IMPLISITTE DERIVATER: HVORDAN DE LØSES OG ØVELSER LØSES - MATTE - 2026

De implisitte derivater er verktøy som brukes i en differensieringsteknikk brukt på funksjoner. De brukes når det ikke er mulig under vanlige metoder å løse for den avhengige variabelen som skal avledes. Denne klareringen utføres som en funksjon av den uavhengige variabelen.

For eksempel, i uttrykket 3xy ³ - 2y + xy ² = xy, kan ikke uttrykket som definerer “y” som en funksjon av “x” oppnås. Slik at ved å utlede differensialuttrykket kan dy / dx oppnås.

Hvordan løses implisitte derivater?

For å løse et implisitt derivat begynner vi med et implisitt uttrykk. For eksempel: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Dette er allerede løst riktig, men å gjøre det er ikke en nødvendig betingelse for å oppnå derivatet av y med hensyn til x. Deretter er hvert av elementene avledet med respekt for kjederegelen for blandede funksjoner:

3xy ³ er sammensatt av 2 variabler, derfor vil d (3xy ³ ) bli behandlet som et derivat av et produkt av funksjoner.

d (3xy ³ ) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Hvor elementet y 'er kjent som “y prime” og representerer dy / dx

-2y Det er avledet i henhold til loven KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ² antar en annen differensial sammensatt av et produkt av funksjoner

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-xy behandles homologt

d (-xy) = -y - x y '

De er erstattet i likeverd, vel vitende om at derivatet til null er null.

3y ³ + 9xy ² y '- 2 y' + y ² + 2xy y '- y - x y' = 0

Elementene som har uttrykket y 'er gruppert på den ene siden av likestillingen

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Den vanlige faktoren y 'trekkes ut fra høyre side av likestillingen

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Endelig blir begrepet som multipliserer y 'slettet. Dermed oppnå uttrykket som tilsvarer det implisitte derivat av y med hensyn til x.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Kjederegel

I implisitt avledning blir kjederegelen alltid respektert. Alle differensielle uttrykk vil bli gitt som en funksjon av den uavhengige variabelen X. Så hver variabel θ annet enn X, må inkludere begrepet dθ / dx etter at den er avledet.

Dette uttrykket vil bare vises i første grad eller med en eksponent som er lik 1. Denne kvaliteten gjør det helt klart under tradisjonelle factoringmetoder. Dermed er det mulig å få uttrykk som definerer differensialen dθ / dx.

Kjederegelen viser den progressive karakteren av differensierings- eller derivatprosessen. Hvor for hver sammensatte funksjon f, har vi at det differensielle uttrykket til f vil være

Driftsrekkefølge

I hver formel eller lov om avledning som blir brukt, må rekkefølgen på variablene tas med i betraktningen. Kriteriene knyttet til den uavhengige variabelen blir respektert, uten å endre korrelasjonen med den avhengige variabelen.

Forholdet til den avhengige variabelen på tidspunktet for avledningen tas direkte; Med unntak av at dette vil bli betraktet som en andre funksjon, er det grunnen til at kjedestyrekriteriet for blandede funksjoner blir brukt.

Dette kan utvikles i uttrykk med mer enn 2 variabler. Under de samme prinsippene vil alle differensialene som refererer til de avhengige variablene betegnes.

Grafisk håndteres det samme kriteriet som definerer derivatet. Mens derivatet er helningen på tangentlinjen til kurven i planet, representerer resten av differensialene som tilhører de avhengige variablene (dy / dx, dz / dx) plan tangent til vektorlegemene beskrevet av de flere variabelfunksjonene.

Implisitt

En funksjon sies å være implisitt definert hvis uttrykket y = f (x) kan representeres som en flervariabel funksjon F (x, y) = 0, så lenge F er definert i R ² plan .

3xy ³ - 2y + xy ² = xy kan skrives i formen 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

Med tanke på umuligheten av å gjøre funksjonen y = f (x) eksplisitt.

Historie

Differensialberegningen begynte å bli navngitt av forskjellige matematiske forskere rundt det syttende århundre. Første gang det ble nevnt var gjennom bidragene fra Newton og Leibniz. Begge behandlet differensialberegningen fra forskjellige synsvinkler, men konvergerte i resultatene.

Mens Newton fokuserte på differensiering som en hastighet eller endringshastighet, var Leibniz tilnærming mer geometrisk. Det kan sies at Newton angrep antagelsene som ble forlatt av Apollonius av Perge og Leibniz de geometriske ideene til Fermat.

Den implisitte avledningen vises umiddelbart når man vurderer differensial- og integrasjonsligningene. Disse utvidet Leibniz geometriske konsept til R ³ og til og med til flerdimensjonale rom.

applikasjoner

Implisitte derivater brukes i forskjellige situasjoner. De er vanlige i valutakursproblemer mellom relaterte variabler, der, avhengig av følelsen av studien, variablene vil bli ansett som avhengige eller uavhengige.

De har også interessante geometriske bruksområder, som refleksjons- eller skyggeproblemer, på figurer hvis form kan matematisk modelleres.

De brukes ofte innen økonomi og ingeniørfag, så vel som i forskjellige undersøkelser av naturfenomener og eksperimentelle bygninger.

Løste øvelser

Oppgave 1

Definer det implisitte uttrykket som definerer dy / dx

Hvert element i uttrykket er differensiert

Etablere kjederegel i hvert kompetent tilfelle

Gruppering på en side av likhet elementene som har dy / dx

Det er beregnet å bruke den vanlige faktoren

Det løses ved å oppnå det ønskede uttrykket

Oppgave 2

Definer det implisitte uttrykket som definerer dy / dx

Å uttrykke derivater som skal utføres

Avlede implisitt etter kjederegel

Factoring vanlige elementer

Gruppere begrepet dy / dx på den ene siden av likestillingen

Felles faktor for differensialelementet

Vi isolerer og oppnår det ønsket uttrykket

referanser

1. Beregning av en enkelt variabel. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. nov 2008
2. The Implicit Function Theorem: History, Theory and Applications. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. nov. 2012
3. Multivariabel analyse. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. des. 2010
4. Systemdynamikk: modellering, simulering og kontroll av mekatroniske systemer. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. mars 2012
5. Kalkulus: Matematikk og modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. jan 1999