DELVIS BRØK: SAKER OG EKSEMPLER - MATTE - 2025

De delvise fraksjoner er fraksjoner dannet av polynomer, hvor nevneren kan være en lineær eller kvadratisk polynom, og i tillegg kan den heves til en viss kraft. Noen ganger når vi har rasjonelle funksjoner, er det veldig nyttig å omskrive denne funksjonen som en sum av delvise fraksjoner eller enkle brøker.

Dette er fordi vi på denne måten kan manipulere disse funksjonene på en bedre måte, spesielt i tilfeller der det er nødvendig å integrere nevnte applikasjon. En rasjonell funksjon er ganske enkelt kvotienten mellom to polynomer, og de kan være riktige eller upassende.

Hvis graden av polynomet til telleren er mindre enn nevneren, kalles det en rasjonell riktig funksjon; Ellers er det kjent som en feil rasjonell funksjon.

Definisjon

Når vi har en uriktig rasjonell funksjon, kan vi dele polynomet til telleren med nevnerens polynom og dermed omskrive brøkdelen p (x) / q (x), etter delingsalgoritmen som t (x) + s (x) / q (x), hvor t (x) er et polynom og s (x) / q (x) er en riktig rasjonell funksjon.

En delfraksjon er en hvilken som helst riktig funksjon av polynomier, hvis nevner er av formen (aks + b) ⁿ eller (øks ² + bx + c) ⁿ , hvis polynomet aks ² / bx + c ikke har reelle røtter og n er et tall naturlig.

For å omskrive en rasjonell funksjon i delvise brøk, er det første du må gjøre å nevne nevneren q (x) som et produkt av lineære og / eller kvadratiske faktorer. Når dette er gjort, bestemmes de delvise fraksjonene, som avhenger av arten av disse faktorene.

Saker

Vi vurderer flere saker hver for seg.

Sak 1

Faktorene til q (x) er alle lineære og ingen gjentas. Det er å si:

q (x) = (a ₁ x + b ₁ ) (a ₂ x + b ₂ ) … (a _s x + b _s )

Ingen lineær faktor er identisk med en annen. Når denne saken oppstår, vil vi skrive:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ ) … + A _s / (a _s x + b _s ).

Hvor A ₁ , A ₂ , …, A _s er konstantene å bli funnet.

Eksempel

Vi ønsker å dekomponere den rasjonelle funksjonen i enkle brøker:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

Vi fortsetter med å faktorere nevneren, det vil si:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

Deretter:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

Ved å bruke minst vanlige multiplum, kan det oppnås at:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

Vi ønsker å oppnå verdiene til konstantene A, B og C, som kan bli funnet ved å erstatte røttene som avbryter hver av begrepene. Ved å erstatte 0 for x har vi:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2.

Å erstatte - 1 for x har vi:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).

- 2 = - B

B = 2.

Å erstatte - 2 for x har vi:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).

–3 = 2C

C = –3/2.

På denne måten oppnås verdiene A = –1/2, B = 2 og C = –3/2.

Det er en annen metode for å oppnå verdiene til A, B og C. Hvis på høyre side av ligningen x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x vi kombinerer begreper, vi har:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A.

Siden dette er en likeverdighet av polynomer, har vi at koeffisientene på venstre side må være lik de på høyre side. Dette resulterer i følgende ligningssystem:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

Løsning av dette ligningssystemet oppnår vi resultatene A = –1/2, B = 2 og C = -3/2.

Til slutt ved å erstatte de oppnådde verdiene har vi at:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2)).

Sak 2

Faktorene til q (x) er alle lineære, og noen gjentas. Anta at (ax + b) er en faktor som gjentar "s" ganger; til denne faktoren tilsvarer summen av «s» delvise fraksjoner.

A _s / (øks + b) ^s + A _s-1 / (øks + b) ^s-1 +… + A ₁ / (øks + b).

Hvor A _s , A _s-1 , …, A ₁ er konstantene som skal bestemmes. Med følgende eksempel vil vi vise hvordan du kan bestemme disse konstantene.

Eksempel

Nedbryt i delvise fraksjoner:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

Vi skriver den rasjonelle funksjonen som en sum av delvise brøk som følger:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2 ).

