KURTOSIS: DEFINISJON, TYPER, FORMLER, HVA DET ER FOR EKSEMPEL - DUDAS - 2026

Den kurtosis eller kurtosis er en statistisk parameter som brukes til å karakterisere sannsynlighetsfordelingen for en tilfeldig variabel, noe som indikerer graden av konsentrasjonen av de verdier rundt den sentrale tiltaket. Dette er også kjent som "peak grade."

Begrepet kommer fra det greske "kurtos" som betyr buet, derfor indikerer kurtosen graden av peking eller utflating av fordelingen, som det sees i følgende figur:

Figur 1. Ulike typer kurtose. Kilde: F. Zapata.

Nesten alle verdiene til en tilfeldig variabel har en tendens til å klynge seg rundt en sentral verdi som middelverdien. Men i noen fordelinger er verdiene mer spredt enn i andre, noe som resulterer i flatere eller slankere kurver.

Definisjon

Kurtosen er en numerisk verdi som er typisk for hver frekvensfordeling, som i henhold til konsentrasjonen av verdiene rundt middelverdien er klassifisert i tre grupper:

- Leptokurtic: der verdiene er veldig gruppert rundt middelverdien, så fordelingen er ganske spiss og slank (figur 1 til venstre).

- Mesocúrtic: det har en moderat konsentrasjon av verdier rundt middelverdien (figur 1 i midten).

- Platicúrtica: denne fordelingen har en bredere form, siden verdiene har en tendens til å være mer spredt (figur 1 til høyre).

Formler og ligninger

Kurtosen kan ha hvilken som helst verdi, uten begrensninger. Beregningen blir utført avhengig av måten dataene leveres på. Notasjonen som brukes i hvert tilfelle er følgende:

-Koeffisient av kurtose: g ₂

-Aritmetisk middel: X eller x med bjelke

-En i-th verdi: x _i

-Standardavvik: σ

-Antall data: N

-Frekvensen av i-th verdien: f _i

-Klassemerke: mx _i

Med denne notasjonen presenterer vi noen av de mest brukte formlene for å finne kurtose:

- Kurtosis i henhold til presentasjonen av dataene

Data ikke gruppert eller gruppert i frekvenser

Data gruppert i intervaller

Overflødig kurtose

Også kalt Fishers målrettingskoeffisient eller Fishers mål, brukes den til å sammenligne distribusjonen som er undersøkt med den normale fordelingen.

Når overflødig kurtose er 0, er vi i nærvær av en normalfordeling eller Gaussisk bjelle. På denne måten sammenligner vi faktisk den overskytende kurtose som en distribusjon har, med den normale fordelingen.

For både de ugrupperte og de samlede dataene er Fishers pekekoeffisient, betegnet med K,:

K = g ₂ - 3

Nå kan det vises at kurtosen til normalfordeling er 3, hvis Fisher-pekekoeffisienten er 0 eller nær 0 og det er en mesokruktisk distribusjon. Hvis K> 0 er fordelingen leptokurtisk, og hvis K <0 er den platicúrtisk.

Hva er kurtose til?

Kurtosis er et mål på variabilitet som brukes til å karakterisere morfologien til en distribusjon. På denne måten kan symmetriske fordelinger med samme gjennomsnitt og samme spredning (gitt av standardavviket) sammenlignes.

Å ha mål på variabilitet sikrer at gjennomsnittet er pålitelig og hjelper til med å kontrollere variasjoner i distribusjonen. La oss som et eksempel se på disse to situasjonene.

Lønnene til 3 avdelinger

Anta at følgende graf viser lønnsfordelingene til 3 avdelinger i samme selskap:

Figur 2. Tre fordelinger med ulik kurtose illustrerer praktiske situasjoner. (Utarbeidet av Fanny Zapata)

Kurve A er den smaleste av alle, og fra dens form kan det utledes at de fleste av lønnene til den avdelingen er veldig nær gjennomsnittet, derfor får de fleste av de ansatte tilsvarende kompensasjon.

På den andre siden, i avdeling B, følger lønnskurven en normal fordeling, siden kurven er mesokúrtisk, der vi antar at lønningene ble fordelt tilfeldig.

Og endelig har vi kurve C som er veldig flat, et tegn på at i denne avdelingen er lønnsområdet mye bredere enn i de andre.

Resultatene av en eksamen

Anta nå at de tre kurvene i figur 2 representerer resultatene av en eksamen som ble brukt til tre grupper studenter av samme fag.

Gruppen hvis rangeringer er representert med A leptokurtisk kurve er ganske homogen, de fleste fikk en gjennomsnittlig eller nær vurdering.

Det er også mulig at resultatet skyldtes at testspørsmålene hadde mer eller mindre samme vanskelighetsgrad.

På den annen side indikerer resultatene fra gruppe C en større heterogenitet i gruppen, som sannsynligvis inneholder gjennomsnittlige studenter, noen mer avanserte studenter og sikkert de samme mindre oppmerksomme.

Eller det kan bety at testspørsmålene hadde veldig forskjellige vanskelighetsgrader.

Kurve B er mesokutisk, noe som tyder på at testresultatene fulgte en normal fordeling. Dette er vanligvis det hyppigste tilfellet.

Jobbet eksempel på kurtose

Finn Fishers poengkoeffisient for følgende karakterer, oppnådd i en fysikkeksamen til en gruppe studenter, med en skala fra 1 til 10:

Løsning

Følgende uttrykk vil bli brukt for ikke-grupperte data gitt i de foregående seksjoner:

K = g ₂ - 3

Denne verdien lar deg vite typen distribusjon.

For å beregne g _{2 er det} praktisk å gjøre det på en ordnet måte, trinn for trinn, siden flere aritmetiske operasjoner må løses.

Trinn 1

Først beregnes gjennomsnittet av karakterene. Det er N = 11 data.

Steg 2

Standardavviket er funnet, som denne ligningen brukes til:

σ = 1,992

Eller du kan også lage en tabell, som også er nødvendig for neste trinn, og hvor hvert begrep i summasjonene som trengs, skrives, med (x _i - X), deretter (x _i - X) ² og deretter (x _i - X) ⁴ :

Trinn 3

Gjennomfør summen som er angitt i telleren med formelen for g ₂ . For dette brukes resultatet av høyre kolonne i forrige tabell:

∑ (x _i - X) ⁴ = 290,15

Og dermed:

g ₂ = (1/11) x 290,15 / 1,992 ⁴ = 1,675

Fishers pekekoeffisient er:

K = g ₂ - 3 = 1.675 - 3 = -1.325

Det som er av interesse er tegnet på resultatet, som, negativt, tilsvarer en platicúrtisk fordeling, som kan tolkes som det ble gjort i forrige eksempel: muligens er det et heterogent kurs med studenter av forskjellige grader av interesse eller eksamensoppgavene var av forskjellige vanskelighetsgrader.

Bruken av et regneark som Excel letter i stor grad løsningen på denne typen problemer og tilbyr også muligheten til å tegne distribusjonen.

referanser

1. Levin, R. 1988. Statistikk for administratorer. Andre. Edition. Prentice Hall.
2. Marco, F. Curtosis. Gjenopprettet fra: economipedia.com.
3. Oliva, J. Asymmetri og kurtose. Gjenopprettet fra: statististicaucv.files.wordpress.com.
4. Spurr, W. 1982. Decision Making in Management. Limusa.
5. Wikipedia. Kurtose. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org.