HOMOGRAFISK FUNKSJON: HVORDAN DU GRAFER, LØSTE ØVELSER - MATTE - 2026

Den funksjon homografiske eller rasjonell ng er en type matematisk funksjon består av polynomdivisjon to komponenter. Den adlyder formen P (x) / Q (x), der Q (x) ikke kan ta en nullform.

For eksempel tilsvarer uttrykket (2x - 1) / (x + 3) en homografisk funksjon med P (x) = 2x - 1 og Q (x) = x + 3.

Kilde: pixabay.com

De homografiske funksjonene utgjør en del av studien av de analytiske funksjonene, som behandles fra graftilnærmingen og fra studiet av domenet og området. Dette skyldes begrensningene og begrunnelsene som må brukes for dine oppløsninger.

Hva er en homografisk funksjon?

De er rasjonelle uttrykk for en enkelt variabel, selv om dette ikke betyr at det ikke er noe lignende uttrykk for to eller flere variabler, der det allerede ville være i nærvær av kropper i rommet som adlyder de samme mønstrene som den homografiske funksjonen i planet.

De har reelle røtter i noen tilfeller, men eksistensen av vertikale og horisontale asymptoter opprettholdes alltid, så vel som intervaller av vekst og reduksjon. Vanligvis er bare en av disse trendene til stede, men det er uttrykk som kan vises begge i deres utvikling.

Domenet er begrenset av nevnerens røtter, siden det ikke er noen divisjon med null av reelle tall.

Blandet homografisk funksjon

De er veldig hyppige i beregningen, spesielt differensial og integrert, og er nødvendige for å utlede og antidividerte under spesielle formler. Noen av de vanligste er listet opp nedenfor.

Til og med den nede roten til den homografiske funksjonen

Ekskluder alle elementene i domenet som gjør argumentet negativt. Røttene som er til stede i hvert polynomisk utbytteverdier på null når de evalueres.

Disse verdiene aksepteres av de radikale, selv om den grunnleggende begrensningen i den homografiske funksjonen må vurderes. Hvor Q (x) ikke kan motta nullverdier.

Løsningene på intervallene må avlyttes:

For å oppnå løsningen på kryssene, kan blant annet skiltmetoden brukes.

Logaritme av den homografiske funksjonen

Det er også vanlig å finne begge uttrykk i ett, blant andre mulige kombinasjoner.

Hvordan tegne en homografisk funksjon?

Homografiske funksjoner tilsvarer grafisk hyperballer i planet. Som blir transportert horisontalt og vertikalt i henhold til verdiene som definerer polynomene.

Det er flere elementer som vi må definere for å tegne en rasjonell eller homografisk funksjon.

Estate

Den første vil være røttene eller nulene til funksjonene P og Q.

Verdiene som oppnås vil bli angitt på x-aksen på grafen. Indikerer skjæringspunktene i grafen med aksen.

Vertikal asymptot

De tilsvarer vertikale linjer, som avgrenser grafen i henhold til trender de presenterer. De berører x-aksen ved verdiene som gjør nevneren null og vil aldri bli berørt av grafen til den homografiske funksjonen.

Horisontal asymptot

Representert med en horisontal stinglinje, avgrenser den en grense for hvilken funksjonen ikke vil bli definert på det nøyaktige punktet. Trender vil bli observert før og etter denne linjen.

For å beregne det må vi ty til en metode som ligner L'Hopitals metode, som brukes til å løse grenser for rasjonelle funksjoner som har en tendens til uendelig. Vi må ta koeffisientene til de høyeste kreftene i telleren og nevner av funksjonen.

For eksempel har følgende uttrykk en horisontal asymptot ved y = 2/1 = 2.

Vekstintervall

Ordinatverdiene vil ha trender merket på grafen på grunn av asymptotene. Ved vekst vil funksjonen øke i verdier når elementene i domenet blir evaluert fra venstre mot høyre.

Reduser intervallet

Ordinatverdiene vil avta etter hvert som domeneelementene blir evaluert fra venstre til høyre.

Hoppene som er funnet i verdiene, vil ikke bli tatt i betraktning når det øker eller synker. Dette skjer når grafen ligger nær en vertikal eller horisontal asymptot, der verdiene kan variere fra uendelig til negativ uendelig og omvendt.

Y kryss

Ved å sette verdien x til null, finner vi avskjæringen med ordinataksen. Dette er veldig nyttige data for å få grafen til den rasjonelle funksjonen.

eksempler

Definer grafen til følgende uttrykk, finn røttene deres, vertikale og horisontale asymptoter, intervaller for økning og reduksjon og kryss med ordinataksen.

Oppgave 1

Uttrykket har ingen røtter, fordi det har en konstant verdi i telleren. Begrensningen som skal brukes vil være x forskjellig fra null. Med horisontal asymptot ved y = 0, og vertikal asymptot ved x = 0. Det er ingen skjæringspunkter med y-aksen.

Det observeres at det ikke er noen vekstintervaller selv med hoppet fra minus til pluss uendelig ved x = 0.

Nedgangsintervallet er

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Oppgave 1.2

2 polynomer observeres som i den opprinnelige definisjonen, så vi fortsetter i henhold til de etablerte trinnene.

Roten som er funnet er x = 7/2, som er resultatet av å sette funksjonen lik null.

Den vertikale asymptoten er på x = - 4, som er verdien som er ekskludert fra domenet av den rasjonelle funksjonstilstanden.

Den horisontale asymptoten er på y = 2, dette etter å ha delt 2/1, koeffisientene til variablene i grad 1.

Den har et y-avskjæring = - 7/4. Verdi funnet etter å ha likestilt x til null.

Funksjonen vokser stadig, med et hopp fra pluss til minus uendelig rundt roten x = -4.

Vekstintervallet er (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

Når verdien til x nærmer seg uendelig, tar funksjonen verdier nær 2. Det samme skjer når x nærmer seg mer uendelig.

Uttrykket nærmer seg pluss uendelig når man evaluerer til - 4 fra venstre, og minus uendelig når man evaluerer til - 4 fra høyre.

Oppgave 2

Grafen over den følgende homografiske funksjonen er observert:

Beskriv dens oppførsel, røtter, vertikale og horisontale asymptoter, intervaller for vekst og reduksjon og kryss med ordinataksen.

Nevneren av uttrykket forteller oss ved å fakturere forskjellen på kvadrater (x + 1) (x - 1) røttene. På denne måten kan begge vertikale asymptoter defineres som:

x = -1 og x = 1

Den horisontale asymptoten tilsvarer abscissa-aksen fordi den høyeste kraften er i nevneren.

Den eneste roten er definert av x = -1/3.

Uttrykket avtar alltid fra venstre mot høyre. Det nærmer seg null når det nærmer seg uendelig. Minus uendelig når du nærmer deg -1 fra venstre. Et pluss uendelig når det nærmer seg -1 fra høyre. Mindre uendelig når du nærmer deg 1 fra venstre og mer uendelig når du nærmer deg 1 fra høyre.

referanser

1. Tilnærming med rasjonelle funksjoner. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31. des. 1979
2. Ortogonale rasjonelle funksjoner. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13. februar. 1999
3. Rasjonell tilnærming av virkelige funksjoner. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3. mars. 2011
4. Algebraiske funksjoner. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1. jan 2004
5. Journal of the Spanish Mathematical Society, bind 5-6. Spanish Mathematical Society, Madrid 1916