- Eksempler på antideriviva
- Differensiallikninger
- Antiderivative øvelser
- - Oppgave 1
- Løsning på
- Løsning b
- Løsning c
- Løsning e
- - Oppgave 2
- Løsning
- referanser
En antiderivativ F (x) av en funksjon f (x) kalles også primitiv eller ganske enkelt det ubestemte integralet av nevnte funksjon, hvis det i et gitt intervall I blir oppfylt at F '(x) = f (x)
La oss for eksempel ta følgende funksjon:
f (x) = 4x 3
Et antiderivativ for denne funksjonen er F (x) = x 4 , siden når vi differensierer F (x) ved å bruke derivasjonsregelen for krefter:

Vi oppnår nøyaktig f (x) = 4x 3 .
Imidlertid er dette bare ett av de mange antiderivene av f (x), siden denne andre funksjonen: G (x) = x 4 + 2 også er det, fordi når man skiller G (x) med hensyn til x, oppnås det samme baksiden av f (x).
La oss sjekke det ut:

Husk at derivatet til en konstant er 0. Derfor kan vi legge til en hvilken som helst konstant til uttrykket x 4, og dets derivat vil forbli 4x 3 .
Det konkluderes med at enhver funksjon av den generelle formen F (x) = x 4 + C, hvor C er en reell konstant, fungerer som et antiderivativ av f (x).
Det illustrerende eksemplet over kan uttrykkes slik:
dF (x) = 4x 3 dx
Det antiderivative eller ubestemte integralet uttrykkes med symbolet ∫, derfor:
F (x) = ∫4x 3 dx = x 4 + C
Hvor funksjonen f (x) = 4x 3 kalles integrand, og C er integrasjonskonstanten.
Eksempler på antideriviva

Figur 1. Antiderivativet er ikke annet enn en ubestemt integral. Kilde: Pixabay.
Det er enkelt å finne et antiderivativ av en funksjon i noen tilfeller der derivatene er godt kjent. La for eksempel funksjonen f (x) = sin x, et antidivativ for den, være en annen funksjon F (x), slik at når vi differensierer den får vi f (x).
Denne funksjonen kan være:
F (x) = - cos x
La oss sjekke at det er sant:
F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x
Derfor kan vi skrive:
∫sen x dx = -cos x + C
I tillegg til å kjenne til derivatene, er det noen grunnleggende og enkle integrasjonsregler for å finne det antiderivative eller ubestemte integralet.
La k være en virkelig konstant, da:
1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C
2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx
Hvis en funksjon h (x) kan uttrykkes som tillegg eller subtraksjon av to funksjoner, er dens ubestemmelige integral:
3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx
Dette er egenskapen til linearitet.
Maktregelen for integraler kan etableres på denne måten:

Når det gjelder n = -1, brukes følgende regel:
5.- ∫ x -1 dx = ln x + C
Det er lett å vise at derivatet av ln x er nøyaktig x -1 .
Differensiallikninger
En differensialligning er en der det ukjente finnes som et derivat.
Nå, fra forrige analyse, er det lett å innse at den omvendte operasjonen til derivatet er det antiderivative eller ubestemte integralet.
La f (x) = y´ (x), det vil si derivatet til en viss funksjon. Vi kan bruke følgende notasjon for å indikere dette derivatet:

Det følger umiddelbart at:
Det ukjente med differensialligningen er funksjonen y (x), den hvis derivat er f (x). For å løse det er det forrige uttrykket integrert på begge sider, noe som tilsvarer anvendelse av antiderivativet:
Den venstre integralen løses av integrasjonsregelen 1, med k = 1, og løser således det ukjente:
Og siden C er en virkelig konstant, for å vite hvilken som er passende i hvert tilfelle, må utsagnet inneholde nok tilleggsinformasjon til å beregne verdien av C. Dette kalles startbetingelsen.
Vi vil se eksempler på anvendelse av alt dette i neste avsnitt.
Antiderivative øvelser
- Oppgave 1
Bruk integreringsreglene for å oppnå følgende antideriveringsmidler eller ubestemte integraler av de gitte funksjonene, forenkle resultatene så mye som mulig. Det er praktisk å bekrefte resultatet ved avledning.

