- eksempler
- Å faktorere en forskjell på kuber
- Eksempel 1
- Eksempel 2
- Eksempel 3
- Trening løst
- Oppgave 1
- Løsning på
- Løsning b
- Oppgave 2
- Løsning
- referanser
Den forskjell på kuber er en binomial algebraisk uttrykk av formen a 3 - b 3 , hvor betingelsene a og b kan være reelle tall eller algebraiske uttrykk av ulike typer. Et eksempel på en forskjell på terninger er: 8 - x 3 , siden 8 kan skrives som 2 3 .
Geometrisk kan vi tenke på en stor kube, side a, hvorfra den lille kuben med side b trekkes fra, som illustrert i figur 1:

Figur 1. En forskjell på terninger. Kilde: F. Zapata.
Volumet til den resulterende figuren er nettopp en forskjell på kubene:
V = a 3 - b 3
For å finne et alternativt uttrykk observeres det at dette tallet kan spaltes i tre prismer, som vist nedenfor:

Figur 2. Forskjellen på kubene (til venstre for likheten) er lik summen av delvolumene (høyre). Kilde: F. Zapata.
Et prisme har et volum gitt av produktet av dets tre dimensjoner: bredde x høyde x dybde. På denne måten er det resulterende volumet:
V = a 3 - b 3 = a 2 .b + b 3 + ab 2
Faktor b er vanlig til høyre. I figuren vist over er det dessuten spesielt sant at:
b = (a / 2) ⇒ a = b + b
Derfor kan det sies at: b = a - b. Og dermed:
Denne måten å uttrykke forskjellen på terninger vil vise seg å være veldig nyttig i mange bruksområder, og den ville blitt oppnådd på samme måte, selv om siden av den manglende kuben i hjørnet var forskjellig fra b = a / 2.
Legg merke til at de andre parentesene ligner godt på det bemerkelsesverdige produktet av kvadratet med summen, men tverrbegrepet multipliseres ikke med 2. Leseren kan utvide høyresiden for å bekrefte at en 3 - b 3 faktisk er oppnådd .
eksempler
Det er flere forskjeller på terninger:
1 - m 6
a 6 b 3 - 8z 12 og 6
(1/125) .x 6 - 27.y 9
La oss analysere hver og en av dem. I det første eksemplet kan 1 skrives som 1 = 1 3 og begrepet m 6 blir: (m 2 ) 3 . Begge begrepene er perfekte terninger, derfor er forskjellen deres:
1 - m 6 = 1 3 - (m 2 ) 3
I det andre eksemplet blir vilkårene skrevet om:
a 6 b 3 = (a 2 b) 3
8z 12 y 6 = 2 3 (z 4 ) 3 (y 2 ) 3 = (2z 4 y 2 ) 3
Forskjellen på disse kuber er: (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2 ) 3 .
Til slutt er brøkdelen (1/125) (1/5 3 ), x 6 = (x 2 ) 3 , 27 = 3 3, og y 9 = (y 3 ) 3 . Ved å erstatte alt dette i det originale uttrykket, får du:
(1/125) .x 6 - 27 år 9 = 3 - (3y 3 ) 3
Å faktorere en forskjell på kuber
Å faktorere forskjellen på terninger forenkler mange algebraiske operasjoner. For å gjøre dette, bruk bare formelen utledet over:

Figur 3. Faktorisering av forskjellen på terninger og uttrykk for en bemerkelsesverdig kvotient. Kilde: F. Zapata.
Nå består fremgangsmåten for å anvende denne formelen av tre trinn:
- For det første oppnås kubusroten av hver av betingelsene for forskjellen.
- Da konstrueres binomialen og trinomialen som vises på høyre side av formelen.
- Til slutt byttes binomialen og trinomialen ut for å oppnå den endelige faktoriseringen.
La oss illustrere bruken av disse trinnene med hvert av eksemplene på kubedifferansen som er foreslått ovenfor, og dermed oppnå dets faktorer.
Eksempel 1
Faktorer uttrykket 1 - m 6 ved å følge trinnene som er beskrevet. Vi starter med å omskrive uttrykket som 1 - m 6 = 1 3 - (m 2 ) 3 for å trekke ut de respektive kubberøttene til hvert begrep:


