Den binomial fordeling er en sannsynlighetsfordeling ved hvilken sannsynligheten for forekomsten av hendelser blir beregnet, forutsatt at de opptrer under to modaliteter: suksess eller fiasko.
Disse betegnelsene (suksess eller fiasko) er helt vilkårlige, da de ikke nødvendigvis betyr gode eller dårlige ting. I løpet av denne artikkelen vil vi indikere den matematiske formen for binomialfordelingen og deretter vil betydningen av hvert begrep bli forklart i detalj.
Figur 1. Rullen av en dyse er et fenomen som kan modelleres ved bruk av binomialfordelingen. Kilde: Pixabay.
ligningen
Ligningen er som følger:
Med x = 0, 1, 2, 3… .n, hvor:
- P (x) er sannsynligheten for å ha nøyaktig x suksesser mellom n forsøk eller forsøk.
- x er variabelen som beskriver fenomenet interesse, tilsvarende antall suksesser.
- antall forsøk
- p er sannsynligheten for å lykkes i ett forsøk
- q er sannsynligheten for å mislykkes i ett forsøk, derfor er q = 1 - p
Utropstegnet "!" brukes til fakultetnotering, så:
0! = 1
en! = 1
to! = 2,1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
Og så videre.
Konsept
Binomialfordelingen er veldig passende for å beskrive situasjoner der en hendelse oppstår eller ikke oppstår. Hvis det oppstår er det en suksess, og hvis ikke, er det en fiasko. Videre må sannsynligheten for suksess alltid forbli konstant.
Det er fenomener som passer til disse forholdene, for eksempel å kaste en mynt. I dette tilfellet kan vi si at "suksess" får et ansikt. Sannsynligheten er ½ og endres ikke, uansett hvor mange ganger mynten kastes.
Rullen til en ærlig dyse er et annet godt eksempel, i tillegg til å kategorisere en viss produksjon i gode stykker og mangelfulle brikker og få en rød i stedet for en svart når du spinner et hjul.
kjennetegn
Vi kan oppsummere egenskapene til binomialfordelingen som følger:
- Enhver hendelse eller observasjon trekkes ut fra en uendelig populasjon uten erstatning eller fra en endelig populasjon med erstatning.
- Bare to alternativer blir vurdert, gjensidig utelukkende: suksess eller fiasko, som forklart i begynnelsen.
- Sannsynligheten for suksess må være konstant i enhver observasjon som blir gjort.
- Resultatet av enhver hendelse er uavhengig av andre hendelser.
- Gjennomsnittet av den binomielle fordelingen er np
- Standardavviket er:
Søknadseksempel
La oss ta en enkel hendelse, som kan få to hoder 5 ved å rulle en ærlig dyse 3 ganger. Hva er sannsynligheten for at det i 3 kast blir oppnådd 2 hoder på 5?
Det er flere måter å oppnå dette på, for eksempel:
- De to første lanseringene er 5, og den siste er det ikke.
- Den første og den siste er 5, men ikke den midterste.
- De to siste kastene er 5 og det første gjør det ikke.
La oss ta den første sekvensen som er beskrevet som et eksempel og beregne sannsynligheten for forekomst. Sannsynligheten for å få 5 hoder på den første rullen er 1/6, og også på den andre, ettersom de er uavhengige hendelser.
Sannsynligheten for å få et annet hode enn 5 på den siste rullen er 1 - 1/6 = 5/6. Derfor er sannsynligheten for at denne sekvensen kommer ut, produktet av sannsynlighetene:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0,023
Hva med de to andre sekvensene? De har samme sannsynlighet: 0,023.
Og siden vi har totalt 3 vellykkede sekvenser, vil den totale sannsynligheten være:
Eksempel 2
Ett universitet hevder at 80% av studentene på college-basketlaget har uteksaminert. En undersøkelse undersøker den akademiske referansen til 20 studenter som tilhører det nevnte basketballaget som meldte seg inn på universitetet for en tid tilbake.
Av disse 20 studentene var 11 ferdige med studiene og 9 droppet.
Figur 2. Nesten alle studenter som spiller for høgskolelaget. Kilde: Pixabay.
Hvis universitetets uttalelse er sant, bør antallet studenter som spiller basketball og uteksaminere, av 20, ha en binomial fordeling med n = 20 og p = 0,8. Hva er sannsynligheten for at nøyaktig 11 av de 20 spillerne skal oppgradere?
Løsning
I binomialfordelingen:
Eksempel 3
Forskerne gjennomførte en studie for å avgjøre om det var signifikante forskjeller i graderingsgrad mellom medisinstudenter som ble tatt opp gjennom spesielle programmer og medisinstudenter som ble tatt opp gjennom vanlige opptakskriterier.
Konfirmasjonsgraden ble funnet å være 94% for studentleger innlagt gjennom spesielle programmer (basert på data fra Journal of the American Medical Association).
Hvis 10 av spesialprogramstudentene blir valgt tilfeldig, finn sannsynligheten for at minst 9 av dem ble uteksaminert.
b) Ville det være uvanlig å tilfeldig velge ut 10 studenter fra spesialprogrammer og oppdage at bare 7 av dem har uteksaminert?
Løsning
Sannsynligheten for at en student som blir tatt opp gjennom et spesialprogram vil oppgradere er 94/100 = 0,94. Vi velger n = 10 studenter fra spesialprogrammene, og vi vil finne ut sannsynligheten for at minst 9 av dem skal oppgradere.
Følgende verdier erstattes deretter i binomialfordelingen:
b)
referanser
- Berenson, M. 1985. Statistikk for ledelse og økonomi. Interamericana SA
- MathWorks. Binomial distribusjon. Gjenopprettet fra: es.mathworks.com
- Mendenhall, W. 1981. Statistikk for ledelse og økonomi. Tredje. utgaven. Grupo Redaksjonell Iberoamérica.
- Moore, D. 2005. Applied Basic Statistics. Andre. Edition.
- Triola, M. 2012. Elementær statistikk. 11.. Ed. Pearson Education.
- Wikipedia. Binomial distribusjon. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org