KVADRILATERALE: ELEMENTER, EGENSKAPER, KLASSIFISERING, EKSEMPLER - MATTE - 2026

En firkantet er en polygon med fire sider og fire hjørner. De motsatte sidene er de som ikke har vertikater til felles, mens påfølgende sider er de som har en felles toppunkt.

I en firkantet deling av tilstøtende vinkler en side, mens motsatte vinkler ikke har noen sider til felles. Et annet viktig kjennetegn ved en firedobling er at summen av de fire indre vinklene er dobbelt så stor som vinkelen, dvs. 360º eller 2π radianer.

Figur 1. Ulike firedoblinger. Kilde: F. Zapata.

Diagonaler er segmentene som forbinder en toppunkt med det motsatte, og i en gitt firkant kan en enkelt diagonal trekkes fra hvert toppunkt. Det totale antallet diagonaler i en firedobling er to.

Firedeler er figurer kjent for menneskeheten siden antikken. Arkeologiske poster, så vel som konstruksjonene som overlever i dag, vitner om dette.

På samme måte fortsetter firedoblinger i dag en viktig tilstedeværelse i alles daglige liv. Leseren kan finne denne skjemaet på skjermen han leser teksten akkurat i dette øyeblikket, på vinduer, dører, bildeler og utallige andre steder.

Kvadrilateral klassifisering

I samsvar med parallelliteten til de motsatte sider, er firedoblinger klassifisert som følger:

1. Trapezoid, når det ikke er noen parallellisme og firpartiet er konveks.
2. Trapezoid, når det er parallellitet mellom et enkelt par motsatte sider.
3. Parallelogram, når de motstående sidene er parallelle to for to.

Figur 2. Klassifisering og underklassifisering av firedoblinger. Kilde: Wikimedia Commons.

Typer av parallellogram

På sin side kan parallellogrammer klassifiseres i henhold til vinklene og sidene på følgende måte:

1. Rektangel er parallellogrammet som har sine fire indre vinkler av samme mål. De indre vinklene til et rektangel danner en rett vinkel (90º).
2. Firkantet, det er et rektangel med fire sider like stort.
3. Rhombus er parallellogrammet med sine fire like sider, men forskjellige tilstøtende vinkler.
4. Rhomboid, parallelogram med forskjellige tilstøtende vinkler.

Trapeze

Trapesformen er en konveks firkantet med to parallelle sider.

Figur 3. Baser, sider, høyde og median til en trapesform. Kilde: Wikimedia Commons.

- I en trapezoid kalles de parallelle sidene baser og de ikke-parallelle sidene kalles lateraler.

- Høyden på en trapesformet er avstanden mellom de to basene, det vil si lengden på et segment med ender ved basene og vinkelrett på dem. Dette segmentet kalles også en høyde på trapesformet.

- Medianen er segmentet som blir med i midtpunktene til sidene. Det kan vises at medianen er parallell med trapesformet og at dens lengde er lik semisumet til basene.

- Området til en trapezoid er dens høyde multiplisert med halvsummen av basene:

Typer trapezoider

-Rektangulær trapezoid : det er den med en side vinkelrett på basene. Denne siden er også høyden på trapeset.

-Isosceles trapezoid : den med sider av samme lengde. I en isosceles trapezoid er vinklene ved siden av basene like.

-Scalene trapez : den med sidene i forskjellige lengder. Dets motsatte vinkler kan være den ene akutte og den andre stump, men det kan også skje at begge er stumpe eller begge skarpe.

Figur 4. Trapesform. Kilde: F. Zapata.

parallellogram

Parallellogrammet er et firedoblet hvis motsatte sider er parallelle to for to. I et parallellogram er de motsatte vinklene like og de tilstøtende vinklene er supplerende, eller på en annen måte, de tilstøtende vinklene legger opp til 180º.

Hvis et parallellogram har en rett vinkel, vil alle andre vinkler også være, og den resulterende figuren kalles et rektangel. Men hvis rektangelet også har sine tilstøtende sider av samme lengde, er alle sidene like, og den resulterende figuren er en firkant.

Figur 5. Parallelogram. Rektangelet, torget og romb er parallellogrammer. Kilde: F. Zapata.

Når et parallellogram har to tilstøtende sider med samme lengde, vil alle sidene ha samme lengde, og den resulterende figuren er en romb.

Høyden på et parallellogram er et segment med ender på motsatte sider og vinkelrett på dem.

Område av et parallellogram

Arealet av et parallellogram er basisenes produkt ganger høyden, idet basen er en side som er vinkelrett på høyden (figur 6).

