SYLINDRISKE KOORDINATER: SYSTEM, ENDRING OG ØVELSER - MATTE - 2026

De sylindriske koordinatene brukes til å lokalisere punkter i tredimensjonalt rom og består av en radiell koordinat ρ, φ azimutalkoordinat og z-koordinat for høyden.

Et punkt P plassert i rommet projiseres ortogonalt på XY-planet som gir opphav til punktet P 'i det planet. Avstanden fra opprinnelsen til punktet P 'definerer koordinaten ρ, mens vinkelen som X-aksen lager med strålen OP' definerer koordinaten φ. Til slutt er z-koordinaten den ortogonale projeksjonen til punktet P på Z-aksen. (se figur 1).

Figur 1. Punkt P av sylindriske koordinater (ρ, φ, z). (Egen utdyping)

Den radielle koordinaten ρ er alltid positiv, den azimutale koordinaten φ varierer fra null radianer til to pi radianer, mens z-koordinaten kan ha hvilken som helst reell verdi:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Endring av koordinater

Det er relativt enkelt å få tak i de kartesiske koordinatene (x, y, z) til et punkt P fra dets sylindriske koordinater (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Men det er også mulig å oppnå de polare koordinatene (ρ, φ, z) med utgangspunkt i kunnskapen om de kartesiske koordinatene (x, y, z) til et punkt P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arctan (y / x)

z = z

Vektorbase i sylindriske koordinater

Basen til sylindriske enhetsvektorer Uρ , Uφ , Uz er definert .

Vektoren Uρ er tangent til linjen φ = ctte og z = ctte (peker radialt utover), vektoren Uφ er tangens til linjen ρ = ctte og z = ctte og til slutt har Uz samme retning av Z-aksen.

Figur 2. Sylindrisk koordinatbase. (wikimedia commons)

I den sylindriske enhetsbasen er posisjonsvektoren r til et punkt P skrevet vektorielt slik:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

På den annen side uttrykkes en infinitesimal forskyvning d r fra punkt P som følger:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

Tilsvarende er et uendelig element av volum dV i sylindriske koordinater:

dV = ρ dρ dφ dz

eksempler

Det er utallige eksempler på bruk og anvendelse av sylindriske koordinater. I kartografi brukes for eksempel den sylindriske projeksjonen, nøyaktig basert på disse koordinatene. Det er flere eksempler:

Eksempel 1

Sylindriske koordinater har anvendelser innen teknologi. Som et eksempel har vi CHS (Cylinder-Head-Sector) -systemet med dataplassering på en harddisk, som faktisk består av flere disker:

- Sylinderen eller sporet tilsvarer koordinaten ρ.

- Sektoren tilsvarer plasseringen φ til disken som roterer med høy vinkelhastighet.

- Hodet tilsvarer z-stillingen til lesehodet på den tilsvarende disken.

Hver byte med informasjon har en presis adresse i sylindriske koordinater (C, S, H).

Figur 2. Informasjon om plassering i sylindriske koordinater på et harddisksystem. (wikimedia commons)

Eksempel 2

Anleggskraner fikser plasseringen av lasten i sylindriske koordinater. Den horisontale posisjonen er definert av avstanden til kranen ρ aksen eller pilen og av dens vinkelposisjon φ i forhold til en eller annen referanseakse. Lastens vertikale stilling bestemmes av z-koordinaten til høyden.

Figur 3. Posisjonen til lasten på en konstruksjonskran kan lett uttrykkes i sylindriske koordinater. (bilde Pixabay - kommentarer R. Pérez)

Løste øvelser

Oppgave 1

Det er punkter P1 med sylindriske koordinater (3, 120º, -4) og punkt P2 med sylindriske koordinater (2, 90º, 5). Finn den euklidiske avstanden mellom disse to punktene.

Løsning: Først fortsetter vi å finne de kartesiske koordinatene til hvert punkt etter formelen som ble gitt ovenfor.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Den euklidiske avstanden mellom P1 og P2 er:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ² ) = …

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Oppgave 2

Punkt P har kartesiske koordinater (-3, 4, 2). Finn de tilsvarende sylindriske koordinatene.

Løsning: Vi fortsetter med å finne de sylindriske koordinatene ved å bruke relasjonene gitt ovenfor:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Det må huskes at arktangentfunksjonen er flervurdert med 180º periodisitet. Vinkelen φ må også høre til den andre kvadranten, siden x- og y-koordinatene til punktet P er i den kvadranten. Dette er grunnen til at 180º er lagt til resultatet φ.

Oppgave 3

Express i sylindriske koordinater og i kartesiske koordinater overflaten til en sylinder med radius 2 og hvis akse sammenfaller med Z-aksen.

Løsning: Det er underforstått at sylinderen har en uendelig forlengelse i z-retningen, så likningen av nevnte overflate i sylindriske koordinater er:

ρ = 2

For å oppnå den kartesiske ligningen av den sylindriske overflaten tas kvadratet til begge delene av den forrige ligningen:

ρ ² = 4

Vi multipliserer begge medlemmene av forrige likhet med 1 og bruker den grunnleggende trigonometriske identiteten (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Parentesen er utviklet for å oppnå:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Vi husker at de første parentesene (ρ sin (φ)) er y-koordinaten til et punkt i polare koordinater, mens parentesene (ρ cos (φ)) representerer x-koordinaten, slik at vi har likningen av sylinderen i koordinater kartesisk:

y ² + x ² = 2 ²

Ligningen ovenfor bør ikke forveksles med den for en omkrets i XY-planet, siden i dette tilfellet ser det slik ut: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Oppgave 4

En sylinder med radius R = 1 m og høyde H = 1m har sin masse fordelt radielt i henhold til følgende ligning D (ρ) = C (1 - ρ / R) hvor C er en konstant med verdien C = 1 kg / m ³ . Finn den totale massen til sylinderen i kilogram.

Løsning: Den første tingen er å innse at funksjonen D (ρ) representerer den volumetriske massetettheten, og at massetettheten er fordelt i sylindriske skall med synkende tetthet fra sentrum til periferi. Et uendelig volumelement i samsvar med problemets symmetri er:

dV = ρ dρ 2π H

Derfor vil den uendelige massen til et sylindrisk skall være:

dM = D (ρ) dV

Derfor vil den totale massen til sylinderen uttrykkes med følgende bestemte integral:

M = ∫ _eller ^R D (ρ) dV = ∫ _eller ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _eller ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Løsningen med det indikerte integralet er ikke vanskelig å få, og resultatet er:

∫ _eller ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Ved å inkorporere dette resultatet i uttrykk for massen til sylinderen, oppnår vi:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

referanser

1. Arfken G og Weber H. (2012). Matematiske metoder for fysikere. En omfattende guide. 7. utgave. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Beregning cc. Løst problemer med sylindriske og sfæriske koordinater. Gjenopprettet fra: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Cylindrical Coordinates." Fra MathWorld - A Wolfram Web. Gjenopprettet fra: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Sylindrisk koordinatsystem. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Vektorfelt i sylindriske og sfæriske koordinater. Gjenopprettet fra: en.wikipedia.com