Deretter:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

Ved å erstatte 2 for x, har vi det:

7 = 4C, det vil si C = 7/4.

Ved å erstatte 0 for x har vi:

- 1 = –8A eller A = 1/8.

Ved å erstatte disse verdiene i forrige ligning og utvikle, har vi at:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

Tilsvarende koeffisienter oppnår vi følgende ligningssystem:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0.

Løsning av systemet har vi:

B = 3/16; D = 5/4; E = - 3/16.

For dette må vi:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2).

Sak 3

Faktorene til q (x) er lineære kvadratiske, uten noen gjentatte kvadratiske faktorer. I dette tilfellet vil den kvadratiske faktoren (øks ² + bx + c) tilsvare den delvise fraksjon (Ax + B) / (øks ² + bx + c), der konstantene A og B er de som skal bestemmes.

Følgende eksempel viser hvordan du går frem i dette tilfellet

Eksempel

Nedbryt i enkle brøk a (x + 1) / (x ³ - 1).

Først fortsetter vi med å faktorere nevneren, noe som gir oss som et resultat:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1).

Vi kan observere at (x ² + x + 1) er et irredusibelt kvadratisk polynom; det vil si at den ikke har reelle røtter. Dens spaltning i delvise fraksjoner vil være som følger:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

Fra dette får vi følgende ligning:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

Ved å bruke likestilling av polynomer oppnår vi følgende system:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

Fra dette systemet har vi at A = 2/3, B = - 2/3 og C = 1/3. Å erstatte, har vi det:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1).

Sak 4

Til slutt er tilfelle 4 den der faktorene til q (x) er lineære og kvadratiske, hvor noen av de lineære kvadratiske faktorene gjentas.

I dette tilfellet, hvis (aks ² + bx + c) er en kvadratisk faktor som gjentar "s" ganger, vil delfraksjonen som tilsvarer faktoren (aks ² + bx + c) være:

(A ₁ x + B) / (aks ² + bx + c) + … + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (aks ² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (øks ² + bx + c) ^s

Hvor A _s , A _s-1 , …, A og B _s , B _s-1 , …, B er konstantene som skal bestemmes.

Eksempel

Vi ønsker å dekomponere følgende rasjonelle funksjon i delvise fraksjoner:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

Siden x ² - 4x + 5 er en irreducerbar kvadratisk faktor, har vi at dens spaltning i delvise fraksjoner er gitt av:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

Forenkle og utvikle har vi:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A.

Fra det ovenstående har vi følgende ligningssystem:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

Når vi løser systemet, sitter vi igjen med:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 og E = - 3/5.

Ved å erstatte de oppnådde verdiene har vi:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

applikasjoner

Integrert kalkyle

Delvise fraksjoner brukes først og fremst til studier av integrert kalkulatur. Her er noen eksempler på hvordan du utfører integraler ved bruk av delvise brøk.

Eksempel 1

Vi ønsker å beregne integralen av:

Vi kan se at nevneren q (x) = (t + 2) ² (t + 1) består av lineære faktorer der en av disse gjentas; Dette er grunnen til at vi er i tilfelle 2.

Vi må:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

Vi skriver om ligningen, og vi har:

1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) ²

Hvis t = - 1, har vi:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = C

Hvis t = - 2, gir det oss:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

Deretter, hvis t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

Å erstatte verdiene til A og C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

Fra ovenstående har vi at B = - 1.

Vi skriver om integralen som:

Vi fortsetter å løse det ved substitusjonsmetoden:

Dette er resultatet:

Eksempel 2

Løs følgende integral:

I dette tilfellet kan vi faktor aq (x) = x ² - 4 som q (x) = (x - 2) (x + 2). Vi er tydelig i sak 1. Derfor:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

Det kan også uttrykkes som:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

Hvis x = - 2, har vi:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

Og hvis x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

Dermed sitter vi igjen med å løse den gitte integralen tilsvarer å løse:

Dette gir oss som et resultat:

Eksempel 3

Løs integralen:

Vi har q (x) = 9x ⁴ + x ² , som vi kan faktorere inn i q (x) = x ² (9x ² + 1).

Denne gangen har vi en gjentatt lineær faktor og en kvadratisk faktor; det vil si at vi er i tilfelle 3.