Diagonaler av et parallellogram

Kvadratet til diagonalen som starter fra et toppunkt er lik summen av rutene på de to sidene ved siden av nevnte toppunkt pluss dobbeltproduktet fra disse sidene ved kosinus av vinkelen til det toppunktet:

f ² = a ² + d ² + 2 annonse Cos (α)

Figur 6. Parallelogram. Motsatte vinkler, høyde, diagonaler. Kilde: F. Zapata.

Kvadratet til diagonalen motsatt toppunktet av et parallellogram er lik summen av rutene på de to sidene ved siden av toppunktet og trekker det doble produktet fra disse sidene ut fra kosinus i vinkelen til det toppunktet:

g ² = a ² + d ² - 2 annonse Cos (α)

Parallellogrammerett

I et hvilket som helst parallellogram er summen av rutene på sidene lik summen av kvadratene til diagonalene:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Rektangelet er en firkantet side med motsatte sider parallelt to for to og som også har en rett vinkel. Med andre ord er rektangelet en type parallellogram med rett vinkel. Fordi det er et parallellogram, har rektanglet motsatte sider med lik lengde a = c og b = d.

Men som i ethvert parallellogram er de tilstøtende vinklene komplementære og de motsatte vinklene er like, i rektangelet fordi den har en rett vinkel, vil den nødvendigvis danne rette vinkler i de tre andre vinklene. Med andre ord, i et rektangel måler de indre vinklene 90 ° eller π / 2 radianer.

Diagonaler av et rektangel

I et rektangel er diagonalene av samme lengde, som det vil bli vist nedenfor. Resonnementet er som følger; Et rektangel er et parallellogram med alle sine rette vinkler og arver derfor alle parallellogrammets egenskaper, inkludert formelen som gir lengden på diagonalene:

f ² = a ² + d ² + 2 annonse Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 annonse Cos (α)

med α = 90º

Siden Cos (90º) = 0, så hender det at:

f ² = g ² = a ² + d ²

Det vil si f = g, og derfor er lengdene f og g av de to diagonalene i rektanglet like og deres lengde er gitt av:

Videre, hvis i en rektangel med tilstøtende sider a og b tas den ene siden som base, vil den andre siden være høyde og følgelig vil rektanglets område være:

Arealet av rektangelet = øks b.

Omkretsen er summen av alle sidene av rektangelet, men siden motsetningene er like, følger det at for et rektangel med sidene a og b er omkretsen gitt med følgende formel:

Rektangelens omkrets = 2 (a + b)

Figur 7. Rektangel med sidene a og b. Diagonalene f og g har samme lengde. Kilde: F. Zapata.

Torget

Kvadratet er et rektangel med tilstøtende sider i samme lengde. Hvis firkanten har side a, har diagonalene f og g samme lengde, som er f = g = (√2) a.

Området til et torg er dens side-kvadrat:

Areal av et kvadrat = a ²

Omkretsen til et kvadrat er dobbelt siden:

Omkretsen av et kvadrat = 4 a

Figur 8. Kvadrat med side a, som angir dens område, dens omkrets og lengden på diagonalene. Kilde: F. Zapata ..

Diamant

Rhombus er et parallellogram med tilstøtende sider i samme lengde, men siden i et parallellogram er de motstående sidene like, så er alle sidene til en rhombus like lange.

Diagonalene til en romb har forskjellig lengde, men de skjærer hverandre i rette vinkler.

Figur 9. Rhombus av side a, som indikerer dens område, dens omkrets og lengden av diagonalene. Kilde: F. Zapata.

eksempler

Eksempel 1

Vis at i de firkantede (ikke kryssede) de indre vinklene er 360 °.

Figur 10: Det vises hvordan summen av vinklene til en firkantet legger opp til 360º. Kilde: F. Zapata.

En firedoblet ABCD blir vurdert (se figur 10) og diagonalen BD tegnes. To trekanter ABD og BCD dannes. Summen av de indre vinklene i trekant ABD er:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

Og summen av de indre vinklene til trekant BCD er:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Legger til de to ligningene vi får:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

gruppering:

α + (β ₁ + ₂ ) + (δ ₁ + δ ₂ ) + γ = 2 * 180º

Ved å gruppere og gi nytt navn, vises det endelig at:

α + β + δ + γ = 360º

Eksempel 2

Vis at medianen til en trapezoid er parallell med dens baser og dens lengde er semisumet til basene.

Figur 11. Median MN av trapezium ABCD. Kilde: F. Zapata.

Medianen til en trapezoid er segmentet som blir sammenføyd med midtpunktene på sidene, det vil si de ikke-parallelle sidene. I trapesformet ABCD vist i figur 11 er median MN.

Siden M er midtpunktet i AD og N er midtpunktet for BC, er AM / AD og BN / BC forholdene like.

