POLYNOM LIGNINGER (MED ØVELSER LØST) - MATTE - 2026

De polynomlikninger er en uttalelse som øker likhet av to uttrykk eller medlemmer, hvor den minst ene av de vilkår som utgjør opp på hver side av likhets er polynomer P (x). Disse ligningene er navngitt i henhold til graden av variabler.

Generelt er en ligning en uttalelse som fastslår likheten mellom to uttrykk, der det i minst en av disse er ukjente mengder, som kalles variabler eller ukjente. Selv om det er mange typer ligninger, klassifiseres de generelt i to typer: algebraisk og transcendent.

Polynomligninger inneholder bare algebraiske uttrykk, som kan ha en eller flere ukjente involvert i ligningen. I henhold til eksponenten (graden) de har, kan de klassifiseres som: første grad (lineær), andre grad (kvadratisk), tredje grad (kubikk), fjerde grad (kvartal), grad større enn eller lik fem og irrasjonell.

kjennetegn

Polynomiske ligninger er uttrykk som dannes av en likhet mellom to polynomer; det vil si ved de endelige summer av multiplikasjoner mellom verdier som er ukjente (variabler) og faste tall (koeffisienter), der variablene kan ha eksponenter, og deres verdi kan være et positivt heltall, inkludert null.

Eksponentene bestemmer graden eller typen av ligningen. Begrepet i uttrykket med den høyeste eksponenten vil representere den absolutte graden av polynomet.

Polynomligninger er også kjent som algebraiske ligninger, koeffisientene deres kan være reelle eller komplekse tall, og variablene er ukjente tall representert med en bokstav, for eksempel: "x".

Hvis man erstatter en verdi med variabelen "x" i P (x), er resultatet lik null (0), da sies den verdien å tilfredsstille ligningen (det er en løsning), og det kalles vanligvis roten til polynomet.

Når du utvikler en polynomligning vil du finne alle røttene eller løsningene.

typer

Det er flere typer polynomligninger, som er differensiert i henhold til antall variabler, og også etter graden av eksponenten deres.

Dermed kan polynomenes ligninger - der den første termen er et polynom som har et enkelt ukjent - tatt i betraktning at graden kan være et hvilket som helst naturlig tall (n) og den andre termen er null-, kan uttrykkes som følger:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Hvor:

- a _n, a _n-1 og ₀ er reelle koeffisienter (tall).

- a _n er forskjellig fra null.

- Eksponenten n er et positivt heltall som representerer ligningens grad.

- x er variabelen eller ukjent som skal søkes.

Den absolutte eller større grad av en polynomligning er eksponenten med den høyeste verdien blant alle de som danner polynomet; Derfor er likningene klassifisert som:

Første klasse

Polynomligningene i første grad, også kjent som lineære ligninger, er de der graden (den største eksponenten) er lik 1, polynomet er av formen P (x) = 0; y er sammensatt av en lineær term og en uavhengig. Det skrives som følger:

øks + b = 0.

Hvor:

- a og b er reelle tall og a ≠ 0.

- øks er den lineære termen.

- b er det uavhengige begrepet.

For eksempel er ligningen 13x - 18 = 4x.

For å løse lineære ligninger, må alle begrepene som inneholder det ukjente x sendes til den ene siden av likheten, og de som ikke har de flytter til den andre siden, for å løse det og få en løsning:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Dermed har den gitte ligningen bare en løsning eller rot, som er x = 2.

Andre klasse

Andregrads polynomligninger, også kjent som kvadratiske ligninger, er de der graden (den største eksponenten) er lik 2, polynomet er av formen P (x) = 0, og består av et kvadratisk begrep , en lineær og en uavhengig. Det uttrykkes som følger:

øks ² + bx + c = 0.

Hvor:

- a, b og c er reelle tall og a ≠ 0.

- øks ² er det kvadratiske uttrykket, og "a" er koeffisienten for det kvadratiske uttrykket.

- bx er den lineære termen, og "b" er koeffisienten for den lineære termen.

- c er det uavhengige begrepet.

Løsemiddel

Generelt er løsningen på denne typen ligninger gitt ved å tømme x fra ligningen, og det er som følger, som kalles resolvent:

Der, (b ² - 4ac) kalles diskriminerende for ligningen og dette uttrykket bestemmer antall løsninger som ligningen kan ha:

- Hvis (b ² - 4ac) = 0, vil ligningen ha en enkelt løsning som er dobbelt; det vil si at den vil ha to like løsninger.

