ANTIDERIVATIV: FORMLER OG LIGNINGER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2026

En antiderivativ F (x) av en funksjon f (x) kalles også primitiv eller ganske enkelt det ubestemte integralet av nevnte funksjon, hvis det i et gitt intervall I blir oppfylt at F '(x) = f (x)

La oss for eksempel ta følgende funksjon:

f (x) = 4x ³

Et antiderivativ for denne funksjonen er F (x) = x ⁴ , siden når vi differensierer F (x) ved å bruke derivasjonsregelen for krefter:

Vi oppnår nøyaktig f (x) = 4x ³ .

Imidlertid er dette bare ett av de mange antiderivene av f (x), siden denne andre funksjonen: G (x) = x ⁴ + 2 også er det, fordi når man skiller G (x) med hensyn til x, oppnås det samme baksiden av f (x).

La oss sjekke det ut:

Husk at derivatet til en konstant er 0. Derfor kan vi legge til en hvilken som helst konstant til uttrykket x ^4, og dets derivat vil forbli 4x ³ .

Det konkluderes med at enhver funksjon av den generelle formen F (x) = x ⁴ + C, hvor C er en reell konstant, fungerer som et antiderivativ av f (x).

Det illustrerende eksemplet over kan uttrykkes slik:

dF (x) = 4x ³ dx

Det antiderivative eller ubestemte integralet uttrykkes med symbolet ∫, derfor:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Hvor funksjonen f (x) = 4x ³ kalles integrand, og C er integrasjonskonstanten.

Eksempler på antideriviva

Figur 1. Antiderivativet er ikke annet enn en ubestemt integral. Kilde: Pixabay.

Det er enkelt å finne et antiderivativ av en funksjon i noen tilfeller der derivatene er godt kjent. La for eksempel funksjonen f (x) = sin x, et antidivativ for den, være en annen funksjon F (x), slik at når vi differensierer den får vi f (x).

Denne funksjonen kan være:

F (x) = - cos x

La oss sjekke at det er sant:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Derfor kan vi skrive:

∫sen x dx = -cos x + C

I tillegg til å kjenne til derivatene, er det noen grunnleggende og enkle integrasjonsregler for å finne det antiderivative eller ubestemte integralet.

La k være en virkelig konstant, da:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Hvis en funksjon h (x) kan uttrykkes som tillegg eller subtraksjon av to funksjoner, er dens ubestemmelige integral:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Dette er egenskapen til linearitet.

Maktregelen for integraler kan etableres på denne måten:

Når det gjelder n = -1, brukes følgende regel:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Det er lett å vise at derivatet av ln x er nøyaktig x ^-1 .

Differensiallikninger

En differensialligning er en der det ukjente finnes som et derivat.

Nå, fra forrige analyse, er det lett å innse at den omvendte operasjonen til derivatet er det antiderivative eller ubestemte integralet.

La f (x) = y´ (x), det vil si derivatet til en viss funksjon. Vi kan bruke følgende notasjon for å indikere dette derivatet:

Det følger umiddelbart at:

Det ukjente med differensialligningen er funksjonen y (x), den hvis derivat er f (x). For å løse det er det forrige uttrykket integrert på begge sider, noe som tilsvarer anvendelse av antiderivativet:

Den venstre integralen løses av integrasjonsregelen 1, med k = 1, og løser således det ukjente:

Og siden C er en virkelig konstant, for å vite hvilken som er passende i hvert tilfelle, må utsagnet inneholde nok tilleggsinformasjon til å beregne verdien av C. Dette kalles startbetingelsen.

Vi vil se eksempler på anvendelse av alt dette i neste avsnitt.

Antiderivative øvelser

- Oppgave 1

Bruk integreringsreglene for å oppnå følgende antideriveringsmidler eller ubestemte integraler av de gitte funksjonene, forenkle resultatene så mye som mulig. Det er praktisk å bekrefte resultatet ved avledning.

Figur 2. Trening av antiderivativer eller bestemte integraler. Kilde: Pixabay.

Løsning på

Vi bruker regel 3 først, siden integranden er summen av to begreper:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

For den første integralen gjelder maktregelen:

∫ dx = (x ^2- / 2) + C ₁

I den andre integrerte regelen 1 brukes der k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

Og nå er resultatene lagt til. De to konstantene er gruppert i en, generisk kalt C:

∫ (x + 7) = dx (x ^2- / 2) + 7x + C

Løsning b

Ved linearitet blir dette integralet dekomponert i tre enklere integraler, som strømregelen vil bli brukt på:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

Merk at en konstant av integrasjon vises for hvert integral, men de møtes i en enkelt samtale C.

Løsning c

I dette tilfellet er det praktisk å anvende fordelingsegenskapene til multiplikasjon for å utvikle integranden. Deretter brukes maktregelen for å finne hvert integral hver for seg, som i forrige øvelse.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Den nøye leseren vil merke seg at de to sentrale begrepene er like, derfor reduseres de før de integreres:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Løsning e

En måte å løse integralen på ville være å utvikle kraften, slik det ble gjort i eksempel d. Siden eksponenten er høyere, vil det imidlertid være lurt å endre variabelen, for ikke å måtte gjøre en så lang utvikling.

Endringen av variabelen er som følger:

u = x + 7

Avleder dette uttrykket til begge sider:

du = dx

Integralet blir transformert til en enklere med den nye variabelen, som løses med strømregelen:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Endelig returneres endringen for å gå tilbake til den opprinnelige variabelen:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Oppgave 2

En partikkel er i utgangspunktet i ro og beveger seg langs x-aksen. Akselerasjonen for t> 0 gis av funksjonen a (t) = cos t. Det er kjent at ved t = 0 er stillingen x = 3, alt i enheter i det internasjonale systemet. Det blir bedt om å finne hastigheten v (t) og posisjonen x (t) til partikkelen.

Løsning

Siden akselerasjon er det første derivatet av hastighet med hensyn til tid, har vi følgende differensialligning:

a (t) = v´ (t) = cos t

Det følger at:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

På den annen side vet vi at hastigheten igjen er derivatet av posisjonen, derfor integrerer vi:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁ ) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Konstantene for integrering bestemmes ut fra informasjonen som er gitt i uttalelsen. For det første står det at partikkelen opprinnelig var i ro, derfor v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

C ₁ = 0

Da har vi x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Hastighets- og posisjonsfunksjonene er definitivt slik:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

referanser

1. Engler, A. 2019. Integral Calculus. National University of the Litoral.
2. Larson, R. 2010. Beregning av en variabel. Niende. Edition. McGraw Hill.
3. Matematikk gratis tekster. Primitiv funksjon. Gjenopprettet fra: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Antideriverte. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Ubestemt integrasjon. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.