ORTONORMAL BASIS: EGENSKAPER, EKSEMPLER OG ØVELSER - FYSISK - 2026

En ortonormal basis dannes med vektorer vinkelrett på hverandre og hvis modul også er 1 (enhetsvektorer). La oss huske at en base B i et vektorrom V er definert som et sett med lineært uavhengige vektorer som er i stand til å generere nevnte rom.

I sin tur er et vektorrom en abstrakt matematisk enhet der elementene er vektorer, vanligvis assosiert med fysiske mengder som hastighet, kraft og forskyvning, eller også med matriser, polynomer og funksjoner.

Figur 1. Ortonormal base i planet. Kilde: Wikimedia Commons. Quartl.

Vektorer har tre karakteristiske elementer: størrelse eller modul, retning og sans. Et ortonormalt grunnlag er spesielt nyttig for å representere og operere med dem, siden enhver vektor som tilhører et visst vektorrom V kan skrives som en lineær kombinasjon av vektorene som danner den ortonormale basis.

På denne måten blir operasjoner mellom vektorer, så som addisjon, subtraksjon og de forskjellige typer produkter definert i nevnte rom, analytisk utført.

Blant de mest brukte basene i fysikken er basen som er dannet av enhetsvektorene i , j og k som representerer de tre særegne retningene i tredimensjonalt rom: høyde, bredde og dybde. Disse vektorene er også kjent som kanoniske enhetsvektorer.

Hvis vektorene i stedet blir jobbet i et plan, ville to av disse tre komponentene være tilstrekkelig, mens bare for endimensjonale vektorer bare er nødvendig.

Basene har egenskaper

1- En base B er det minste mulige sett med vektorer som genererer vektorområdet V.

2- Elementene i B er lineært uavhengige.

3 - Enhver base B i et vektorrom V, gjør det mulig å uttrykke alle vektorene til V som en lineær kombinasjon av den, og denne formen er unik for hver vektor. Av denne grunn er B også kjent som generasjonssystemet.

4- Det samme vektorområdet V kan ha forskjellige baser.

Eksempler på baser

Her er flere eksempler på orthonormale baser og baser generelt:

Det kanoniske grunnlaget i ℜ

Også kalt naturlig base eller standard base av ℜ ⁿ , der ℜ ⁿ er n-dimensjonalt rom, for eksempel tredimensjonalt rom er ℜ ³ . Verdien av n kalles dimensjonen til vektorområdet og betegnes som dim (V).

Alle vektorer som tilhører ℜ ⁿ er representert av bestilte n-annonser. For rommet ℜ ⁿ er det kanoniske grunnlaget:

e ₁ = <1,0 ,. . . , 0>; e ₂ = <0,1 ,. . . , 0>; …… .. e _n = <0,0 ,. . . , 1>

I dette eksemplet har vi brukt notasjonen med parenteser eller "parenteser" og fet for enhetsvektorene e ₁ , e ₂ , e ₃ …

Det kanoniske grunnlaget i ℜ

De kjente vektorene i , j og k innrømmer den samme representasjonen, og alle tre av dem er nok til å representere vektorene i ℜ ³ :

i = <1,0,0>; j = <0,1,0>; k = <0,0,1>

Det betyr at basen kan uttrykkes slik:

B = {<1,0,0>; <0,1,0>; <0,0,1>}

For å bekrefte at de er lineært uavhengige, er determinanten dannet med dem ikke-null og er lik 1:

Det må også være mulig å skrive hvilken som helst vektor som tilhører ℜ ³ som en lineær kombinasjon av dem. For eksempel vil en kraft hvis rektangulære komponenter er F _x = 4 N, F _y = -7 N og F _z = 0 N bli skrevet i vektorform som denne:

F = <4, -7,0> N = 4 i -7 j + 0 k N.

Derfor utgjør jeg , j og k et generatorsystem på ℜ ³ .

Andre orthonormale baser i ℜ

Standardbasen beskrevet i forrige seksjon er ikke den eneste ortonormale basen i ℜ ³ . Her har vi for eksempel basene:

B ₁ = {; <- sin θ, cos θ, 0>; <0,0,1>}

B ₂ = {<3/5, 4 / 5.0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>}

Det kan vises at disse basene er ortonormale, for dette husker vi betingelsene som må oppfylles:

-Vektorene som danner basen, må være ortogonale til hverandre.

-Hver av dem må være enhetlige.

