FACTORING: METODER OG EKSEMPLER - MATTE - 2025

Den faktorisering er en metode ved hvilken et polynom er uttrykt som multiplikasjonsfaktorer, som kan være tall eller bokstaver eller begge deler. For å faktorere er faktorene som er felles for begrepene gruppert sammen, og på denne måten blir polynomet spaltet ned i flere polynomer.

Så når faktorene multipliseres sammen, er resultatet det opprinnelige polynomet. Factoring er en veldig nyttig metode når du har algebraiske uttrykk, fordi den kan konverteres til multiplikasjon av flere enkle begrep; for eksempel: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Det er tilfeller der et polynom ikke kan tas i betraktning fordi det ikke er noen felles faktor mellom begrepene; Dermed kan disse algebraiske uttrykkene deles bare av seg selv og med 1. For eksempel: x + y + z.

I et algebraisk uttrykk er den vanlige faktoren den største fellesdeleren av begrepene som utgjør den.

Factoring metoder

Det er flere faktoreringsmetoder som brukes avhengig av tilfelle. Noen av disse er som følger:

Faktorering etter vanlig faktor

I denne metoden identifiseres de vanlige faktorene; det vil si de som gjentas i uttrykket. Deretter blir fordelingsegenskapene brukt, den største fellesdeleren blir tatt, og fabrikkeringen er fullført.

Med andre ord identifiseres den vanlige faktoren for uttrykket, og hvert begrep deles av det; De resulterende begrepene vil bli multiplisert med den største fellesdeleren for å uttrykke faktoriseringen.

Eksempel 1

Faktor (b ² x) + (b ² y).

Løsning

Først finner du den felles faktoren for hvert begrep, som i dette tilfellet er b ² , og deler deretter begrepene med den felles faktoren på følgende måte:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Faktoriseringen uttrykkes ved å multiplisere den felles faktoren med de resulterende begrepene:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Eksempel 2

Faktor (2a ² b ³ ) + (3ab ² ).

Løsning

I dette tilfellet har vi to faktorer som gjentas i hvert begrep som er "a" og "b", og som blir hevet til en makt. For å faktorere dem blir de to begrepene først spaltet i sin lange form:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Det kan sees at faktor "a" gjentas bare en gang i andre termin, og faktor "b" gjentas to ganger i dette; så i det første begrepet gjenstår bare 2, en faktor "a" og en faktor "b"; mens det i andre periode bare er 3 igjen.

Derfor blir tidene som "a" og "b" gjentas skrevet og ganget med faktorene som er til overs fra hvert begrep, som vist på bildet:

Gruppering factoring

Ettersom ikke i alle tilfeller den største fellesdeleren av et polynom er tydelig uttrykt, er det nødvendig å gjøre andre skritt for å kunne omskrive polynomet og dermed faktor.

Et av disse trinnene er å gruppere begrepene til polynomet i flere grupper, og deretter bruke den vanlige faktormetoden.

Eksempel 1

Faktor ac + bc + annonse + bd.

Løsning

Det er fire faktorer der to er vanlige: i den første termen er det «c», og i den andre er det «d». På denne måten er de to begrepene gruppert og separert:

(ac + bc) + (annonse + bd).

Nå er det mulig å bruke den vanlige faktormetoden, dele hvert begrep med sin felles faktor og deretter multiplisere den vanlige faktoren med de resulterende begrepene, som denne:

(ac + bc) / c = a + b

(annonse + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Nå får vi en binomial som er vanlig for begge begrepene. For å faktorere det multipliseres det med de gjenværende faktorene; på den måten må du:

ac + bc + annonse + bd = (c + d) _* (a + b).

Inspeksjon factoring

Denne metoden brukes til å faktorere kvadratiske polynomer, også kalt trinomialer; det vil si de som er strukturert som ax ² ± bx + c, der verdien til “a” er forskjellig fra 1. Denne metoden brukes også når trinomialet har formen x ² ± bx + c og verdien av “a” = 1.

Eksempel 1

Faktor x ² + 5x + 6.

Løsning

Vi har en kvadratisk trinomial av formen x ² ± bx + c. For å faktorere det, må du først finne to tall som, når multiplisert, gir som resultat verdien av «c» (det vil si 6) og at summen deres er lik koeffisienten «b», som er 5. Disse tallene er 2 og 3 :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Dermed er uttrykket forenklet slik:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Hvert begrep er innarbeidet:

- For (x ² + 2x) blir det vanlige uttrykket tatt: x (x + 2)

- For (3x + 6) = 3 (x + 2)

Dermed er uttrykket:

x (x +2) + 3 (x +2).

Siden vi har en binomial til felles, for å redusere uttrykket, multipliserer vi dette med de resterende begrepene, og vi må:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Eksempel 2

Faktor 4a ² + 12a + 9 = 0.

Løsning

Vi har en kvadratisk trinomial av formen ax ² ± bx + cy for å faktorere den, multiplisere hele uttrykket med koeffisienten x ² ; i dette tilfellet, 4.

