- Hva er injeksjonsfunksjoner for?
- Funksjonskondisjonering
- Eksempler på injeksjonsfunksjoner med løste øvelser
- Eksempel 1
- Eksempel 2
- Eksempel 3
- Eksempel 4
- Eksempel 5
- Eksempel 6
- referanser
En injeksjonsfunksjon er enhver relasjon av elementer i domenet med et enkelt element i kodomainet. Også kjent som en en-til-en- funksjon ( 1 - 1 ), de er en del av klassifiseringen av funksjoner med hensyn til hvordan elementene deres henger sammen.
Et element i kodomainet kan bare være bildet av et enkelt element i domenet, på denne måten kan ikke verdiene til den avhengige variabelen gjentas.
Kilde: Forfatter.
Et tydelig eksempel vil være å gruppere menn med jobber i gruppe A, og i gruppe B alle sjefene. Funksjon F vil være den som knytter hver arbeider til sjefen sin. Hvis hver arbeider er tilknyttet en annen sjef gjennom F , vil F være en injeksjonsfunksjon .
Følgende må oppfylles for å vurdere et injeksjonsfunksjon :
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Dette er den algebraiske måten å si på. For hver x 1 som er forskjellig fra x 2 har vi en F (x 1 ) forskjellig fra F (x 2 ).
Hva er injeksjonsfunksjoner for?
Injektivitet er en egenskap av kontinuerlige funksjoner, siden de sikrer tildeling av bilder for hvert element i domenet, et essensielt aspekt i kontinuiteten til en funksjon.
Når du tegner en linje parallelt med X- aksen på grafen til en injeksjonsfunksjon, skal grafen bare berøres på et enkelt punkt, uansett i hvilken høyde eller størrelse på Y linjen tegnes. Dette er den grafiske måten å teste injeksjonsevnen til en funksjon.
En annen måte å teste om en funksjon er injektiv er ved å løse den uavhengige variabelen X i form av den avhengige variabelen Y. Da må det bekreftes om domenet til dette nye uttrykket inneholder de reelle tallene, samtidig som for hver verdi av Y det er en verdi av X.
Funksjonene eller ordrerelasjonene overholder blant annet notasjonen F: D f → C f
Det som leses F som går fra Df til C f
Hvor funksjonen F relaterer setene Domain and Codomain. Også kjent som startsett og etterbehandlingssett.
Domenet D f inneholder de tillatte verdier for den uavhengige variable. Kodomainet C f består av alle verdiene som er tilgjengelige for den avhengige variabelen. Elementene i C f relatert til D f er kjent som Utvalg av funksjonen (R f ).
Funksjonskondisjonering
Noen ganger kan en funksjon som ikke er injiserende, bli utsatt for visse forhold. Disse nye forholdene kan gjøre det til en injeksjonsfunksjon. Alle slags modifikasjoner til domenet og codomain for funksjonen er gyldige, der målet er å oppfylle injeksjonsegenskapene i det tilsvarende forholdet.
Eksempler på injeksjonsfunksjoner med løste øvelser
Eksempel 1
La funksjonen F: R → R bli definert av linjen F (x) = 2x - 3
EN:
Kilde: Forfatter.
Det blir observert at for hver verdi av domenet er det et bilde i kodomainet. Dette bildet er unikt som gjør F til en injeksjonsfunksjon. Dette gjelder alle lineære funksjoner (funksjoner hvis høyeste grad av variabelen er en).
Kilde: Forfatter.
Eksempel 2
La funksjonen F: R → R bli definert av F (x) = x 2 +1
Kilde: Forfatter
Når du tegner en horisontal linje, blir det observert at grafen blir funnet ved mer enn én anledning. På grunn av dette er ikke funksjonen F injiserende så lenge R → R er definert
Vi fortsetter med å kondisjonere domenet til funksjonen:
F: R + U {0} → R
Kilde: Forfatter
Nå tar ikke den uavhengige variabelen negative verdier, på denne måten unngås gjentagende resultater og funksjonen F: R + U {0} → R definert av F (x) = x 2 + 1 er injiserende .
En annen homolog løsning vil være å begrense domenet til venstre, det vil si å begrense funksjonen til bare å ta negative og nullverdier.
