DOMENET OG KONTRADOMENET TIL EN FUNKSJON (MED EKSEMPLER) - MATTE - 2025

Begrepene domene og motdomenet til en funksjon blir ofte undervist i kalkuluskurs som blir undervist i begynnelsen av universitetsgrader.

Før du definerer domenet og kontradomenet, må du vite hva en funksjon er. En funksjon f er en lov (regel) om korrespondanse laget mellom elementene i to sett.

Settet som elementene velges fra kalles funksjonens domene, og settet som elementene sendes til f fra kalles motdomenet.

I matematikk er en funksjon med domene A og motdomenet B betegnet med uttrykket f: A → B.

Det forrige uttrykket sier at elementene i sett A blir sendt til sett B etter korrespondanseloven f.

En funksjon tildeler hvert element i sett A et enkelt element i sett B.

Domenet og kontradomenet

Gitt en reell funksjon av en reell variabel f ​​(x), har vi at domenet til funksjonen vil være alle disse reelle tallene slik at når de evalueres i f, er resultatet et reelt tall.

Generelt er motdomenet til en funksjon settet med reelle tall R. Motdomene kalles også ankomstsetet eller kodomainet til funksjonen f.

Er kontradomenet til en funksjon alltid R?

Nei. Så lenge funksjonen ikke er studert i detalj, blir settet med reelle tall R vanligvis sett som et motdomene.

Men når funksjonen er studert, kan et mer passende sett tas som et motdomene, som vil være en undergruppe av R.

Det riktige settet som ble nevnt i forrige avsnitt stemmer med bildet av funksjonen.

Definisjonen av bildet eller området til en funksjon f refererer til alle verdiene som kommer fra å evaluere et element av domenet i f.

eksempler

Følgende eksempler illustrerer hvordan du beregner domenet til en funksjon og dets bilde.

Eksempel 1

La f være en reell funksjon definert av f (x) = 2.

Domenet til f er alle reelle tall slik at når de vurderes til f, er resultatet et reelt tall. Kontradomenet for øyeblikket er lik R.

Siden den gitte funksjonen er konstant (alltid lik 2), spiller det ingen rolle hvilket reelt tall som er valgt, siden når du evaluerer den i f vil resultatet alltid være lik 2, som er et reelt tall.

Derfor er domenet til den gitte funksjonen alle reelle tall; det vil si, A = R.

Nå som det er kjent at resultatet av funksjonen alltid er lik 2, har vi at bildet av funksjonen bare er tallet 2, derfor kan motdomenet til funksjonen omdefineres som B = Img (f) = {to}.

Derfor, f: R → {2}.

Eksempel 2

La g være en reell funksjon definert av g (x) = √x.

Så lenge bildet av g ikke er kjent, er kontradomenet til g B = R.

Med denne funksjonen må det tas med i betraktningen at kvadratrotene bare er definert for ikke-negative tall; det vil si for tall større enn eller lik null. For eksempel er √-1 ikke et reelt tall.

Derfor må domenet til funksjonen g være alle tall større enn eller lik null; det vil si x ≥ 0.

Derfor er A = [0, + ∞).

For å beregne området skal det bemerkes at ethvert resultat av g (x), fordi det er en kvadratrot, alltid vil være større enn eller lik null. Det vil si B = [0, + ∞).

Avslutningsvis, g: [0, + ∞) → [0, + ∞).

Eksempel 3

Hvis vi har funksjonen h (x) = 1 / (x-1), har vi at denne funksjonen ikke er definert for x = 1, siden vi i nevneren ville få null og divisjonen med null ikke er definert.

På den annen side vil resultatet for alle andre reelle verdier være et reelt tall. Derfor er domenet alle realer bortsett fra ett; det vil si A = R \ {1}.

På samme måte kan det observeres at den eneste verdien som ikke kan oppnås som et resultat er 0, for at en brøkdel skal være lik null, må telleren være null.

Derfor er bildet av funksjonen settet av alle realer bortsett fra null, så B = R \ {0} blir tatt som et contradomain.

Avslutningsvis, h: R \ {1} → R \ {0}.

observasjoner

Domenet og bildet trenger ikke å være det samme settet, som demonstrert i eksempel 1 og 3.

Når en funksjon graferes på det kartesiske planet, er domenet representert av X-aksen og motdomene eller området er representert av Y-aksen.

referanser

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus Matematikk. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematikk: en problemløsende tilnærming (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 utg.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plane Analytical Geometry. Mérida - Venezuela: Redaksjonell Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Precalculation. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Kalkulus (niende utg.). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differensialberegning med tidlige transcendente funksjoner for Science and Engineering (Andre utgave utg.). Hypotenusen.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Del: Analytical Conics (1907) (reprint ed.). Lynkilde.
10. Sullivan, M. (1997). Precalculation. Pearson Education.