HISTORISK BAKGRUNN FOR ANALYTISK GEOMETRI - MATTE - 2026

De historiske forfedrene til analytisk geometri går tilbake til det syttende århundre, da Pierre de Fermat og René Descartes definerte sin grunnleggende idé. Oppfinnelsen hans fulgte moderniseringen av François Viètes algebra og algebraiske notasjon.

Dette feltet har sine baser i antikkens Hellas, spesielt i verkene til Apollonius og Euclid, som hadde stor innflytelse på dette matematikkområdet.

Den essensielle ideen bak analytisk geometri er at et forhold mellom to variabler, slik at den ene er en funksjon av den andre, definerer en kurve.

Denne ideen ble først utviklet av Pierre de Fermat. Takket være dette viktige rammeverket, var Isaac Newton og Gottfried Leibniz i stand til å utvikle beregningen.

Den franske filosofen Descartes oppdaget også en algebraisk tilnærming til geometri, tilsynelatende på egen hånd. Descartes arbeid med geometri vises i hans berømte bok Discourse on Method.

Denne boken påpeker at kompasset og de geometriske konstruksjonene med rette kanten innebærer tillegg, subtraksjon, multiplikasjon og firkantede røtter.

Analytisk geometri representerer foreningen av to viktige tradisjoner i matematikk: geometri som studie av form, og aritmetikk og algebra, som har med mengde eller tall å gjøre. Derfor er analytisk geometri studiet av feltet geometri ved bruk av koordinatsystemer.

Historie

Bakgrunn for analytisk geometri

Forholdet mellom geometri og algebra har utviklet seg gjennom matematikkens historie, selv om geometri nådde et tidligere modningsstadium.

For eksempel kunne den greske matematikeren Euclid organisere mange resultater i sin klassiske bok The Elements.

Men det var den eldgamle greske Apollonius av Perga som spådde utviklingen av analytisk geometri i sin bok Conics. Han definerte en kjegle som skjæringspunktet mellom en kjegle og et plan.

Ved å bruke Euclids resultater på lignende trekanter og sekvenser av sirkler, fant han et forhold gitt av avstandene fra et hvilket som helst punkt "P" av en konisk til to vinkelrett linjer, hovedaksen til en kjegle og tangenten ved endepunktet på aksen. Apollonius brukte dette forholdet for å utlede grunnleggende egenskaper ved kjeglene.

Den påfølgende utviklingen av koordinatsystemer i matematikk dukket først opp etter at algebra hadde modnet takket være islamske og indiske matematikere.

Fram til renessansen ble geometri brukt for å rettferdiggjøre løsninger på algebraiske problemer, men det var ikke mye som algebra kunne bidra til geometri.

Denne situasjonen ville endres med adopsjonen av en praktisk notasjon for algebraiske relasjoner og utviklingen av begrepet en matematisk funksjon, som nå var mulig.

Århundre XVI

På slutten av 1500-tallet introduserte den franske matematikeren François Viète den første systematiske algebraiske notasjonen, ved å bruke bokstaver for å representere numeriske mengder, både kjente og ukjente.

Han utviklet også kraftige generelle metoder for å arbeide algebraiske uttrykk og løse algebraiske ligninger.

Takket være dette var matematikere ikke helt avhengige av geometriske figurer og geometrisk intuisjon for å løse problemer.

Selv noen matematikere begynte å forlate den standard geometriske tankegangen, i henhold til hvilke lineære variabler av lengder og firkanter tilsvarer områder, mens kubiske variabler tilsvarer volum.

De første som tok dette trinnet var filosofen og matematikeren René Descartes, og advokaten og matematikeren Pierre de Fermat.

Grunnlag for analytisk geometri

Descartes og Fermat grunnla uavhengig analytisk geometri i løpet av 1630-årene, og tok i bruk Viètes algebra for studiet av locus.

Disse matematikerne innså at algebra var et kraftig verktøy i geometri og oppfant det som i dag er kjent som analytisk geometri.

Et gjennombrudd de gjorde var å overgå Viète ved å bruke bokstaver for å representere avstander som er varierende enn faste.

Descartes brukte ligninger for å studere geometrisk definerte kurver, og understreket behovet for å vurdere generelle algebraisk-grafiske kurver for polynomligninger i grader "x" og "y".

Fermat la på sin side vekt på at ethvert forhold mellom koordinatene "x" og "y" bestemmer en kurve.

Ved hjelp av disse ideene omstrukturerte han Apollonius uttalelser om algebraiske termer og gjenopprettet noe av det tapte arbeidet hans.

Fermat indikerte at enhver kvadratisk ligning i "x" og "y" kan plasseres i standardformen til en av de koniske seksjonene. Til tross for dette publiserte Fermat aldri sitt arbeid om emnet.

Takket være deres fremskritt, hva Archimedes bare kunne løse med store vanskeligheter og for isolerte tilfeller, kunne Fermat og Descartes løse raskt og for et stort antall kurver (nå kjent som algebraiske kurver).

Men ideene hans fikk bare generell aksept gjennom innsatsen til andre matematikere i siste halvdel av 1600-tallet.

Matematikere Frans van Schooten, Florimond de Beaune og Johan de Witt var med på å utvide Decartes arbeid og la til viktig tilleggsmateriell.

Innflytelse

I England populariserte John Wallis analytisk geometri. Han brukte ligninger for å definere kjeglene og utlede deres egenskaper. Selv om han fritt brukte negative koordinater, var det Isaac Newton som brukte to skrå akser for å dele opp flyet i fire kvadranter.

Newton og den tyske Gottfried Leibniz revolusjonerte matematikken på slutten av 1600-tallet ved uavhengig å demonstrere kraften til kalkulus.

Newton demonstrerte viktigheten av analysemetoder i geometri og deres rolle i kalkulus når han hevdet at en hvilken som helst kube (eller en hvilken som helst tredjegrads algebraisk kurve) har tre eller fire standardligninger for passende koordinatakser. Ved hjelp av Newton selv beviste den skotske matematikeren John Stirling det i 1717.

Analytisk geometri med tre og flere dimensjoner

Selv om både Descartes og Fermat foreslo å bruke tre koordinater for å studere kurver og overflater i rommet, utviklet tredimensjonal analytisk geometri seg sakte til 1730.

Matematikerne Euler, Hermann og Clairaut produserte generelle ligninger for sylindere, kjegler og revolusjonsflater.

For eksempel brukte Euler ligninger for oversettelser i rommet for å transformere den generelle kvadratiske overflaten, slik at dens hovedakser sammenfaller med dens koordinatakser.

Euler, Joseph-Louis Lagrange og Gaspard Monge gjorde analytisk geometri uavhengig av syntetisk (ikke-analytisk) geometri.

referanser

1. Utviklingen av analytisk geometri (2001). Gjenopprettet fra encyclopedia.com
2. Historie om analytisk geometri (2015). Gjenopprettet fra maa.org
3. Analyse (matematikk). Gjenopprettet fra britannica.com
4. Analytisk geometri. Gjenopprettet fra britannica.com
5. Descartes og fødselen til analytisk geometri. Gjenopprettet fra sciencedirect.com