Vi fortsetter med å kondisjonere domenet til funksjonen
F: R - U {0} → R
Kilde: Forfatter
Nå tar ikke den uavhengige variabelen negative verdier, på denne måten unngås gjentagende resultater og funksjonen F: R - U {0} → R definert av F (x) = x 2 + 1 er injiserende .
Trigonometriske funksjoner har bølgelignende atferd, der det er veldig vanlig å finne repetisjoner av verdier i den avhengige variabelen. Gjennom spesifikk kondisjonering, basert på forkunnskaper om disse funksjonene, kan vi begrense domenet for å oppfylle betingelsene for injeksjonsevne.
Eksempel 3
La funksjonen F: → R være definert av F (x) = Cos (x)
I intervallet varierer kosinusfunksjonen resultatene mellom null og en.
Kilde: Forfatter.
Som det fremgår av grafen. Det starter fra null ved x = - π / 2, og når deretter et maksimum ved null. Det er etter x = 0 at verdiene begynner å gjenta seg, til de kommer tilbake til null ved x = π / 2. På denne måten er det kjent at F (x) = Cos (x) ikke er injiserende i intervallet.
Når du studerer grafen for funksjonen F (x) = Cos (x) , blir intervaller observert der atferden til kurven tilpasser seg injeksjonskriteriene. Slik som intervallet
Hvor funksjonen varierer resultatene fra 1 til -1, uten å gjenta noen verdi i den avhengige variabelen.
På denne måten er funksjonsfunksjonen F: → R definert av F (x) = Cos (x). Det er injiserende
Det er ikke-lineære funksjoner der lignende tilfeller oppstår. For uttrykk av rasjonell type, hvor nevneren inneholder minst en variabel, er det begrensninger som forhindrer injeksjonsevnen til forholdet.
Eksempel 4
La funksjonen F: R → R bli definert av F (x) = 10 / x
Funksjonen er definert for alle reelle tall bortsett fra {0} som har en ubestemmelse (Den kan ikke deles med null) .
Når den avhengige variabelen nærmer seg null fra venstre, tar den veldig store negative verdier, og umiddelbart etter null tar verdiene til den avhengige variabelen store positive tall.
Denne forstyrrelsen gjør at uttrykket F: R → R er definert av F (x) = 10 / x
Ikke vær injiserende.
Som det fremgår av de foregående eksemplene, tjener eksklusjonen av verdier i domenet til å "reparere" disse ubestemmelsene. Vi fortsetter med å ekskludere null fra domenet, og lar start- og finishsettene være definert som følger:
R - {0} → R
Hvor R - {0} symboliserer realene bortsett fra et sett hvis eneste element er null.
På denne måten er uttrykket F: R - {0} → R definert av F (x) = 10 / x injiserende.
Eksempel 5
La funksjonen F: → R være definert av F (x) = Sen (x)
I intervallet varierer sinusfunksjonen mellom null og én.
Kilde: Forfatter.
Som det fremgår av grafen. Det starter fra null ved x = 0 og når deretter et maksimum ved x = π / 2. Det er etter x = π / 2 at verdiene begynner å gjenta seg, til de kommer tilbake til null ved x = π. På denne måten er det kjent at F (x) = Sen (x) ikke er injiserende i intervallet.
Når du studerer grafen for funksjonen F (x) = Sen (x) , blir intervaller observert der atferden til kurven tilpasser seg injeksjonskriteriene. Slik som intervallet
Hvor funksjonen varierer resultatene fra 1 til -1, uten å gjenta noen verdi i den avhengige variabelen.
På denne måten funksjonen F: → R definert av F (x) = Sen (x). Det er injiserende
Eksempel 6
Sjekk om funksjonen F: → R definert av F (x) = Tan (x)
F: → R definert av F (x) = Cos (x + 1)
F: R → R definert av linjen F (x) = 7x + 2
referanser
- Introduksjon til logikk og kritisk tenking. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
- Problemer i matematisk analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Polen.
- Elements of Abstract Analysis. Mícheál O'Searcoid PhD. Institutt for matematikk. University college Dublin, Beldfield, Dublind 4.
- Introduksjon til logikk og metodikken til deduktive vitenskaper. Alfred Tarski, New York, Oxford. Oxford University press.
- Prinsipper for matematisk analyse. Enrique Linés Escardó. Redaksjonell Reverté S. A 1991. Barcelona Spania.