For å vite hva kvadratroten til 3 er, er det viktig å vite definisjonen av kvadratroten til et tall.
Gitt et positivt tall "a", er kvadratroten til "a", betegnet med √a, et positivt tall "b" slik at når "b" multipliseres med det, blir resultatet "a".
Den matematiske definisjonen sier: √a = b hvis, og bare hvis, b² = b * b = a.
For å vite hva kvadratroten til 3 er, det vil si verdien av √3, må et tall "b" finnes slik at b² = b * b = √3.
I tillegg er √3 et irrasjonelt tall, så det består av et uendelig ikke-periodisk antall desimaler. Av denne grunn er det vanskelig å beregne kvadratroten til 3 manuelt.
Firkantet rot på 3
Hvis du bruker en kalkulator, kan du se at kvadratroten til 3 er 1.73205080756887 …
Nå kan du prøve å tilnærme dette tallet manuelt som følger:
-1 * 1 = 1 og 2 * 2 = 4, dette sier at kvadratroten til 3 er et tall mellom 1 og 2.
-1,7 * 1,7 = 2,89 og 1,8 * 1,8 = 3,24, derfor er det første desimalet 7.
-1,73 * 1,73 = 2,99 og 1,74 * 1,74 = 3,02, så det andre desimalet er 3.
-1,732 * 1,732 = 2,99 og 1,733 * 1,733 = 3,003, derfor er den tredje desimalen 2.
Og så videre kan du fortsette. Dette er en manuell måte å beregne kvadratroten til 3.
Det er også andre mye mer avanserte teknikker, for eksempel Newton-Raphson-metoden, som er en numerisk metode for å beregne tilnærminger.
Hvor kan vi finne tallet √3?
På grunn av antallet er kompleks, kan det tenkes at det ikke vises i hverdagsobjekter, men dette er usant. Hvis vi har en kube (firkantet boks), slik at lengden på sidene er 1, vil diagonalene til kuben ha et mål på √3.
For å sjekke dette brukes Pythagorean Theorem, som sier: gitt en riktig trekant, er hypotenusen kvadratisk lik summen av kvadratene til bena (c² = a² + b²).
Ved å ha en kube med side 1, har vi at diagonalen i kvadratet til sin base er lik summen av kvadratene på bena, det vil si c² = 1² + 1² = 2, derfor måler diagonalen til basen √2.
Nå, for å beregne kubens diagonal, kan følgende figur observeres.
Den nye høyre trekanten har ben med lengde 1 og √2, og derfor bruker vi Pythagorean teorem for å beregne lengden på diagonalen, vi får: C² = 1² + (√2) ² = 1 + 2 = 3, det vil si si, C = √3.
Dermed er lengden på diagonalen til en kube med side 1 lik √3.
√3 et irrasjonelt tall
I begynnelsen ble det sagt at √3 er et irrasjonelt tall. For å sjekke dette antas det av absurditeten at det er et rasjonelt tall, som det er to tall "a" og "b", relative primes, slik at a / b = √3.
Ved å kvadratere den siste likheten og løse for "a²" oppnås følgende ligning: a² = 3 * b². Dette sier at "a²" er et multiplum av 3, noe som fører til konklusjonen at "a" er et multiplum av 3.
Siden "a" er et multiplum av 3, er det et helt tall "k" slik at a = 3 * k. Ved å erstatte den andre ligningen får vi derfor: (3 * k) ² = 9 * k² = 3 * b², som er det samme som b² = 3 * k².
Som før fører denne siste likheten til konklusjonen at "b" er et multiplum av 3.
Avslutningsvis er "a" og "b" multipler av 3, noe som er en selvmotsigelse, siden de opprinnelig ble antatt å være relative primater.
Derfor er √3 et irrasjonelt tall.
referanser
- Bails, B. (1839). Arismatiske prinsipper. Trykt av Ignacio Cumplido.
- Bernadet, JO (1843). Komplett elementær avhandling om lineær tegning med anvendelser til kunsten. José Matas.
- Herranz, DN, & Quirós. (1818). Universell, ren, testamentarisk, kirkelig og kommersiell aritmetikk. trykkeri som var fra Fuentenebro.
- Preciado, CT (2005). Matematikkurs 3. Redaksjonell progreso.
- Szecsei, D. (2006). Grunnleggende matematikk og pre-algebra (illustrert red.). Karrierepress.
- Vallejo, JM (1824). Barnas aritmetikk … Imp. Det var fra García.