BEREGNING AV TILNÆRMINGER VED BRUK AV DIFFERENSIALEN - MATTE - 2026

En tilnærming i matematikk er et tall som ikke er den eksakte verdien av noe, men er så nærme det at det blir ansett som nyttig som den eksakte verdien.

Når tilnærminger gjøres i matematikk, skyldes det at det manuelt er vanskelig (eller noen ganger umulig) å vite den nøyaktige verdien av hva du ønsker.

Hovedverktøyet når du arbeider med tilnærminger er forskjellen til en funksjon.

Differensen til en funksjon f, betegnet med Δf (x), er ikke annet enn derivatet av funksjonen f ganger endringen i den uavhengige variabelen, det vil si Δf (x) = f '(x) * Δx.

Noen ganger brukes df og dx i stedet for Δf og Δx.

Tilnærminger ved bruk av differensialet

Formelen som blir brukt for å foreta en tilnærming gjennom differensialet, oppstår nettopp fra definisjonen av derivatet av en funksjon som en grense.

Denne formelen er gitt av:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Her er det forstått at Δx = x-x0, derfor x = x0 + Δx. Ved å bruke denne kan formelen skrives om som

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

Det skal bemerkes at "x0" ikke er en vilkårlig verdi, men en verdi slik at f (x0) er lett kjent; dessuten er "f (x)" bare verdien vi vil tilnærme oss.

Er det bedre tilnærminger?

Svaret er ja. Ovennevnte er den enkleste av tilnærmelsene kalt "lineær tilnærming".

For tilnærminger av bedre kvalitet (feilen som er gjort er mindre) brukes polynomier med flere derivater kalt "Taylor polynomier", samt andre numeriske metoder som blant annet Newton-Raphson-metoden.

Strategi

Strategien å følge er:

- Velg en passende funksjon f for å utføre tilnærmingen og verdien «x» slik at f (x) er verdien som skal tilnærmes.

- Velg en verdi "x0", nær "x", slik at f (x0) er lett å beregne.

- Beregn Δx = x-x0.

- Beregn derivatet til funksjonen y f '(x0).

- Sett inn dataene i formelen.

Løste tilnærmelsesøvelser

I det som fortsetter er det en serie øvelser der tilnærminger gjøres ved hjelp av differensialen.

Første øvelse

Omtrent √3.

Løsning

Etter strategien må en passende funksjon velges. I dette tilfellet kan det sees at funksjonen du skal velge, skal være f (x) = √x og verdien som skal tilnærmet er f (3) = √3.

Nå må vi velge en verdi "x0" nær "3" slik at f (x0) er lett å beregne. Hvis du velger "x0 = 2", har du at "x0" er i nærheten av "3", men f (x0) = f (2) = √2 er ikke lett å beregne.

Den passende verdien til "x0" er "4", siden "4" er nær "3" og også f (x0) = f (4) = √4 = 2.

Hvis "x = 3" og "x0 = 4", er Δx = 3-4 = -1. Nå fortsetter vi med å beregne derivatet av f. Det vil si f '(x) = 1/2 * √x, så f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Å erstatte alle verdiene i formelen du får:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1,75.

Hvis du bruker en kalkulator, får du det √3≈1.73205 … Dette viser at forrige resultat er en god tilnærming av den reelle verdien.

Andre øvelse

Omtrent √10.

Løsning

Som før velges f (x) = √xy som en funksjon, i dette tilfellet x = 10.

Verdien på x0 å velge denne tiden er "x0 = 9". Vi har da det Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 og f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Ved evaluering i formelen oppnås det

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…

Ved å bruke en kalkulator oppnås det at √10 ≈ 3.1622776… Her kan man også se at man fikk en god tilnærming før.

Tredje øvelse

Omtrentlig ³√10, der ³√ betegner kubusroten.

Løsning

Det er klart at funksjonen som skal brukes i denne øvelsen er f (x) = ³√x, og verdien til "x" må være "10".

En verdi nær "10" slik at kubberoten er kjent er "x0 = 8". Så har vi det Δx = 10-8 = 2 og f (x0) = f (8) = 2. Vi har også at f '(x) = 1/3 * ³√x², og følgelig f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Ved å erstatte dataene i formelen oppnås det at:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

Kalkulatoren sier at ³√10 ≈ 2.15443469… Derfor er tilnærmingen god.

Fjerde øvelse

Omtrentlig ln (1.3), der "ln" betegner den naturlige logaritmefunksjonen.

Løsning

Først velger vi som funksjon f (x) = ln (x) og verdien av "x" er 1,3. Nå som vi vet litt om logaritmefunksjonen, kan vi vite at ln (1) = 0, og også "1" er i nærheten av "1.3". Derfor er "x0 = 1" valgt og dermed Δx = 1,3 - 1 = 0,3.

På den annen side f '(x) = 1 / x, slik at f' (1) = 1. Ved evaluering i den gitte formelen har vi:

ln (1,3) = f (1,3) ≈ 0 + 1 * 0,3 = 0,3.

Ved å bruke en kalkulator har vi den ln (1.3) ≈ 0.262364 … Så tilnærmingen som er gjort er god.

referanser

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematikk. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematikk: en problemløsende tilnærming (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 utg.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plane Analytical Geometry. Mérida - Venezuela: Redaksjonell Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkulus (niende utg.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differensialberegning med tidlige transcendente funksjoner for Science and Engineering (Andre utgave utg.). Hypotenusen.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Del: Analytical Conics (1907) (reprint ed.). Lynkilde.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.