HVOR MANGE LØSNINGER HAR EN KVADRATISK LIGNING? - MATTE - 2026

En kvadratisk ligning eller kvadratisk ligning kan ha null, en eller to reelle løsninger, avhengig av koeffisientene som vises i ligningen.

Hvis du jobber med komplekse tall, kan du si at hver kvadratisk ligning har to løsninger.

Til å begynne med er en kvadratisk ligning en ligning av formen ax² + bx + c = 0, der a, b og c er reelle tall og x er en variabel.

Det sies at x1 er en løsning av den forrige kvadratiske ligningen hvis erstatning av x med x1 tilfredsstiller ligningen, det vil si hvis a (x1) ² + b (x1) + c = 0.

Hvis vi for eksempel har ligningen x²-4x + 4 = 0, er x1 = 2 en løsning siden (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.

Tvert imot, hvis vi erstatter x2 = 0, oppnår vi (0) ²-4 (0) + 4 = 4, og siden 4 ≠ 0 er ikke x2 = 0 en løsning av den kvadratiske ligningen.

Løsninger av en kvadratisk ligning

Antall løsninger for en kvadratisk ligning kan deles i to tilfeller som er:

en.-

Når du jobber med reelle tall, kan kvadratiske ligninger ha:

-Nullløsninger: det vil si at det ikke er noe reelt tall som tilfredsstiller den kvadratiske ligningen. For eksempel, ligningen gitt ligningen x² + 1 = 0, det er ikke et slikt reelt tall som tilfredsstiller ligningen, siden begge x² er større enn eller lik null og 1 er strengt større enn null, så summen deres vil være større streng enn null.

-En gjentatt løsning: det er en enkelt reell verdi som tilfredsstiller den kvadratiske ligningen. For eksempel er den eneste løsningen på ligningen x²-4x + 4 = 0 x1 = 2.

-To forskjellige løsninger: det er to verdier som tilfredsstiller den kvadratiske ligningen. For eksempel har x² + x-2 = 0 to forskjellige løsninger som er x1 = 1 og x2 = -2.

2.- I komplekse tall

Når du arbeider med komplekse tall, har kvadratiske ligninger alltid to løsninger som er z1 og z2 der z2 er konjugatet til z1. De kan også klassifiseres i:

-Komplekser: løsningene har formen z = p ± qi, der p og q er reelle tall. Denne saken tilsvarer den første saken i den forrige listen.

-Pure Complexes: er når den virkelige delen av løsningen er lik null, det vil si at løsningen har formen z = ± qi, hvor q er et reelt tall. Denne saken tilsvarer den første saken i den forrige listen.

-Komplekser med en tenkt del lik null: det er når den komplekse delen av løsningen er lik null, det vil si at løsningen er et reelt tall. Denne saken tilsvarer de to siste sakene i forrige liste.

Hvordan finnes løsningene for en kvadratisk ligning?

For å beregne løsningene til en kvadratisk ligning brukes en formel som kalles "oppløsningen", som sier at løsningene for en ligning aks² + bx + c = 0 er gitt ved uttrykket i følgende bilde:

Mengden som vises innenfor kvadratroten kalles diskriminerende for den kvadratiske ligningen og er betegnet med bokstaven "d".

Den kvadratiske ligningen vil ha:

- To virkelige løsninger hvis, og bare hvis, d> 0.

-En reell løsning gjentatt hvis, og bare hvis, d = 0.

Null reelle løsninger (eller to komplekse løsninger) hvis, og bare hvis, d <0.

eksempler:

-Løsningene for ligningen x² + x-2 = 0 er gitt av:

-Ligningen x²-4x + 4 = 0 har en gjentatt løsning som er gitt av:

-Løsningene for ligningen x² + 1 = 0 er gitt av:

Som det kan sees i dette siste eksemplet, er x2 konjugatet av x1.

referanser

1. Fuentes, A. (2016). GRUNNLIG matematikk. En introduksjon til kalkulus. Lulu.com.
2. Garo, M. (2014). Matematikk: kvadratiske ligninger.: Hvordan løse en kvadratisk ligning. Marilù Garo.
3. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Matematikk for ledelse og økonomi. Pearson Education.
4. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematikk 1 SEP. Terskel.
5. Preciado, CT (2005). Matematikkurs 3. Redaksjonell progreso.
6. Rock, NM (2006). Algebra I Is Easy! Så lett. Team Rock Press.
7. Sullivan, J. (2006). Algebra og trigonometri. Pearson Education.