Det vil si at AM er proporsjonal med BN i samme andel som AD er til BC, så vilkårene for anvendelse av Thales '(gjensidige) teorem er gitt, som sier følgende:

"Hvis proporsjonale segmenter bestemmes i tre eller flere linjer kuttet av to sekanter, er disse linjene alle parallelle."

I vårt tilfelle konkluderes det med at linjene MN, AB og DC er parallelle med hverandre, derfor:

"Medianen til en trapes er parallell med dens baser."

Nå skal Thales teorem brukes:

"Et sett med paralleller kuttet av to eller flere sekanter bestemmer proporsjonale segmenter."

I vårt tilfelle AD = 2 AM, AC = 2 AO, så trekanten DAC ligner trekanten MAO, og følgelig DC = 2 MO.

Et lignende argument lar oss bekrefte at CAB ligner CON, der CA = 2 CO og CB = 2 CN. Det følger umiddelbart at AB = 2 PÅ.

Kort sagt AB = 2 ON og DC = 2 MO. Så når du legger til har vi:

AB + DC = 2 PÅ + 2 MO = 2 (MO + PÅ) = 2 MN

Endelig blir MN klarert:

MN = (AB + DC) / 2

Og det konkluderes med at medianen til en trapezoid måler semisummen av basene, eller uttrykt på en annen måte: medianen måler summen av basene, delt på to.

Eksempel 3

Vis at diagonalene skjærer i rette vinkler i en romb.

Figur 12. Romb og demonstrasjon av at diagonalene skjærer hverandre i rette vinkler. Kilde: F. Zapata.

Tavlen i figur 12 viser nødvendig konstruksjon. Først tegnes parallellogrammet ABCD med AB = BC, det vil si en romb. Diagonaler AC og DB bestemmer åtte vinkler vist på figuren.

Ved hjelp av teoremet (aip) som sier at vekslende indre vinkler mellom paralleller kuttet av en sekant bestemmer like vinkler, kan vi etablere følgende:

α ₁ = γ ₁ , α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ og δ2 = β2. (*)

På den annen side, siden de tilstøtende sidene av en rhombus har samme lengde, bestemmes fire likeartede trekanter:

DAB, BCD, CDA og ABC

Nå er trekanten (isosceles) teorem påberopes, som sier at vinklene ved siden av basen er like store, og det konkluderes med at:

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁ , α2 = γ ₁ og α ₁ = γ2 (**)

Hvis relasjonene (*) og (**) kombineres, oppnås følgende likhet av vinkler:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ på den ene siden og β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 på den andre.

Påminnelse om de like trekanteteoremet som sier at to trekanter med en lik side mellom to like vinkler er like, har vi:

AOD = AOB og følgelig også vinklene ∡AOD = ∡AOB.

Deretter ∡AOD + ∡AOB = 180º, men siden begge vinklene har samme mål, har vi 2 ∡AOD = 180º som innebærer at ∡AOD = 90º.

Det vil si at det vises geometrisk at diagonalene til en romb skjærer seg i rette vinkler.

Øvelser løst

- Oppgave 1

Vis at i en rett trapezoid er ikke-høyre vinkler supplerende.

Løsning

Figur 13. Høyre trapes. Kilde: F. Zapata.

Trapesformet ABCD er konstruert med baser AB og DC parallelt. Den indre vinkelen til toppunkt A er riktig (den måler 90º), så vi har en riktig trapes.

Vinklene α og δ er indre vinkler mellom to paralleller AB og DC, derfor er de like, det vil si δ = α = 90º.

På den annen side er det vist at summen av de indre vinklene til en firkantet legger opp til 360º, det vil si:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Ovennevnte fører til:

β + δ = 180º

Bekreftelse av hva som var ønsket å vise, at vinklene β og δ er supplerende.

- Oppgave 2

Et parallellogram ABCD har AB = 2 cm og AD = 1 cm, i tillegg er vinkelen BAD 30º. Bestem området for dette parallellogrammet og lengden på de to diagonalene.

Løsning

Arealet til et parallellogram er produktet av lengden på basen og dens høyde. I dette tilfellet blir lengden på segmentet b = AB = 2 cm tatt som grunnlag, den andre siden har lengde a = AD = 1 cm og høyden h blir beregnet som følger:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

Altså: Areal = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ² .

referanser

1. CEA (2003). Geometrielementer: med øvelser og kompassgeometri. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematikk 2. Grupo Redaksjonell Patria.
3. Freed, K. (2007). Oppdag polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generaliserte polygoner. Birkhauser.
5. Iger. (SF). Matematikk Første semester Tacaná. Iger.
6. Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heerenveen og Hornsby. (2006). Matematikk: resonnering og applikasjoner (tiende utgave). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematikk 5. Redaksjonell progreso.
9. Wikipedia. Firkanter. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com