PÅFØLGENDE DERIVATER (MED ØVELSER LØST) - MATTE - 2026

De suksessive derivatene er de som er avledet fra en funksjon etter det andre derivatet. Prosessen for å beregne de påfølgende derivater er følgende: vi har en funksjon f, som vi kan utlede og dermed få derivatfunksjonen f '. Vi kan utlede dette derivatet av f igjen, oppnå (f ')'.

Denne nye funksjonen kalles det andre derivatet; alle derivater beregnet fra det andre er suksessive; Disse, også kalt høyere orden, har gode bruksområder, for eksempel å gi informasjon om plottet til grafen til en funksjon, testen av det andre derivatet for relative ekstremer og bestemmelse av uendelige serier.

Definisjon

Ved å bruke Leibnizs notasjon har vi at derivatet til en funksjon "y" med hensyn til "x" er dy / dx. For å uttrykke det andre derivatet av "y" ved å bruke Leibnizs notasjon, skriver vi som følger:

Generelt kan vi uttrykke suksessive derivater som følger med Leibnizs notasjon, der n representerer rekkefølgen på derivatet.

Andre notasjoner som er brukt er følgende:

Noen eksempler der vi kan se de forskjellige notasjonene er:

Eksempel 1

Få alle derivater av funksjonen f definert av:

Ved å bruke de vanlige derivasjonsteknikkene, har vi at derivatet av f er:

Ved å gjenta prosessen kan vi oppnå det andre derivatet, det tredje derivatet og så videre.

Merk at det fjerde derivatet er null og derivatet av null er null, så vi har:

Eksempel 2

Beregn det fjerde derivatet av følgende funksjon:

Avlede den gitte funksjonen vi har som et resultat:

Hastighet og akselerasjon

En av motivasjonene som førte til oppdagelsen av derivatet, var søket etter definisjonen av øyeblikkelig hastighet. Den formelle definisjonen er som følger:

La y = f (t) være en funksjon hvis graf beskriver banen til en partikkel på tidspunktet t, deretter er dens hastighet på tidspunktet t gitt av:

Når hastigheten til en partikkel er oppnådd, kan vi beregne øyeblikkelig akselerasjon, som er definert som følger:

Den øyeblikkelige akselerasjonen av en partikkel hvis vei er gitt av y = f (t) er:

Eksempel 1

En partikkel beveger seg langs en linje i henhold til posisjonsfunksjonen:

Hvor "y" måles i meter og "t" i sekunder.

- På hvilket øyeblikk er hastigheten 0?

- På hvilket øyeblikk er akselerasjonen 0?

Når vi trekker ut posisjonsfunksjonen «og», har vi at dens hastighet og akselerasjon er gitt henholdsvis ved:

For å svare på det første spørsmålet er det nok å avgjøre når funksjonen v blir null; dette er:

Vi fortsetter med følgende spørsmål på en analog måte:

Eksempel 2

En partikkel beveger seg langs en linje i henhold til følgende bevegelsesligning:

Bestem "t, y" og "v" når a = 0.

Å vite at hastighet og akselerasjon er gitt av

Vi fortsetter å utlede og oppnå:

Å lage a = 0, vi har:

Derfra kan vi utlede at verdien av t for a å være lik null er t = 1.

Deretter har vi evaluert posisjonsfunksjonen og hastighetsfunksjonen ved t = 1:

applikasjoner

Eksplisitt avledning

Påfølgende derivater kan også oppnås ved implisitt derivat.

Eksempel

Gitt følgende ellipse, finn "y":

Avledet implisitt med hensyn til x, har vi:

Så implisitt å gjenvinne med hensyn til x gir oss:

Endelig har vi:

Relative ytterpunkter

En annen bruk som vi kan gi til andreordens derivater er i beregningen av relative ytterpunkter av en funksjon.

Kriteriet for det første derivatet for lokale ekstremer forteller oss at hvis vi har en kontinuerlig funksjon f på et intervall (a, b), og det er en c som hører til nevnte intervall slik at f 'forsvinner i c (det vil si at c er et kritisk punkt), kan en av tre tilfeller oppstå:

- Hvis f´ (x)> 0 for x som tilhører (a, c) og f´ (x) <0 for x som tilhører (c, b), er f (c) et lokalt maksimum.

- Hvis f´ (x) <0 for x som tilhører (a, c) og f´ (x)> 0 for x som tilhører (c, b), er f (c) et lokalt minimum.

- Hvis f´ (x) har samme pålogging (a, c) og i (c, b), innebærer det at f (c) ikke er en lokal ekstrem.

Ved å bruke kriteriet til det andre derivatet kan vi vite om et kritisk antall til en funksjon er et lokalt maksimum eller et minimum, uten å måtte se hva tegnet på funksjonen er i de nevnte intervallene.

Det andre driftskriteriet forteller oss at hvis f´ (c) = 0 og at f´´ (x) er kontinuerlig i (a, b), hender det at hvis f´´ (c)> 0 så er f (c) er et lokalt minimum, og hvis f´´ (c) <0, er f (c) et lokalt maksimum.

Hvis f´´ (c) = 0, kan vi ikke konkludere med noe.

Eksempel

Gitt funksjonen f (x) = x ⁴ + (4/3) x ³ - 4x ² , finn de relative maksima og minima for f ved å bruke kriteriet til det andre derivatet.

Først beregner vi f´ (x) og f´´ (x), og vi har:

f´ (x) = 4x ³ + 4x ² - 8x

f´´ (x) = 12x ² + 8x - 8

Nå er f´ (x) = 0 hvis, og bare hvis 4x (x + 2) (x - 1) = 0, og dette skjer når x = 0, x = 1 eller x = - 2.

For å bestemme om de kritiske tallene som er oppnådd er relative ytterpunkter, er det nok å evaluere ved f´´ og dermed observere dets tegn.

f´´ (0) = - 8, så f (0) er et lokalt maksimum.

f´´ (1) = 12, så f (1) er et lokalt minimum.

f´´ (- 2) = 24, så f (- 2) er et lokalt minimum.

Taylor-serien

La f være en funksjon definert som følger:

Denne funksjonen har en konvergensradius R> 0 og har derivater av alle ordrer i (-R, R). De påfølgende derivater av f gir oss:

Ved å ta x = 0, kan vi oppnå verdiene til c _n som en funksjon av deres derivater som følger:

Hvis vi tar an = 0 som funksjonen f (det vil si f ^ 0 = f), kan vi omskrive funksjonen som følger:

La oss nå vurdere funksjonen som en serie krefter ved x = a:

Hvis vi utfører en analyse analog med den forrige, ville vi ha at vi kan skrive funksjonen f som:

Disse seriene er kjent som Taylor-serie fra f til a. Når a = 0 har vi det spesielle tilfellet kalt Maclaurin-serien. Denne typen serier er av stor matematisk betydning spesielt i numerisk analyse, siden vi takket være disse kan definere funksjoner i datamaskiner som e ^x , sin (x) og cos (x).

Eksempel

Få tak i Maclaurin-serien for e ^x .

Legg merke til at hvis f (x) = e ^x , så er f ⁽ⁿ⁾ (x) = e ^x og f ⁽ⁿ⁾ (0) = 1, så Maclaurin-serien er:

referanser

1. Frank Ayres, J., & Mendelson, E. (nd). Beregning 5ed. Mc Graw Hill.
2. Leithold, L. (1992). Beregningen med analytisk geometri. HARLA, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Beregning. Mexico: Pearson Education.
4. Saenz, J. (2005). Differensiell beregning. Hypotenusen.
5. Saenz, J. (nd). Integrert kalkyle. Hypotenusen.