VANLIG FAKTOR VED GRUPPERING AV BEGREP: EKSEMPLER, ØVELSER - MATTE - 2026

Den vanlige faktoren ved å gruppere begreper er en algebraisk prosedyre som lar deg skrive noen algebraiske uttrykk i form av faktorer. For å oppnå dette målet, må du først gruppere uttrykket ordentlig og observere at hver gruppe som er dannet, faktisk har en felles faktor.

Å bruke teknikken riktig krever litt trening, men på kort tid mestrer du den. La oss først se på et illustrerende eksempel beskrevet trinn for trinn. Da kan leseren anvende det de har lært i hver av øvelsene som vil vises senere.

Figur 1. Å ta en felles faktor ved å gruppere begreper gjør det lettere å jobbe med algebraiske uttrykk. Kilde: Pixabay.

Anta for eksempel at du må faktorere følgende uttrykk:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Dette algebraiske uttrykket består av 4 monomier eller termer, atskilt med + og - tegn, nemlig:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

Når du ser nøye, er x felles for de tre første, men ikke den siste, mens y er felles for den andre og fjerde, og z er vanlig for den tredje og fjerde.

Så i prinsippet er det ingen felles faktor for de fire begrepene samtidig, men hvis de er gruppert slik det vil bli vist i neste avsnitt, er det mulig at det dukker opp en som hjelper til med å skrive uttrykket som produktet av to eller flere faktorer.

eksempler

Faktorer uttrykket: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Trinn 1 : Gruppe

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Trinn 2: Finn den vanlige faktoren for hver gruppe

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Jeg er viktig : det negative tegnet er også en vanlig faktor som må tas med i betraktningen.

Merk nå at parentesene (x + y) gjentas i de to begrepene som er oppnådd ved gruppering. Det er den vanlige faktoren som ble søkt.

Trinn 3: Faktorer hele uttrykket

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Med det forrige resultatet har man oppnådd målet om faktorer, som er ingen ringere enn å transformere et algebraisk uttrykk basert på tillegg og subtraksjoner av termer, til et produkt av to eller flere faktorer, i vårt eksempel, av: (x + y) og (2x - 3z).

Viktige spørsmål om den vanlige faktoren ved å gruppere

Spørsmål 1 : Hvordan vite at resultatet er riktig?

Svar : Distribusjonsegenskapen blir brukt på oppnådd resultat, og etter å ha redusert og forenklet må uttrykket oppnådd sammenfalle med originalen, hvis ikke, er det en feil.

I forrige eksempel jobber vi omvendt med resultatet for å sjekke at det er riktig:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Ettersom rekkefølgen på tilleggene ikke endrer summen, etter at fordelingsegenskapen er brukt, returneres alle de opprinnelige vilkårene, tegn inkludert, derfor er faktoriseringen riktig.

Spørsmål 2: Kan det ha vært gruppert på en annen måte?

Svar: Det er algebraiske uttrykk som tillater mer enn en form for gruppering og andre som ikke gjør det. I det valgte eksemplet kan leseren prøve andre muligheter på egen hånd, for eksempel gruppere seg slik:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

Og du kan sjekke at resultatet er det samme som det ble oppnådd her. Å finne den optimale grupperingen er et spørsmål om praksis.

Spørsmål 3: Hvorfor er det nødvendig å ta en felles faktor fra et algebraisk uttrykk?

Svar : Fordi det er applikasjoner der det faktorerte uttrykket letter beregningene. Anta for eksempel at du vil stille inn 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy lik 0. Hva er mulighetene?

For å svare på dette spørsmålet er den fakturerte versjonen mye mer nyttig enn den opprinnelige utviklingen i termer. Det sies slik:

(x + y) (2x - 3z) = 0

En mulighet for at uttrykket er verdt 0 er at x = -y, uavhengig av verdien av z. Og den andre er at x = (3/2) z, uavhengig av verdien av y.

Øvelser

- Oppgave 1

Trekk ut en felles faktor for følgende uttrykk ved å gruppere begreper:

øks + ay + bx + av

Løsning

De to første er gruppert, med den felles faktoren "a" og de to siste med den vanlige faktoren "b":

øks + ay + bx + av = a (x + y) + b (x + y)

Når dette er gjort, blir en ny felles faktor avslørt, som er (x + y), slik at:

øks + ay + bx + av = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

En annen måte å gruppere seg på

Dette uttrykket støtter en annen måte å gruppere seg på. La oss se hva som skjer hvis begrepene er omorganisert og en gruppe blir laget med de som inneholder x og en annen med de som inneholder y:

øks + ay + bx + av = aks + bx + ay + av = x (a + b) + y (a + b)

På denne måten er den nye vanlige faktoren (a + b):

øks + ay + bx + av = aks + bx + ay + av = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Noe som fører til samme resultat fra den første grupperingen som ble testet.

- Oppgave 2

Følgende algebraiske uttrykk kreves skrevet som et produkt av to faktorer:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Løsning

Dette uttrykket inneholder 6 begreper. La oss prøve å gruppere første og fjerde, andre og tredje og til slutt femte og sjette:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Nå er hver parentes beregnet:

= (3a ^3- a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

Ved første øyekast ser det ut til at situasjonen har vært komplisert, men leseren skal ikke bli motløs, siden vi kommer til å omskrive det siste begrepet:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

De to siste begrepene har nå en felles faktor, som er (3b-a), slik at de kan tas i betraktning. Det er veldig viktig å ikke miste synet av første termin a ² (3a - 1), som må fortsette å følge med alt som tillegg, selv om du ikke jobber med det:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Uttrykket er redusert til to begreper, og en ny felles faktor blir oppdaget i den siste, som er "b". Nå gjenstår det:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Den neste vanlige faktoren som dukker opp er 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Eller hvis du foretrekker uten parenteser:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

Kan leseren finne en annen måte å gruppere seg på som fører til samme resultat?

Figur 2. Foreslåtte faktoringsøvelser. Kilde: F. Zapata.

referanser

1. Baldor, A. 1974. Elementær algebra. Kulturelle Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Hovedsaker om factoring. Gjenopprettet fra: julioprofe.net.
4. UNAM. Grunnleggende matematikk: Faktorisering ved gruppering av begreper. Fakultet for regnskap og administrasjon.
5. Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. MacGraw Hill.