SYNTETISK INNDELING: METODE OG LØSTE ØVELSER - MATTE - 2026

Den syntetiske inndelingen er en enkel måte å dele et polynom P (x) på hvilken som helst av formen d (x) = x - c. For eksempel kan polynomet P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) representeres som multiplikasjonen av de to enkleste polynomene (x + 1) og (x ⁴ + 2x ³ ).

Det er et veldig nyttig verktøy siden det, i tillegg til at vi kan dele polynomer, også tillater oss å evaluere et polynomialt P (x) på et hvilket som helst tall c, som igjen forteller oss nøyaktig om nevnte nummer er en null av polynomet eller ikke.

Takket være divisjonsalgoritmen, vet vi at hvis vi har to ikke-konstante polynomer P (x) og d (x), er det unike polynomer q (x) og r (x) slik at det stemmer at P (x) = q (x) d (x) + r (x), der r (x) er null eller mindre enn q (x). Disse polynomene er kjent som henholdsvis kvotient og resten eller resten.

I de tilfeller polynomet d (x) er av formen x- c, gir syntetisk inndeling oss en kort måte å finne ut hvem q (x) og r (x) er.

Syntetisk divisjonsmetode

La P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ polynomet vi vil dele og d (x) = xc deleren. For å dele med den syntetiske delingsmetoden går vi som følger:

1- Vi skriver koeffisientene til P (x) i den første raden. Hvis det ikke vises noen kraft av X, setter vi null som dens koeffisient.

2- I den andre raden, til venstre for en _n, plasserer vi c, og vi tegner delingslinjer som vist på følgende figur:

3- Vi senker den ledende koeffisienten til den tredje raden.

I dette uttrykket b _n-1 = a _n

4- Vi multipliserer c med den ledende koeffisienten b _n-1 og vi skriver resultatet i den andre raden, men en kolonne til høyre.

5- Vi legger til kolonnen der vi skriver forrige resultat og plasserer resultatet under den summen; det vil si i samme kolonne, tredje rad.

Når du legger til, har vi som et resultat _n-1 + c * b _n-1 , som for enkelhets skyld vil vi kalle b _n-2

6- Vi multipliserer c med forrige resultat og skriver resultatet til høyre for den andre raden.

7- Vi gjentar trinn 5 og 6 til vi når koeffisienten på ₀ .

8- Vi skriver svaret; det vil si kvoten og resten. Siden vi deler et polynom av grad n med et polynom av grad 1, har vi at kvotienten vil være av grad n-1.

Koeffisientene til kvotientpolynomet vil være tallene i den tredje raden bortsett fra den siste, som vil være restpolynomet eller resten av divisjonen.

Løste øvelser

- Eksempel 1

Utfør følgende inndeling etter den syntetiske inndelingsmetoden:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Løsning

Vi skriver først koeffisientene for utbyttet som følger:

Så skriver vi c på venstre side, i andre rad, sammen med skillelinjene. I dette eksemplet er c = -1.

Vi senker den ledende koeffisienten (i dette tilfellet b _n-1 = 1) og multipliserer den med -1:

Vi skriver resultatet til høyre i den andre raden, som vist nedenfor:

Vi legger til tallene i den andre kolonnen:

Vi multipliserer 2 med -1 og skriver resultatet i den tredje kolonnen, andre rad:

Vi legger til i den tredje kolonnen:

Vi fortsetter på samme måte til vi kommer til den siste kolonnen:

Dermed har vi at det siste oppnådde tallet er resten av delingen, og de resterende tallene er koeffisientene til kvotientens polynom. Dette er skrevet på følgende måte:

Hvis vi ønsker å bekrefte at resultatet er riktig, er det nok til å bekrefte at følgende ligning stemmer:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Så vi kan sjekke at det oppnådde resultatet er riktig.

- Eksempel 2

Utfør følgende inndeling av polynomer etter den syntetiske divisjonsmetoden

(7x ^3- x + 2): (x + 2)

Løsning

I dette tilfellet har vi at begrepet x ² ikke vises, så vi vil skrive 0 som dens koeffisient. Dermed ville polynomet være 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Vi skriver koeffisientene deres på rad, dette er:

Vi skriver verdien til C = -2 på venstre side av den andre raden og tegner delingslinjene.

Vi senker den ledende koeffisienten b _n-1 = 7 og multipliserer den med -2, og skriver resultatet i den andre raden til høyre.

Vi legger til og fortsetter som tidligere forklart, til vi når den siste termin:

I dette tilfellet er resten r (x) = - 52 og kvoten oppnådd er q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Eksempel 3

En annen måte å bruke syntetisk inndeling er følgende: anta at vi har et polynomialt P (x) av grad n og vi vil vite hva verdien er ved å evaluere den ved x = c.

Ved delingsalgoritmen kan vi skrive polynomet P (x) på følgende måte:

I dette uttrykket er q (x) og r (x) henholdsvis kvoten og resten. Nå, hvis d (x) = x- c, når vi evaluerer ved c i polynomet får vi følgende:

Derfor gjenstår det bare å finne ar (x), og vi kan gjøre dette takket være den syntetiske inndelingen.

For eksempel har vi polynomet P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 og vi vil vite hva verdien er ved å evaluere den på x = 5. For å gjøre dette utfører vi deling mellom P (x) og d (x) = x -5 ved hjelp av den syntetiske delingsmetoden:

Når operasjonene er fullført, vet vi at vi kan skrive P (x) på følgende måte:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Derfor, når vi evaluerer det, må vi:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Som vi ser, er det mulig å bruke syntetisk inndeling for å finne verdien av et polynom ved å evaluere det ved c i stedet for bare å erstatte c for x.

Hvis vi prøvde å evaluere P (5) på tradisjonell måte, ville vi blitt tvunget til å utføre noen beregninger som ofte blir kjedelige.

- Eksempel 4

Delingsalgoritmen for polynomer stemmer også for polynomier med komplekse koeffisienter, og som en konsekvens har vi at den syntetiske delingsmetoden også fungerer for slike polynomer. Vi vil se et eksempel nedenfor.

Vi vil bruke den syntetiske delingsmetoden for å vise at z = 1+ 2i er en null av polynomet P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); det vil si at resten av divisjonen P (x) med d (x) = x - z er lik null.

Vi fortsetter som før: i den første raden skriver vi koeffisientene til P (x), deretter i den andre skriver vi z og tegner delingslinjene.

Vi gjennomfører divisjonen som før; dette er:

Vi kan observere at resten er null; derfor konkluderer vi at z = 1+ 2i er et null på P (x).

referanser

1. Baldor Aurelio. algebra Grupo Redaksjonelle Patria.
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy. Precalculus: Grafisk, numerisk, algebraisk 7. ed. Pearson-utdanning.
3. Flemming W & Varserg D. Algebra and Trigonometry with Analytical Geometry. Prentice hall
4. Michael Sullivan. Precalculus 4. utg. Pearson Education.
5. Rød. Armando O. Algebra 1 6. utg. The Athenaeum.