SANNSYNLIGHETSAKSIOMER: TYPER, FORKLARING, EKSEMPLER, ØVELSER - DUDAS - 2026

De aksiomer i sannsynlighets er matematiske påstander som refererer til teorien om sannsynlighet, som ikke fortjener bevis. Aksiomene ble etablert i 1933 av den russiske matematikeren Andrei Kolmogorov (1903-1987) i hans Foundations of Probability Theory og la grunnlaget for den matematiske studien av sannsynlighet.

Når du utfører et visst tilfeldig eksperiment ξ, er prøvelokalet E settet med alle mulige resultatene av eksperimentet, også kalt hendelser. Enhver hendelse betegnes som A og P (A) er sannsynligheten for at den oppstår. Da slo Kolmogorov fast at:

Figur 1. Axiomene av sannsynlighet tillater oss å beregne sannsynligheten for å treffe sjansespill som roulette. Kilde: Pixabay.

- Aksiom 1 (ikke-negativitet) : sannsynligheten for at en hvilken som helst hendelse A oppstår er alltid positiv eller null, P (A) ≥0. Når sannsynligheten for en hendelse er 0, kalles den en umulig hendelse.

- Aksiom 2 (visshet) : Når en eller annen hendelse som hører til E, er sannsynligheten for forekomst 1, som vi kan uttrykke som P (E) = 1. Dette er kjent som en viss hendelse, siden det absolutt er et resultat når du gjennomfører et eksperiment.

- Aksiom 3 (tillegg) : i tilfelle av to eller flere uforenlige hendelser to for to, kalt A ₁ , A ₂ , A ₃ …, vil sannsynligheten for at hendelsen A ₁ pluss A ₂ pluss A ₃ oppstå og så videre suksessivt er det summen av sannsynlighetene for at hvert skjer separat.

Dette uttrykkes som: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U …) = P (A ₁ ) + P (A ₂ ) + P (A ₃ ) + …

Figur 2. Den bemerkelsesverdige russiske matematikeren Andrei Kolmogorov (1903-1987), som la grunnlaget for aksiomatisk sannsynlighet. Kilde: Wikimedia Commons.

Eksempel

Sannsynlighetsaksiomene er mye brukt i en rekke bruksområder. For eksempel:

En tommelstikk eller stikk blir kastet i luften, og når den faller på gulvet er det muligheten til å lande med punktet opp (U) eller med punktet nede (D) (vi vil ikke vurdere andre muligheter). Eksempelområdet for dette eksperimentet består av disse hendelsene, deretter E = {U, D}.

Figur 3. I eksperimentet med å kaste takken er det to hendelser med forskjellige sannsynligheter: landing med punktet oppover eller mot bakken. Kilde: Pixabay.

Ved å bruke aksiomene har vi:

Hvis det er like sannsynlig å lande opp eller ned, er P (U) = P (D) = ½ (Axiom 1). Imidlertid kan konstruksjonen og utformingen av tommelstiften gjøre det mer sannsynlig at det faller på en eller annen måte. For eksempel kan det være slik at P (U) = ¾ mens P (D) = ¼ (Axiom 1).

Merk at i begge tilfeller gir summen av sannsynlighetene 1. Imidlertid indikerer ikke aksiomene hvordan man tilordner sannsynlighetene, i det minste ikke helt. Men de oppgir at de er tall mellom 0 og 1 og at som i dette tilfellet summen av alle er 1.

Måter å tildele sannsynlighet på

Axiomene for sannsynlighet er ikke en metode for å tilordne verdien av sannsynlighet. For dette er det tre alternativer som er kompatible med aksiomene:

Laplaces regel

Hver hendelse tildeles samme sannsynlighet for å skje, deretter er sannsynligheten for forekomst definert som:

For eksempel, hva er sannsynligheten for å tegne et ess fra en kortstokk med franske kort? Dekket har 52 kort, 13 av hver farge og det er 4 dresser. Hver drakt har 1 ess, så totalt er det 4 ess:

P (som) = 4/52 = 1/13

Laplaces regel er begrenset til begrensede prøvelokaler, der hver hendelse er like sannsynlig.