Vi må:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

Ved å gruppere og bruke like polynomer har vi:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

A = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

Fra dette ligningssystemet har vi:

D = - 9 og C = 0

På denne måten har vi:

Ved å løse ovenstående har vi:

Lov om masseaksjon

En interessant anvendelse av de delvise fraksjoner anvendt på den integrerte kalkulasjonen finnes i kjemi, mer presist i masseavtalen.

Anta at vi har to stoffer, A og B, som går sammen og danner et stoff C, slik at derivatet av mengden C med hensyn til tid er proporsjonalt med produktet av mengdene A og B når som helst.

Vi kan uttrykke loven om masseaksjon som følger:

I dette uttrykket er a det opprinnelige antall gram som tilsvarer A og ß det første antall gram som tilsvarer B.

Videre representerer r og s antall gram henholdsvis A og B som kombineres for å danne r + s gram C. For sin del representerer x antall gram stoff C på tidspunktet t, og K er konstant av proporsjonalitet. Ligningen ovenfor kan skrives om som:

Gjør følgende endring:

Vi har at ligningen blir:

Fra dette uttrykket kan vi få:

Hvor hvis a ≠ b, kan delvise fraksjoner brukes til integrering.

Eksempel

La oss for eksempel ta et stoff C som oppstår fra å kombinere et stoff A med en B, på en slik måte at masseloven blir oppfylt der verdiene til a og b er henholdsvis 8 og 6. Gi en ligning som gir oss verdien av gram C som en funksjon av tiden.

Ved å erstatte verdiene i den gitte masseloven, har vi:

Når vi skiller variabler har vi:

Her kan 1 / (8 - x) (6 - x) skrives som summen av delvise brøk, som følger:

Dermed 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

Hvis vi erstatter 6 for x, har vi B = 1/2; og ved å erstatte 8 med x, har vi A = - 1/2.

Integrering av delvise brøk har vi:

Dette gir oss som et resultat:

Differensiallikninger: logistisk ligning

En annen applikasjon som kan gis til delvise fraksjoner er i den logistiske differensialligningen. I enkle modeller har vi at veksten i en befolkning er proporsjonal med størrelsen; det er å si:

Denne saken er et ideal og anses som realistisk inntil det hender at ressursene som er tilgjengelige i et system ikke er tilstrekkelige til å støtte befolkningen.

I disse situasjonene er det rimeligste å tenke på at det er en maksimal kapasitet, som vi vil kalle L, at systemet kan opprettholde, og at vekstraten er proporsjonal med størrelsen på befolkningen multiplisert med den tilgjengelige størrelsen. Dette argumentet fører til følgende differensialligning:

Dette uttrykket kalles den logistiske differensialligningen. Det er en skillbar likning som kan skilles som kan løses med integrasjonsmetoden for delvis brøk.

Eksempel

Et eksempel vil være å vurdere en populasjon som vokser i henhold til følgende logistiske differensialligning y '= 0.0004y (1000 - y), hvis opprinnelige data er 400. Vi vil vite størrelsen på befolkningen på tidspunktet t = 2, der t måles på flere år.

Hvis vi skriver y 'med Leibniz' notasjon som en funksjon som er avhengig av t, har vi:

Integralet på venstre side kan løses ved hjelp av integrasjonsmetoden for delvis fraksjon:

Vi kan omskrive denne siste likheten på følgende måte:

- Ved å erstatte y = 0 har vi at A er lik 1/1000.

- Ved å erstatte y = 1000 har vi at B er lik 1/1000.

Med disse verdiene er integralet som følger:

Løsningen er:

Bruke de opprinnelige dataene:

Når vi rydder og vi har:

Så har vi det på t = 2:

Avslutningsvis er populasjonsstørrelsen etter 2 år 597,37.

referanser

1. A, RA (2012). Matematikk 1. Universidad de los Andes. Publikasjonsrådet.
2. Cortez, I., & Sanchez, C. (nd). 801 Løst integral. Nasjonalt eksperimentelt universitet i Tachira.
3. Leithold, L. (1992). Beregningen med analytisk geometri. HARLA, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Beregning. Mexico: Pearson Education.
5. Saenz, J. (nd). Integrert kalkyle. Hypotenusen.