- Hvordan gjør du en bijektiv funksjon?
- Injeksjonsevne av en funksjon
- Surjectivity av en funksjon
- Funksjonskondisjonering
- Eksempler: løste øvelser
- Oppgave 1
- Oppgave 2
- Oppgave 3
- Oppgave 4
- Foreslåtte øvelser
- referanser
En bijektiv funksjon er en som oppfyller den doble tilstanden for å være injektiv og surektiv . Det vil si at alle elementene i den tilgjengelige, som har et enkelt bilde i den verdiområde, og i sin tur det verdiområde er lik graden av funksjonen ( R f ).
Det blir oppfylt ved å vurdere et en-til-en-forhold mellom elementene i domenet og kodomain. Et enkelt eksempel er funksjonen F: R → R definert av linjen F (x) = x
Kilde: Forfatter
Det blir observert at for hver verdi av domenet eller startsettet (begge vilkår gjelder like) er det et enkelt bilde i kodomainet eller ankomstsettet. I tillegg er det ikke noe element i kodomainet annet enn bilde.
På denne måten er F: R → R definert av linjen F (x) = x bijektiv
Hvordan gjør du en bijektiv funksjon?
For å svare på dette, er det nødvendig å være tydelig på begrepene Injektivitet og Overjektivitet for en funksjon , i tillegg til kriteriene for konditioneringsfunksjoner for å tilpasse dem til kravene.
Injeksjonsevne av en funksjon
En funksjon er injektiv når hvert av elementene i domenet er relatert til et enkelt element i kodomainet. Et element i kodomainet kan bare være bildet av et enkelt element i domenet, på denne måten kan ikke verdiene til den avhengige variabelen gjentas.
Følgende må oppfylles for å vurdere et injeksjonsfunksjon :
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Surjectivity av en funksjon
En funksjon er klassifisert som surektiv hvis hvert element i kodomainet er et bilde av minst ett element av domenet.
Å vurdere en funksjon surjektiv , må følgende være oppfylt:
La F: D f → C f
∀ b ℮ C f E a ℮ D f / F (a) = b
Dette er den algebraiske måten å fastslå at for hver "b" som tilhører Cf , er det en "a" som tilhører Df slik at funksjonen som er evaluert i "a" er lik "b".
Funksjonskondisjonering
Noen ganger kan en funksjon som ikke er bijektiv, bli underlagt visse betingelser. Disse nye forholdene kan gjøre det til en bijektiv funksjon. Alle slags modifikasjoner til domenet og codomain for funksjonen er gyldige, der målet er å oppfylle egenskapene til injeksjonsevne og surjektivitet i det tilsvarende forholdet.
Eksempler: løste øvelser
Oppgave 1
La funksjonen F: R → R bli definert av linjen F (x) = 5x +1
EN:
Det blir observert at for hver verdi av domenet er det et bilde i kodomainet. Dette bildet er unikt som gjør F til en injeksjonsfunksjon . På samme måte observerer vi at codomain for funksjonen er lik dens rang. Dermed oppfylle betingelsen for surjektivitet .
Å være injektiv og surektiv på samme tid kan vi konkludere med det
F: R → R definert av linjen F (x) = 5x +1 er en bijektiv funksjon.
Dette gjelder alle lineære funksjoner (funksjoner hvis høyeste grad av variabelen er en).
Oppgave 2
La funksjonen F: R → R bli definert av F (x) = 3x 2 - 2
Når du tegner en horisontal linje, blir det observert at grafen blir funnet ved mer enn én anledning. På grunn av dette er ikke funksjonen F injiserende og derfor vil den ikke være bijektiv så lenge den er definert i R → R
Tilsvarende er det kodomainverdier som ikke er bilder av noe element i domenet. På grunn av dette er ikke funksjonen surektiv, noe som også fortjener å forutse ankomstsettet.
Vi fortsetter med å kondisjonere domenet og codomainen til funksjonen
F: →
Der det observeres at det nye domenet dekker verdiene fra null til positiv uendelig. Unngå gjentagelse av verdier som påvirker injeksjonsevnen.
På samme måte er kodomainet blitt modifisert, og teller fra "-2" til positiv uendelighet, og eliminerer fra kodomainen verdiene som ikke tilsvarte noe element i domenet.
På denne måten kan det sikres at F : → definert av F (x) = 3x 2 - 2
Det er bijektiv
Oppgave 3
La funksjonen F: R → R bli definert av F (x) = Sen (x)
I intervallet varierer sinusfunksjonen mellom null og én.
Kilde: Forfatter.
Funksjonen F samsvarer ikke med kriteriene for injeksjonsevne og surektivitet, fordi verdiene til den avhengige variabelen gjentas hvert intervall av π. Videre er ikke kodomainens vilkår utenfor intervallet et bilde av noe element i domenet.
Når du studerer grafen for funksjonen F (x) = Sen (x) , blir intervaller observert der atferden til kurven oppfyller kriteriene for bijektivitet . Som for eksempel intervallet D f = for domenet. Og C f = for codomain.
Hvor funksjonen varierer resultatene fra 1 til -1, uten å gjenta noen verdi i den avhengige variabelen. Og samtidig er kodomainet lik verdiene som er vedtatt av uttrykket Sen (x)
Dermed er funksjonen F: → definert av F (x) = Sen (x). Det er bijektiv
Oppgave 4
Angi nødvendige forhold for D f og C f . Så uttrykket
F (x) = -x 2 være bijektiv.
Kilde: Forfatter
Gjentakelse av resultater blir observert når variabelen tar motsatte verdier:
F (2) = F (-2) = -4
F (3) = F (-3) = -9
F (4) = F (-4) = -16
Domenet er betinget, og begrenser det til høyre side av den virkelige linjen.
D f =
På samme måte observeres det at rekkevidden for denne funksjonen er intervallet, som når man fungerer som en kodomain oppfyller betingelsene for surjektivitet.
På denne måten kan vi konkludere med det
Uttrykket F: → definert av F (x) = -x 2 Det er bijektiv
Foreslåtte øvelser
Sjekk om følgende funksjoner er bijektiv:
F: → R definert av F (x) = 5ctg (x)
F: → R definert av F (x) = Cos (x - 3)
F: R → R definert av linjen F (x) = -5x + 4
referanser
- Introduksjon til logikk og kritisk tenking. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
- Problemer i matematisk analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Polen.
- Elements of Abstract Analysis. Mícheál O'Searcoid PhD. Institutt for matematikk. University college Dublin, Beldfield, Dublind 4
- Introduksjon til logikk og metodikken til deduktive vitenskaper. Alfred Tarski, New York, Oxford. Oxford University press.
- Prinsipper for matematisk analyse. Enrique Linés Escardó. Redaksjonell Reverté S. A 1991. Barcelona Spania.