Relativ frekvens

Her må eksperimentet være repeterbart, siden metoden er basert på å utføre et stort antall repetisjoner.

La oss lage repetisjoner av eksperimentet ξ, hvor vi finner ut at n er antall ganger en bestemt hendelse A inntreffer, og sannsynligheten for at denne hendelsen er:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Hvor n / i er den relative frekvensen til en hendelse.

Å definere P (A) på denne måten tilfredsstiller Kolmogorovs aksiomer, men har ulempen at mange tester må utføres for sannsynligheten for å være passende.

Subjektiv metode

En person eller en gruppe mennesker kan avtale å tildele sannsynlighet til en hendelse, gjennom sin egen vurdering. Denne metoden har den ulempen at forskjellige mennesker kan tildele forskjellige sannsynligheter til den samme hendelsen.

Trening løst

I eksperimentet med å kaste 3 ærlige mynter samtidig, oppnår du sannsynligheten for hendelsene beskrevet:

a) 2 hoder og en hale.

b) 1 hode og to haler

c) 3 kryss.

d) Minst 1 ansikt.

Løsning på

Hodene er betegnet med C og halene av X. Men det er flere måter å få to hoder og en hale. For eksempel kan de to første myntene lande hoder, og den tredje kan lande haler. Eller den første kan falle hoder, den andre haler og den tredje hoder. Og til slutt kan det første være haler og de resterende hodene.

For å svare på spørsmålene er det nødvendig å kjenne til alle mulighetene, som er beskrevet i et verktøy som kalles et treskjema eller sannsynlighets tre:

Figur 4. Treskjema for samtidig kasting av tre ærlige mynter. Kilde: F. Zapata.

Sannsynligheten for at en mynt vil være hoder er ½, det samme er for haler, siden mynten er ærlig. Den høyre kolonnen viser alle mulighetene som kastet har, det vil si prøveområdet.

Fra utvalgsområdet velges kombinasjonene som svarer på den forespurte hendelsen, siden rekkefølgen ansiktene vises ikke er viktig. Det er tre gunstige hendelser: CCX, CXC og XCC. Sannsynligheten for at hver hendelse skjer er:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Det samme skjer for CXC- og XCC-hendelsene, hver av dem har 1/8 sannsynlighet for å skje. Derfor er sannsynligheten for å få nøyaktig 2 hoder summen av sannsynlighetene for alle gunstige hendelser:

P (2-sidig) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Løsning b

Å finne sannsynligheten for at nøyaktig to kryss forekommer er et problem analogt med det forrige, det er også tre gunstige hendelser hentet fra prøveområdet: CXX, XCX og XXC. Og dermed:

P (2 kryss) = 3/8 = 0,375

Løsning c

Intuitivt vet vi at sannsynligheten for å få 3 haler (eller 3 hoder) er lavere. I dette tilfellet er den ønskede hendelsen XXX, på slutten av høyre kolonne, hvis sannsynlighet er:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Løsning d

Det blir bedt om å skaffe minst 1 ansikt, dette betyr at 3 ansikter, 2 ansikter eller 1 ansikt kan komme ut. Den eneste uforenlige hendelsen med dette er den der tre haler kommer ut, hvis sannsynlighet er 0.125. Derfor er sannsynligheten som søkes:

P (minst 1 hode) = 1 - 0,125 = 0,875.

referanser

1. Canavos, G. 1988. Probability and Statistics: Applications and Methods. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probability and Statistics for Engineering and Science. Åttende. Edition. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Probability. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Teorien om sannsynlighet. Redaksjonell Limusa.
5. Walpole, R. 2007. Probability and Statistics for Engineering and Sciences. Pearson.