4a ² + 12a +9 = 0

4a ² (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Nå må vi finne to tall som, når multiplisert med hverandre, gir som et resultat verdien av "c" (som er 36) og som når de legges sammen gir som resultat koeffisienten til uttrykket "a", som er 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

På denne måten skrives uttrykket om under hensyntagen til at 4 ² a ² = 4a _* 4a. Derfor gjelder distribusjonsegenskapen for hvert begrep:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Til slutt er uttrykket delt med koeffisienten til en ² ; det vil si 4:

(4. + 6) _* (4. + 6) / 4 = ((4. + 6) / 2) _* ((4. + 6) / 2).

Uttrykket er som følger:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Factoring med bemerkelsesverdige produkter

Det er tilfeller hvor det blir en veldig lang prosess for å faktorisere polynomene med metodene ovenfor.

Derfor kan et uttrykk utvikles med formlene for de bemerkelsesverdige produktene, og prosessen blir dermed enklere. Blant de mest brukte merkevarene er:

- Forskjell på to firkanter: (a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

- Perfekt firkant av en sum: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Perfekt firkant av forskjellen: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Forskjell på to terninger: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

- Summen av to terninger: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ² )

Eksempel 1

Faktor (5 ² - x ² )

Løsning

I dette tilfellet er det en forskjell på to firkanter; derfor gjelder den bemerkelsesverdige produktformelen:

(a ² - b ² ) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ² ) = (5 - x) _* (5 + x)

Eksempel 2

Faktor 16x ² + 40x + 25 ²

Løsning

I dette tilfellet har du en perfekt kvadrat av en sum, fordi du kan identifisere to termer i kvadratet, og begrepet som gjenstår er resultatet av å multiplisere to med kvadratroten til den første termen, med kvadratroten til den andre termen.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

For å faktorere bare kvadratrøttene til første og tredje begrep:

√ (16x ² ) = 4x

√ (25 ² ) = 5.

Deretter blir de to resulterende begrepene uttrykt atskilt med tegnet på operasjonen, og hele polynomet er kvadratisk:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ² .

Eksempel 3

Faktor 27a ³ - b ³

Løsning

Uttrykket representerer en subtraksjon der to faktorer er kuberte. For å faktorere dem brukes formelen for det bemerkelsesverdige produktet med forskjellen på terninger, som er:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ² )

For å faktorere blir kubusroten til hver term i binomialet tatt og multiplisert med kvadratet for den første termen, pluss produktet fra den første med den andre termen, pluss den andre termen i kvadratet.

27a ³ - b ³

³√ (27a ³ ) = 3a

³√ (-b ³ ) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ² )

Factoring med Ruffinis regel

Denne metoden brukes når du har en polynom av grad større enn to, for å forenkle uttrykket til flere polynomer i mindre grad.

Eksempel 1

Faktor Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Løsning

Først ser vi etter tallene som er divisorer på 12, som er det uavhengige begrepet; Disse er ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 og ± 12.

Deretter erstattes x av disse verdiene, fra laveste til høyeste, og dermed blir det bestemt med hvilke av verdiene inndelingen vil være nøyaktig; det vil si at resten må være 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

Og så videre for hver divisor. I dette tilfellet er faktorene som er funnet for x = -1 og x = 2.

Nå brukes Ruffini-metoden, hvorved koeffisientene til uttrykket blir delt med faktorene som er funnet slik at inndelingen er nøyaktig. Polynomiske begrepene er bestilt fra høyeste til laveste eksponent; i tilfelle at et begrep med neste grad mangler i sekvensen, blir en 0 plassert på sin plass.

Koeffisientene er plassert i et skjema som vist på bildet nedenfor.

Den første koeffisienten senkes og multipliseres med deleren. I dette tilfellet er den første divisoren -1, og resultatet blir plassert i den neste kolonnen. Deretter tillegges verdien av koeffisienten med det resultatet som ble oppnådd vertikalt, og resultatet blir plassert under. På denne måten gjentas prosessen til siste kolonne.

Deretter gjentas samme prosedyre igjen, men med den andre divisoren (som er 2) fordi uttrykket fremdeles kan forenkles.

For hver rot oppnådd vil polynomet derfor ha en betegnelse (x - a), der "a" er verdien av roten:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

På den annen side må disse begrepene multipliseres med resten av Ruffinis regel 1: 1 og -6, som er faktorer som representerer en grad. På denne måten er uttrykket som dannes: (x ² + x - 6).

Å oppnå resultatet av faktoriseringen av polynomet ved hjelp av Ruffini-metoden er:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

Til slutt kan polynomet i grad 2 som vises i det forrige uttrykket, skrives om som (x + 3) (x-2). Derfor er den endelige faktoriseringen:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

referanser

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra og trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Hvordan lære barn om faktorering av et polynom.
3. Manuel Morillo, AS (sf). Grunnleggende matematikk med applikasjoner.
4. Roelse, PL (1997). Lineære metoder for polynomfaktorisering over endelige felt: teori og implementeringer. Universität Essen.
5. Sharpe, D. (1987). Ringer og faktorisering.