Figur 2. Trening av antiderivativer eller bestemte integraler. Kilde: Pixabay.
Løsning på
Vi bruker regel 3 først, siden integranden er summen av to begreper:
∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx
For den første integralen gjelder maktregelen:
∫ dx = (x 2- / 2) + C 1
I den andre integrerte regelen 1 brukes der k = 7:
∫7dx = 7∫dx = 7x + C 2
Og nå er resultatene lagt til. De to konstantene er gruppert i en, generisk kalt C:
∫ (x + 7) = dx (x 2- / 2) + 7x + C
Løsning b
Ved linearitet blir dette integralet dekomponert i tre enklere integraler, som strømregelen vil bli brukt på:
∫ (x 3/2 + x 2 + 6) dx = ∫x 3/2 dx + ∫x 2 dx + ∫6 dx =

Merk at en konstant av integrasjon vises for hvert integral, men de møtes i en enkelt samtale C.
Løsning c
I dette tilfellet er det praktisk å anvende fordelingsegenskapene til multiplikasjon for å utvikle integranden. Deretter brukes maktregelen for å finne hvert integral hver for seg, som i forrige øvelse.
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x 2 -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x 2 + x - 2) dx
Den nøye leseren vil merke seg at de to sentrale begrepene er like, derfor reduseres de før de integreres:
∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x 2 dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x 3 + (1/2) x 2 - 2x + C
Løsning e
En måte å løse integralen på ville være å utvikle kraften, slik det ble gjort i eksempel d. Siden eksponenten er høyere, vil det imidlertid være lurt å endre variabelen, for ikke å måtte gjøre en så lang utvikling.
Endringen av variabelen er som følger:
u = x + 7
Avleder dette uttrykket til begge sider:
du = dx
Integralet blir transformert til en enklere med den nye variabelen, som løses med strømregelen:
∫ (x + 7) 5 dx = ∫ u 5 du = (1/6) u 6 + C
Endelig returneres endringen for å gå tilbake til den opprinnelige variabelen:
∫ (x + 7) 5 dx = (1/6) (x + 7) 6 + C
- Oppgave 2
En partikkel er i utgangspunktet i ro og beveger seg langs x-aksen. Akselerasjonen for t> 0 gis av funksjonen a (t) = cos t. Det er kjent at ved t = 0 er stillingen x = 3, alt i enheter i det internasjonale systemet. Det blir bedt om å finne hastigheten v (t) og posisjonen x (t) til partikkelen.
Løsning
Siden akselerasjon er det første derivatet av hastighet med hensyn til tid, har vi følgende differensialligning:
a (t) = v´ (t) = cos t
Det følger at:
v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C 1
På den annen side vet vi at hastigheten igjen er derivatet av posisjonen, derfor integrerer vi:
x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C 1 ) dt = ∫sen t dt + ∫C 1 dt = - cos t + C 1 t + C 2
Konstantene for integrering bestemmes ut fra informasjonen som er gitt i uttalelsen. For det første står det at partikkelen opprinnelig var i ro, derfor v (0) = 0:
v (0) = sin 0 + C 1 = 0
C 1 = 0
Da har vi x (0) = 3:
x (0) = - cos 0 + C 1 0 + C 2 = - 1 + C 2 = 3 → C 2 = 3 + 1 = 4
Hastighets- og posisjonsfunksjonene er definitivt slik:
v (t) = sin t
x (t) = - cos t + 4
referanser
- Engler, A. 2019. Integral Calculus. National University of the Litoral.
- Larson, R. 2010. Beregning av en variabel. Niende. Edition. McGraw Hill.
- Matematikk gratis tekster. Primitiv funksjon. Gjenopprettet fra: math.liibretexts.org.
- Wikipedia. Antideriverte. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.org.
- Wikipedia. Ubestemt integrasjon. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.
