lage 9 vektorprodukter med enhetsvektorene i , j og k , hvorav 3 vil være null.
AB x AC = (-2 i + 0 j -2 k ) x (2 i + j -2 k ) = -4 ( i x i ) -2 ( i x j ) +4 ( i x k ) +0 ( j x i ) + 0 ( j x j ) - 0 ( j x k ) - 4 ( k x i ) -2 ( k x j ) + 4 ( k x k ) = -2 k -4j -4 j +2 i = 2 i -8 j -2 k
Ligning av flyet
Vektoren N er bestemt av vektorproduktet som tidligere er beregnet:
N = 2 i -8 j -2 k
Derfor er a = 2, b = -8, c = -2, det søkt plan:
Verdien av d gjenstår å bestemme. Dette er enkelt hvis verdiene for et av punktene A, B eller C som er tilgjengelige, er erstattet i ligningens plan. Velge C for eksempel:
x = 4; y = 2; z = 1
Rester:
Kort sagt er det søkt kartet:
Den nysgjerrige leseren kan lure på om det samme resultatet ville blitt oppnådd hvis det i stedet for å gjøre AB x AC hadde blitt valgt å gjøre AC x AB. Svaret er ja, planet bestemt av disse tre punktene er unikt og har to normale vektorer, som vist i figur 2.
Når det gjelder det punktet som er valgt som opprinnelsen til vektorene, er det ikke noe problem å velge noen av de to andre.
referanser
- Figueroa, D. (2005). Serie: Fysikk for vitenskap og ingeniørfag. Volum 1. Kinematikk. Redigert av Douglas Figueroa (USB). 31- 62.
- Å finne det normale til et fly. Gjenopprettet fra: web.ma.utexas.edu.
- Larson, R. (1986). Kalkulus og analytisk geometri. Mc Graw Hill. 616-647.
- Linjer og fly i R 3. Gjenopprettet fra: math.harvard.edu.
- Normal vektor. Gjenopprettet fra mathworld.wolfram.com.