Deretter konstrueres binomialen og trinomialen:
a = 1
b = m 2
Så:
a - b = 1 - m 2
(a 2 + ab + b 2 ) = 1 2 + 1. m 2 + (m 2 ) 2 = 1 + m 2 + m 4
Endelig er det som er substituert i formelen en 3 - b 3 = (ab) (a 2 + b + b 2 ):
1 - m 6 = (1 - m 2 ) (1 + m 2 + m 4 )
Eksempel 2
faktorisere:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b) 3 - (2z 4 y 2 ) 3
Siden dette er perfekte terninger, er kubberøttene øyeblikkelig: a 2 b og 2z 4 og 2 , og følgelig følger det at:
- Binomial: a 2 b - 2z 4 og 2
- Trinomial: (a 2 b) 2 + a 2 b. 2z 4 y 2 + (a 2 b + 2z 4 y 2 ) 2
Og nå er ønsket faktorisering konstruert:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2 ). =
= (a 2 b - 2z 4 y 2 ).
I prinsippet er fabrikkarbeidet klart, men det er ofte nødvendig å forenkle hvert begrep. Deretter utvikles det bemerkelsesverdige produktet - kvadratet av en sum - som vises på slutten, og deretter legges lignende vilkår til. Husk at kvadratet av en sum er:
Det bemerkelsesverdige produktet til høyre er utviklet slik:
(a 2 b + 2Z 4 og 2 ) 2 = a 4 b 2 + 4a 2 b.z 4 og 2 + 4Z 8 og 4
Ved å erstatte utvidelsen oppnådd i faktoriseringen av forskjellen på kubene:
a 6 b 3 -8z 12 y 6 = (a 2 b - 2z 4 y 2 ). =
Til slutt, gruppering som termer og faktorering av de numeriske koeffisientene, som alle er jevn, oppnår vi:
(a 2 b - 2z 4 y 2 ). = 2 (a 2 b - 2z 4 y 2 ).
Eksempel 3
Factoring (1/125) x 6 - 27y 9 er mye enklere enn forrige tilfelle. Først identifiseres ekvivalenter av a og av b:
a = (1/5) x 2
b = 3y 3
Deretter erstattes de direkte i formelen:
(1/125) .x 6 - 27 år 9 =.
Trening løst
Forskjellen på terninger har som sagt en rekke bruksområder i Algebra. La oss se noen:
Oppgave 1
Løs følgende ligninger:
a) x 5 - 125 x 2 = 0
b) 64 - 729 x 3 = 0
Løsning på
Først blir likningen beregnet på denne måten:
x 2 (x 3 - 125) = 0
Siden 125 er en perfekt kube, er parentesene skrevet som en forskjell på terninger:
x 2 . (x 3 - 5 3 ) = 0
Den første løsningen er x = 0, men vi finner mer hvis vi lager x 3 - 5 3 = 0, da:
x 3 = 5 3 → x = 5
Løsning b
Venstre side av ligningen skrives om som 64 - 729 x 3 = 4 3 - (9x) 3 . Og dermed:
4 3 - (9x) 3 = 0
Siden eksponenten er den samme:
9x = 4 → x = 9/4
Oppgave 2
Faktorer uttrykket:
(x + y) 3 - (x - y) 3
Løsning
Dette uttrykket er en forskjell på terninger, hvis vi i faktorformelen legger merke til at:
a = x + y
b = x- y
Så konstrueres binomialen først:
a - b = x + y - (x- y) = 2y
Og nå trinomialet:
a 2 + ab + b 2 = (x + y) 2 + (x + y) (xy) + (xy) 2
Viktige produkter utvikles:
Deretter må du erstatte og redusere lignende vilkår:
a 2 + ab + b 2 = x 2 + 2xy + y 2 + x 2 - y 2 + x 2 - 2xy + y 2 = 3x 2 + y 2
Factoring resulterer i:
(x + y) 3 - (x - y) 3 = 2y. (3x 2 + y 2 )
referanser
- Baldor, A. 1974. Algebra. Redaksjonell kulturell Venezolana SA
- Stiftelsen CK-12. Sum og forskjell på terninger. Gjenopprettet fra: ck12.org.
- Khan Academy. Factoring av forskjeller i terninger. Gjenopprettet fra: es.khanacademy.org.
- Matematikk er moro avansert. Forskjell på to terninger. Gjenopprettet fra: mathsisfun.com
- UNAM. Å faktorere en forskjell på kuber. Gjenopprettet fra: dcb.fi-c.unam.mx.