- Hvis (b ² - 4ac)> 0, vil ligningen ha to forskjellige reelle løsninger.

- Hvis (b ² - 4ac) <0, har likningen ingen løsning (den vil ha to forskjellige komplekse løsninger).

For eksempel har vi ligningen 4x ² + 10x - 6 = 0, for å løse den, identifiser først begrepene a, b og c, og deretter erstatte den i formelen:

a = 4

b = 10

c = -6.

Det er tilfeller der andre gradens polynomligninger ikke har alle tre begrepene, og det er derfor de løses annerledes:

- I tilfelle at de kvadratiske ligningene ikke har den lineære betegnelsen (det vil si b = 0), vil ligningen uttrykkes som øks ² + c = 0. For å løse den, løse for x ² og bruke kvadratrotene i hvert element , og husker at de to mulige tegnene til at det ukjente kan ha, må vurderes:

øks ² + c = 0.

x ² = - c ÷ a

For eksempel 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Når den kvadratiske ligningen ikke har et uavhengig begrep (det vil si c = 0), vil ligningen uttrykkes som øks ² + bx = 0. For å løse den må vi ta den felles faktoren til det ukjente x i det første medlemmet; Siden ligningen er lik null, er det riktig at minst en av faktorene vil være lik 0:

øks ² + bx = 0.

x (aks + b) = 0.

Dermed må du:

x = 0.

x = -b ÷ a.

For eksempel: vi har ligningen 5x ² + 30x = 0. Først faktorer vi:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Det genereres to faktorer som er xy (5x + 30). Det anses at en av disse vil være lik null og den andre løses:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Høyeste karakter

Polynomligninger av høyere grad er de som går fra tredje grad og fremover, som kan uttrykkes eller løses med den generelle polynomligningen for enhver grad:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Dette brukes fordi en ligning med en grad som er større enn to, er et resultat av faktorisering av et polynom; det vil si at det uttrykkes som multiplikasjon av polynomer i grad én eller større, men uten reelle røtter.

Løsningen av disse typer ligninger er direkte, fordi multiplikasjonen av to faktorer vil være lik null hvis noen av faktorene er null (0); Derfor må hver av de funnet polynomligningene løses, idet hver av faktorene deres blir lik null.

For eksempel har vi tredjegradsligningen (kubikk) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. For å løse den, må følgende trinn følges:

- Vilkårene er gruppert:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ² ) + (4x + 4) = 0.

- Medlemmene blir dekomponert for å få den vanlige faktoren til det ukjente:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- På denne måten oppnås to faktorer, som må være lik null:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Det kan sees at faktoren (x ² + 4) = 0 ikke vil ha en reell løsning, mens faktoren (x + 1) = 0 gjør det. Så løsningen er:

(x + 1) = 0

x = -1.

Løste øvelser

Løs følgende ligninger:

Første øvelse

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Løsning

I dette tilfellet blir ligningen uttrykt som multiplikasjon av polynomer; det vil si at det er faktorisert. For å løse det, må hver faktor settes lik null:

- 2x ² + 5 = 0, det har ingen løsning.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Dermed har den gitte ligningen to løsninger: x = 3 og x = -1.

Andre øvelse

x ⁴ - 36 = 0.

Løsning

Det ble gitt et polynomium, som kan skrives om som en forskjell på firkanter for å komme frem til en raskere løsning. Således er ligningen:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

For å finne løsningen av likningene, settes begge faktorene lik null:

(x ² + 6) = 0, den har ingen løsning.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

Dermed har den første ligningen to løsninger:

x = √6.

x = - √6.

referanser

1. Andres, T. (2010). Matematisk Olympiad Tresure. Springer. New York.
2. Angel, AR (2007). Elementær algebra. Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Lineær algebra og projektiv geometri. Courier Corporation.
4. Baldor, A. (1941). Algebra. Havana: Kultur.
5. Castaño, HF (2005). Matematikk før beregning. University of Medellin.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Olympic Preparation Mathematics Manual. Jaume I. universitet
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Høyere Algebra I.
8. Massara, NC-L. (nitten nitti fem). Matematikk 3.