KONJUGERT BINOMIAL: HVORDAN LØSE DET, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2026

En konjugert binomial av en annen binomial er en der de bare er differensiert av et tegn på operasjonen. Binomialen, som navnet tilsier, er en algebraisk struktur som består av to begreper.

Noen eksempler på binomialer er: (a + b), (3m - n) og (5x - y). Og deres respektive konjugerte binomialer er: (a - b), (-3m - n) og (5x + y). Som det fremgår umiddelbart, er forskjellen i skiltet.

Figur 1. En binomial og den konjugerte binomialen. De har de samme vilkårene, men avviker i tegn. Kilde: F. Zapata.

Et binomial multiplisert med det konjugerte resultatet resulterer i et bemerkelsesverdig produkt som er mye brukt i algebra og vitenskap. Resultatet av multiplikasjonen er subtraksjon av kvadratene til begrepene til den opprinnelige binomialen.

For eksempel er (x - y) en binomial og konjugatet er (x + y). Så produktet av de to binomialene er forskjellen på kvadratene til begrepene:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Hvordan løser du en konjugert binomial?

Den uttalte regelen for konjugerte binomialer er følgende:

Som et eksempel på anvendelse vil vi begynne med å demonstrere det forrige resultatet, som kan gjøres ved å bruke den distribusjonsegenskapen til produktet med hensyn til den algebraiske summen.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - ååå

Multiplikasjonen ovenfor ble oppnådd ved å følge disse trinnene:

- Den første termen i den første binomialen multipliseres med den første termin av den andre

- Så den første av den første, for den andre av den andre

- Så den andre av de første etter den første av den andre

- Endelig den andre av de første etter den andre av den andre.

La oss nå gjøre en liten endring ved å bruke kommutative egenskapen: yx = xy. Det ser slik ut:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - ååå

Ettersom det er to like vilkår men med motsatt fortegn (uthevet i farge og understreket), blir de avbrutt og det er forenklet:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Til slutt blir det brukt at å multiplisere et tall med seg selv tilsvarer å heve det til firkanten, slik at xx = x ² og også yy = y ² .

På denne måten blir det vist hva som ble påpekt i foregående avsnitt, at produktet av en sum og dens forskjell er forskjellen på rutene:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Figur 2. En sum ganger forskjellen er kvadratforskjellen. Kilde: F. Zapata.

eksempler

- Konjugerte binomialer av forskjellige uttrykk

Eksempel 1

Finn konjugatet av (y ² - 3y).

Svar : (y ² + 3y)

Eksempel 2

Skaff deg produktet av (y ² - 3y) og dets konjugat.

Svar: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ² ) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Eksempel 3

Utvikle produktet (1 + 2a). (2a -1).

Svar: forrige uttrykk tilsvarer (2a + 1). (2a -1), det vil si at det tilsvarer produktet fra en binomial og dets konjugat.

Det er kjent at produktet av en binomial ved sin konjugerte binomial er lik forskjellen på kvadratene til begrepene til binomialen:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Eksempel 4

Skriv produktet (x + y + z) (x - y - z) som kvadratforskjell.

Svar: Vi kan assimilere ovennevnte trinomialer til den konjugerte binomiale formen, og bruker nøye parenteser og firkantede parenteser:

(x + y + z) (x - y - z) =

På denne måten kan forskjellen på firkanter brukes:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Eksempel 5

Uttrykk produktet (m ² - m -1). (M ² + m -1) som en kvadratforskjell.

Svar : forrige uttrykk er et produkt av to trinomer. Den må først skrives om som produktet av to konjugerte binomialer:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Vi bruker det faktum at produktet av en binomial ved dets konjugat er den kvadratiske forskjellen på vilkårene, slik det er forklart:

. = (m ² -1) ² - m ²

Øvelser

Som alltid starter du med de enkleste øvelsene og øker deretter kompleksitetsnivået.

- Oppgave 1

Skriv (9 - til ² ) som et produkt.

Løsning

Først omskriver vi uttrykket som en forskjell på firkanter, for å anvende det som tidligere ble forklart. Og dermed:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² )

Neste faktor, som tilsvarer å skrive denne forskjellen på firkanter som et produkt, som anmodet i uttalelsen:

(9 - a ² ) = (3 ² - a ² ) = (3 + a) (3-a)

- Oppgave 2

Faktor 16x ² - 9y ⁴ .

Løsning

Å faktorisere et uttrykk betyr å skrive det som et produkt. I dette tilfellet er det nødvendig å omskrive uttrykket tidligere, for å oppnå en forskjell på kvadrater.

Det er ikke vanskelig å gjøre dette, siden man ser nøye på, alle faktorene er perfekte firkanter. Eksempel 16 er kvadratet på 4, 9 er kvadratet på 3, og ⁴ er kvadratet av y ² og x ² er kvadratet av x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ² ) ²

Så bruker vi det vi allerede vet tidligere: at en forskjell på kvadrater er produktet av konjugerte binomialer:

(4x) ² - (3 og ² ) ² = (4x - 3 og ² ). (4x + 3 og ² )

- Oppgave 3

Skriv (a - b) som et produkt av binomialer

Løsning

Ovennevnte forskjell skal skrives som kvadratforskjeller

(√a) ² - (√b) ²

Så blir det brukt at forskjellen på kvadrater er produktet av de konjugerte binomialene

(√a - √b) (√a + √b)

- Oppgave 4

En av bruken av den konjugerte binomialen er rasjonaliseringen av algebraiske uttrykk. Denne prosedyren består i å eliminere røttene til nevneren til et brøkuttrykk, som i mange tilfeller letter operasjoner. Det blir bedt om å bruke den konjugerte binomialen for å rasjonalisere følgende uttrykk:

√ (2-x) /

Løsning

Den første tingen er å identifisere den konjugerte binomialen til nevneren:.

Nå multipliserer vi telleren og nevneren til det opprinnelige uttrykket med den konjugerte binomialen:

√ (2-x) / {.}

I nevneren til forrige uttrykk gjenkjenner vi produktet av en forskjell med en sum, som vi allerede vet tilsvarer forskjellen på kvadratene til binomialene:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Forenkling av nevneren er:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Nå tar vi opp telleren, som vi vil bruke fordelingsegenskapene til produktet med hensyn til summen:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

I det forrige uttrykket gjenkjenner vi produktet av binomialet (2-x) ved dets konjugat, som er det bemerkelsesverdige produktet lik forskjellen på kvadrater. På denne måten oppnås endelig et rasjonalisert og forenklet uttrykk:

/ (1 - x)

- Oppgave 5

Utvikle følgende produkt ved å bruke egenskapene til den konjugerte binomialen:

.

Løsning

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x) .a ^(6y) - 9a ^(2x) .a ^(-6y) = a ^(2x)

Den imøtekommende leseren vil ha lagt merke til den vanlige faktoren som har blitt fremhevet i farger.

referanser

1. Baldor, A. 1991. Algebra. Redaksjonell kulturell Venezolana SA
2. González J. Konjugerte binomiale øvelser. Gjenopprettet fra: akademia.edu.
3. Matematikklærer Alex. Bemerkelsesverdige produkter. Gjenopprettet fra youtube.com.
4. Math2me. Konjugerte binomialer / bemerkelsesverdige produkter. Gjenopprettet fra youtube.com.
5. Konjugerte binomiale produkter. Gjenopprettet fra: lms.colbachenlinea.mx.
6. Vitual. Konjugerte binomialer. Gjenopprettet fra: youtube.com.