TAU (GEOMETRI): LENGDE, TEOREM OG ØVELSER - MATTE - 2026

Et akkord , i plangeometri, er linjesegmentet som blir sammen med to punkter på en kurve. Linjen som inneholder dette segmentet sies å være en fast linje mot kurven. Dette er ofte en omkrets, men akkorder kan sikkert trekkes på mange andre kurver, for eksempel ellipser og parabolas.

I figur 1 til venstre er det en kurve som punktene A og B. hører til. Akkorden mellom A og B er det grønne segmentet. Til høyre er en omkrets og en av dens strenger, siden det er mulig å tegne uendelig.

Figur 1. Til venstre akkorden til en vilkårlig kurve og til høyre akkorden til en sirkel. Kilde: Wikimedia Commons.

I omkretsen er dens diameter spesielt interessant, som også er kjent som hovedakkorden. Det er et akkord som alltid inneholder sentrum av omkretsen og måler dobbelt radien.

Følgende figur viser radius, diameter, et akkord og også buen til en omkrets. Å identifisere hver og en av dem er viktig når du løser problemer.

Figur 2. Elementer av omkretsen. Kilde: Wikimedia Commons.

Akkordlengde på en sirkel

Vi kan beregne lengden på akkorden i en sirkel fra figurene 3a og 3b. Legg merke til at det alltid er dannet en trekant med to like sider (likebånd): segmentene OA og OB, som måler R, omkretsens radius. Den tredje siden av trekanten er segment AB, kalt C, som er nøyaktig lengden på akkorden.

Det er nødvendig å tegne en linje vinkelrett på akkorden C for å halvere vinkelen θ som eksisterer mellom de to radiene og hvis toppunkt er sentrum O for omkretsen. Dette er en sentral vinkel - fordi toppunktet er sentrum - og halvlinjeledningen er også et anslag på omkretsen.

To høyre trekanter dannes øyeblikkelig, hvis hypotenuse måler R. Siden bisektoren, og med den diameteren, deler akkorden i to like store deler, viser det seg at det ene benet er halvparten av C, som angitt i Figur 3b.

Fra definisjonen av sinus av en vinkel:

sin (θ / 2) = motsatt ben / hypotenuse = (C / 2) / R

Og dermed:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Figur 3. Trekanten som er dannet av to radier og en omkretssnor, er isosceles (figur 3), siden den har to like sider. Bisektoren deler den i to høyre trekanter (figur 3b). Kilde: utarbeidet av F. Zapata.

Strengeteorem

Strengeteoremet går slik:

Følgende figur viser to akkorder med samme omkrets: AB og CD, som skjærer hverandre i punkt P. I akkorden AB er segmentene AP og PB definert, mens i akkorden er CD CP og PD definert. I følge teoremet:

AP. PB = CP. PS!

Figur 4. Akkordsetningen til en sirkel. Kilde: F. Zapata.

Løste øvelser av strenger

- Oppgave 1

En sirkel har et akkord på 48 cm, som er 7 cm fra midten. Beregn sirkelsarealet og omkretsens omkrets.

Løsning

For å beregne arealet av sirkelen A er det nok å kjenne radiusen til omkretsen i kvadratet, siden det er sant:

A = π.R ²

Nå er figuren som er dannet med dataene gitt en riktig trekant, hvis ben er henholdsvis 7 og 24 cm.

Figur 5. Geometri for den løste øvelsen 1. Kilde: F. Zapata.

Derfor, for å finne verdien av R- ² , Pythagoras læresetning c ² = a ² + b ² påføres direkte , siden R er hypotenusen i trekanten:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Så det forespurte området er:

A = π. 625 cm ² = 1963,5 cm ²

Når det gjelder omkretsen eller lengden L på omkretsen, beregnes det av:

L = 2π. R

Å erstatte verdier:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 cm = 157,1 cm.

- Oppgave 2

Bestem lengden på akkorden til en sirkel hvis ligning er:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Koordinatene til midtpunktet til akkorden er kjent for å være P (17/2; 7/2).

Løsning

Midtpunktet til akkorden P hører ikke til omkretsen, men sluttpunktene til akkorden gjør det. Problemet kan løses ved å bruke streng-teoremet som tidligere er oppgitt, men først er det praktisk å skrive ligningen til omkretsen i kanonisk form, for å bestemme dens radius R og dens sentrum O.

Trinn 1: få den kanoniske likningen av omkretsen

Den kanoniske ligningen av sirkelen med sentrum (h, k) er:

(XH) ² + (Yk) ² = R ²

For å få det, må du fullføre firkanter:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Legg merke til at 6x = 2. (3x) og 14y = 2. (7y), slik at forrige uttrykk blir skrevet om på denne måten, og forblir uendret:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

Og nå, husker du definisjonen av bemerkelsesverdig produkt (ab) ² = a ² - 2ab + b ^2, kan du skrive:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Omkretsen har sentrum (3,7) og radius R = √169 = 13. Følgende figur viser grafen for omkretsen og akkordene som skal brukes i teoremet:

Figur 6. Graf over omkretsen til den løste øvelsen 2. Kilde: F. Zapata ved bruk av Mathway online grafisk kalkulator.

Trinn 2: Bestem segmentene som skal brukes i strengteoremet

Segmentene som skal brukes er strengene CD og AB, i henhold til figur 6 er begge kuttet i punkt P, derfor:

CP. PD = AP. PB

Nå skal vi finne avstanden mellom punktene O og P, siden dette vil gi oss lengden på segmentet OP. Hvis vi legger til radiusen til denne lengden, vil vi ha segmentet CP.

Avstanden d _OP mellom to koordinatpunkter (x ₁ , y ₁ ) og (x ₂ , y ₂ ) er:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

Med alle oppnådde resultater, pluss grafen, konstruerer vi følgende liste over segmenter (se figur 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = akkordlengde

Å erstatte i strengteoremet:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Lengden på strengen er 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Kunne leseren løse problemet på en annen måte?

referanser

1. Baldor, A. 2004. Plane and Space Geometry with Trigonometry. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-K12. Lenght of a Chord. Gjenopprettet fra: ck12.org.
3. Escobar, J. The Circumference. Gjenopprettet fra: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas. Gjenopprettet fra: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Tau (geometri). Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.