DISKRETE SANNSYNLIGHETSFORDELINGER: EGENSKAPER, ØVELSER - MATTE - 2026

De diskrete sannsynlighetsfordelingene er en funksjon som tilordner hvert element av X (S) = {x1, x2, …, xi, …}, der X er en diskret tilfeldig variabel gitt og S er prøveområdet, sannsynligheten for at nevnte hendelse inntreffer. Denne funksjonen f av X (S) definert som f (xi) = P (X = xi) kalles noen ganger sannsynlighetsmassefunksjonen.

Denne sannsynlighetsmassen er generelt representert i tabellform. Siden X er en diskret tilfeldig variabel, har X (S) et begrenset antall hendelser eller tellbar uendelig. Blant de vanligste diskrete sannsynlighetsfordelingene har vi den enhetlige fordelingen, binomialfordelingen og Poisson-fordelingen.

kjennetegn

Sannsynlighetsfordelingsfunksjonen må oppfylle følgende betingelser:

Hvis X bare tar et begrenset antall verdier (for eksempel x1, x2, …, xn), så blir p (xi) = 0 hvis i> ny, derfor blir den uendelige serien med tilstand b endelig serie.

Denne funksjonen oppfyller også følgende egenskaper:

La B være en hendelse assosiert med den tilfeldige variabelen X. Dette betyr at B er inneholdt i X (S). Anta spesifikt at B = {xi1, xi2, …}. Og dermed:

Med andre ord, sannsynligheten for en hendelse B er lik summen av sannsynlighetene for de individuelle utfallene assosiert med B.

Av dette kan vi konkludere med at hvis a <b, hendelsene (X ≤ a) og (a <X ≤ b) er gjensidig utelukkende, og dessuten er deres forening hendelsen (X ≤ b), så vi har:

typer

Ensartet fordeling over n poeng

Det sies at en tilfeldig variabel X følger en fordeling karakterisert ved å være ensartet på n punkter hvis hver verdi tildeles samme sannsynlighet. Sannsynlighetsmassefunksjonen er:

Anta at vi har et eksperiment som har to mulige utfall, det kan være kast av en mynt hvis mulige resultater er hoder eller haler, eller valget av et helt tall hvis resultat kan være et jevnt tall eller et oddetall; denne typen eksperiment er kjent som Bernoulli-tester.

Generelt kalles de to mulige resultatene suksess og fiasko, der p er sannsynligheten for suksess og 1-p er sannsynligheten for å mislykkes. Vi kan bestemme sannsynligheten for x suksesser i n Bernoulli-tester som er uavhengige av hverandre med følgende distribusjon.

Binomial distribusjon

Det er funksjonen som representerer sannsynligheten for å oppnå x suksesser i n uavhengige Bernoulli-tester, hvis sannsynlighet for suksess er p. Sannsynlighetsmassefunksjonen er:

Følgende graf representerer sannsynlighetsmassefunksjonen for forskjellige verdier av parametrene for den binomielle fordelingen.

Følgende distribusjon skylder navnet sitt til den franske matematikeren Simeon Poisson (1781-1840), som oppnådde det som grensen for binomialdistribusjonen.

Poisson distribusjon

En tilfeldig variabel X sies å ha en Poisson-fordeling av parameteren λ når den kan ta de positive heltallverdiene 0,1,2,3, … med følgende sannsynlighet:

I dette uttrykket er λ det gjennomsnittlige antallet som tilsvarer forekomstene av hendelsen for hver tidsenhet, og x er antall ganger hendelsen inntreffer.

Sannsynlighetsmassefunksjonen er:

Her er en graf som representerer sannsynlighetsmassefunksjonen for forskjellige verdier av parametrene til Poisson-fordelingen.

Merk at så lenge antallet suksesser er lavt og antallet n tester som er utført på en binomialfordeling, kan vi alltid tilnærme oss disse distribusjonene, da Poisson-distribusjonen er grensen for binomialfordelingen.

Hovedforskjellen mellom disse to fordelingene er at selv om binomialet er avhengig av to parametere, nemlig n og p, avhenger Poisson bare av λ, som noen ganger kalles distribusjonsintensiteten.

Så langt har vi bare snakket om sannsynlighetsfordelinger for tilfeller der de forskjellige eksperimentene er uavhengige av hverandre; det vil si når resultatet av en ikke påvirkes av et annet resultat.

Når det forekommer å ha eksperimenter som ikke er uavhengige, er den hypergeometriske fordelingen veldig nyttig.

Hypergeometrisk distribusjon

La N være det totale antall objekter i et begrenset sett, hvor vi kan identifisere k av disse på noen måte, og dermed danne et underett K, hvis komplement dannes av de gjenværende Nk-elementene.

Hvis vi tilfeldig velger n objekter, har den tilfeldige variabelen X som representerer antall objekter som tilhører K i nevnte valg, en hypergeometrisk fordeling av parametrene N, n og k. Sannsynlighetsmassefunksjonen er:

Følgende graf representerer sannsynlighetsmassefunksjonen for forskjellige verdier av parametrene for den hypergeometriske fordelingen.

Løste øvelser

Første øvelse

Anta at sannsynligheten for at et radiorør (plassert i en viss type utstyr) vil fungere i mer enn 500 timer er 0,2. Hvis 20 rør testes, hva er sannsynligheten for at nøyaktig k av disse vil løpe i mer enn 500 timer, k = 0, 1,2, …, 20?

Løsning

Hvis X er antall rør som jobber mer enn 500 timer, vil vi anta at X har en binomial fordeling. Så

Og så:

For k≥11 er sannsynlighetene mindre enn 0,001

Dermed kan vi observere hvordan sannsynligheten for at k av disse fungerer i mer enn 500 timer øker, til den når sin maksimale verdi (med k = 4) og deretter begynner å avta.

Andre øvelse

En mynt kastes 6 ganger. Når resultatet er dyrt, vil vi si at det er en suksess. Hva er sannsynligheten for at to hoder kommer opp nøyaktig?

Løsning

For dette tilfellet har vi at n = 6 og begge sannsynligheten for suksess og fiasko er p = q = 1/2

Derfor er sannsynligheten for at to hoder er gitt (det vil si k = 2)

Tredje øvelse

Hva er sannsynligheten for å finne minst fire hoder?

Løsning

For dette tilfellet har vi at k = 4, 5 eller 6

Tredje øvelse

Anta at 2% av varene som produseres på en fabrikk er mangelfulle. Finn sannsynligheten P for at det er tre defekte elementer i et utvalg på 100 elementer.

Løsning

I dette tilfellet kan vi bruke binomialfordelingen for n = 100 og p = 0,02 som oppnås som et resultat:

Siden p er liten, bruker vi imidlertid Poisson-tilnærmingen med λ = np = 2. Så,

referanser

1. Kai Lai Chung. Elementær proabilitetsteori med stokastiske prosesser. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Rosen. Diskret matematikk og dens applikasjoner. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paul L. Meyer. Sannsynlighet og statistiske anvendelser. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 løste problemer med diskret matematikk. McGraw-Hill.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teori- og sannsynlighetsproblemer. McGraw-Hill.