FORSKJELL PÅ TERNINGER: FORMLER, LIGNINGER, EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2026

Den forskjell på kuber er en binomial algebraisk uttrykk av formen a ³ - b ³ , hvor betingelsene a og b kan være reelle tall eller algebraiske uttrykk av ulike typer. Et eksempel på en forskjell på terninger er: 8 - x ³ , siden 8 kan skrives som 2 ³ .

Geometrisk kan vi tenke på en stor kube, side a, hvorfra den lille kuben med side b trekkes fra, som illustrert i figur 1:

Figur 1. En forskjell på terninger. Kilde: F. Zapata.

Volumet til den resulterende figuren er nettopp en forskjell på kubene:

V = a ³ - b ³

For å finne et alternativt uttrykk observeres det at dette tallet kan spaltes i tre prismer, som vist nedenfor:

Figur 2. Forskjellen på kubene (til venstre for likheten) er lik summen av delvolumene (høyre). Kilde: F. Zapata.

Et prisme har et volum gitt av produktet av dets tre dimensjoner: bredde x høyde x dybde. På denne måten er det resulterende volumet:

V = a ³ - b ³ = a ² .b + b ³ + ab ²

Faktor b er vanlig til høyre. I figuren vist over er det dessuten spesielt sant at:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Derfor kan det sies at: b = a - b. Og dermed:

Denne måten å uttrykke forskjellen på terninger vil vise seg å være veldig nyttig i mange bruksområder, og den ville blitt oppnådd på samme måte, selv om siden av den manglende kuben i hjørnet var forskjellig fra b = a / 2.

Legg merke til at de andre parentesene ligner godt på det bemerkelsesverdige produktet av kvadratet med summen, men tverrbegrepet multipliseres ikke med 2. Leseren kan utvide høyresiden for å bekrefte at en ³ - b ³ faktisk er oppnådd .

eksempler

Det er flere forskjeller på terninger:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² og ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

La oss analysere hver og en av dem. I det første eksemplet kan 1 skrives som 1 = 1 ³ og begrepet m ⁶ blir: (m ² ) ³ . Begge begrepene er perfekte terninger, derfor er forskjellen deres:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ³

I det andre eksemplet blir vilkårene skrevet om:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

Forskjellen på disse kuber er: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

Til slutt er brøkdelen (1/125) (1/5 ³ ), x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ^3, og y ⁹ = (y ³ ) ³ . Ved å erstatte alt dette i det originale uttrykket, får du:

(1/125) .x ⁶ - 27 år ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

Å faktorere en forskjell på kuber

Å faktorere forskjellen på terninger forenkler mange algebraiske operasjoner. For å gjøre dette, bruk bare formelen utledet over:

Figur 3. Faktorisering av forskjellen på terninger og uttrykk for en bemerkelsesverdig kvotient. Kilde: F. Zapata.

Nå består fremgangsmåten for å anvende denne formelen av tre trinn:

- For det første oppnås kubusroten av hver av betingelsene for forskjellen.

- Da konstrueres binomialen og trinomialen som vises på høyre side av formelen.

- Til slutt byttes binomialen og trinomialen ut for å oppnå den endelige faktoriseringen.

La oss illustrere bruken av disse trinnene med hvert av eksemplene på kubedifferansen som er foreslått ovenfor, og dermed oppnå dets faktorer.

Eksempel 1

Faktorer uttrykket 1 - m ^{6 ved å} følge trinnene som er beskrevet. Vi starter med å omskrive uttrykket som 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ² ) ^{3 for} å trekke ut de respektive kubberøttene til hvert begrep:

Deretter konstrueres binomialen og trinomialen:

a = 1

b = m ²

Så:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ² ) = 1 ² + 1. m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

Endelig er det som er substituert i formelen en ³ - b ³ = (ab) (a ² + b + b ² ):

1 - m ⁶ = (1 - m ² ) (1 + m ² + m ⁴ )

Eksempel 2

faktorisere:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

Siden dette er perfekte terninger, er kubberøttene øyeblikkelig: a ² b og 2z ⁴ og ² , og følgelig følger det at:

- Binomial: a ² b - 2z ⁴ og ²

- Trinomial: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ² ) ²

Og nå er ønsket faktorisering konstruert:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

I prinsippet er fabrikkarbeidet klart, men det er ofte nødvendig å forenkle hvert begrep. Deretter utvikles det bemerkelsesverdige produktet - kvadratet av en sum - som vises på slutten, og deretter legges lignende vilkår til. Husk at kvadratet av en sum er:

Det bemerkelsesverdige produktet til høyre er utviklet slik:

(a ² b + 2Z ⁴ og ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ og ² + 4Z ⁸ og ⁴

Ved å erstatte utvidelsen oppnådd i faktoriseringen av forskjellen på kubene:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ² ). =

Til slutt, gruppering som termer og faktorering av de numeriske koeffisientene, som alle er jevn, oppnår vi:

(a ² b - 2z ⁴ y ² ). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ² ).

Eksempel 3

Factoring (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ er mye enklere enn forrige tilfelle. Først identifiseres ekvivalenter av a og av b:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Deretter erstattes de direkte i formelen:

(1/125) .x ⁶ - 27 år ⁹ =.

Trening løst

Forskjellen på terninger har som sagt en rekke bruksområder i Algebra. La oss se noen:

Oppgave 1

Løs følgende ligninger:

a) x ⁵ - 125 x ² = 0

b) 64 - 729 x ³ = 0

Løsning på

Først blir likningen beregnet på denne måten:

x ² (x ³ - 125) = 0

Siden 125 er en perfekt kube, er parentesene skrevet som en forskjell på terninger:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

Den første løsningen er x = 0, men vi finner mer hvis vi lager x ³ - 5 ³ = 0, da:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Løsning b

Venstre side av ligningen skrives om som 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³ . Og dermed:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Siden eksponenten er den samme:

9x = 4 → x = 9/4

Oppgave 2

Faktorer uttrykket:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Løsning

Dette uttrykket er en forskjell på terninger, hvis vi i faktorformelen legger merke til at:

a = x + y

b = x- y

Så konstrueres binomialen først:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

Og nå trinomialet:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Viktige produkter utvikles:

Deretter må du erstatte og redusere lignende vilkår:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Factoring resulterer i:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ² )

referanser

1. Baldor, A. 1974. Algebra. Redaksjonell kulturell Venezolana SA
2. Stiftelsen CK-12. Sum og forskjell på terninger. Gjenopprettet fra: ck12.org.
3. Khan Academy. Factoring av forskjeller i terninger. Gjenopprettet fra: es.khanacademy.org.
4. Matematikk er moro avansert. Forskjell på to terninger. Gjenopprettet fra: mathsisfun.com
5. UNAM. Å faktorere en forskjell på kuber. Gjenopprettet fra: dcb.fi-c.unam.mx.