Vi kan bekrefte dette ved å vite at determinanten som dannes av dem, må være ikke-null og lik 1.

Basen B ₁ er nettopp den til sylindriske koordinater ρ, φ og z, en annen måte å uttrykke vektorer i rommet.

Figur 2. Sylindriske koordinater. Kilde: Wikimedia Commons. Matematikk buff.

Løste øvelser

- Oppgave 1

Vis at basen B = {<3/5, 4 / 5,0>; <- 4/5, 3 / 5.0>; <0,0,1>} er orthonormal.

Løsning

For å vise at vektorene er vinkelrett på hverandre, vil vi bruke det skalare produktet, også kalt det interne eller prikkproduktet til to vektorer.

La alle to vektorer u og v , deres prikkprodukt er definert av:

u • v = uv cosθ

For å skille vektorene i modulene deres vil vi bruke fet skrift for de første og normale bokstavene for den andre. θ er vinkelen mellom u og v, derfor hvis de er vinkelrett, betyr det at θ = 90º og det skalære produktet er null.

Alternativt, hvis vektorene er gitt i form av deres komponenter: u =x, u _y , u _z > y v =x, v _y , v _z >, skalareproduktet til begge, som er kommutativt, beregnes på denne måten:

u • v = u _x .v _x + u _y .v _y + u _z .v _z

På denne måten er skalarproduktene mellom hvert vektoreksjon henholdsvis:

i) <3/5, 4 / 5,0> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (3/5). (- 4/5) + (4/5). ((3 / 5) + 0,0 = (-12/25) + (12/25) = 0

ii) <3/5, 4 / 5.0> • <0, 0,1> = 0

iii) <- 4/5, 3 / 5.0> • <0, 0,1> = 0

For den andre tilstanden beregnes modulen til hver vektor, som oppnås ved:

│u │ = √ (u _x ² + u _y ² + u _z ² )

Dermed er modulene til hver vektor:

│ <3/5, 4 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <-4/5, 3 / 5,0> │ = √ = √ = √ (25/25) = 1

│ <0, 0,1> │ = √ = 1

Derfor er alle tre enhetsvektorer. Til slutt er determinanten de danner ikke-null og lik 1:

- Oppgave 2

Skriv koordinatene til vektoren w = <2, 3,1> med tanke på basen ovenfor.

Løsning

For å gjøre dette, brukes følgende teorem:

w = < w • v ₁ > v ₁ + < w • v ₂ > v ₂ + < w • v ₃ > v ₃ + … < w • v _n > v _n

Dette betyr at vi kan skrive vektoren i base B ved å bruke koeffisientene < w • v ₁ >, < w • v ₂ >, … < w • v _n >, som vi må beregne de indikerte skalarproduktene for:

<2, 3,1> • <3/5, 4 / 5,0> = (2). (3/5) + (3). (4/5) + 1.0 = (6/5) + (12 / 5) = 18/5

<2, 3,1> • <- 4/5, 3 / 5,0> = (2). (- 4/5) + (3). (3/5) + 1.0 = (-8/5) + (9/5) = 1/5

<2, 3,1> • <0,0,1> = 1

Med de oppnådde skalare produktene konstrueres en matrise, kalt w-koordinatmatrisen.

Derfor er koordinatene til vektoren w i basen B uttrykt ved:

_B =

Koordinatmatrisen er ikke vektoren, siden en vektor ikke er den samme som dens koordinater. Dette er bare et sett med tall som tjener til å uttrykke vektoren i en gitt base, ikke vektoren som sådan. De er også avhengige av den valgte basen.

Til slutt, etter teoremet, ville vektoren w uttrykkes som følger :

w = (18/5) v ₁ + (1/5) v ₂ + v ₃

Med: v ₁ = <3/5, 4 / 5,0>; v ₂ = <- 4/5, 3 / 5.0>; v ₃ = <0,0,1>}, det vil si vektorene til basen B.

referanser

1. Larson, R. Grunnlag av lineær algebra. Sjette. Edition. Cengage Learning.
2. Larson, R. 2006. Kalkulus. Syvende. Edition. Bind 2. McGraw Hill.
3. Salas, J. Lineær algebra. Enhet 10. Ortonormale baser. Gjenopprettet fra: ocw.uc3m.es.
4. Sevilla University. Sylindriske koordinater. Vektorbase. Gjenopprettet fra: laplace.us.es.
5. Wikipedia. Ortonormal base. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.