Den logaritmiske funksjonen er et matematisk forhold som forbinder hvert positivt reelt tall x med sin logaritme y på en basis a. Dette forholdet oppfyller kravene for å være en funksjon: hvert element x som tilhører domenet har et unikt bilde.
Og dermed:
Siden logaritmen basert på et tall x er tallet y som basen a må heves til for å oppnå x.
-Logaritmen til basen er alltid 1. Dermed skjærer grafen til f (x) = log a x alltid x-aksen ved punktet (1,0)
-Den logaritmiske funksjonen er transcendent og kan ikke uttrykkes som et polynom eller som en kvotient av disse. I tillegg til logaritmen inkluderer denne gruppen trigonometriske funksjoner og eksponentiell, blant andre.
eksempler
Den logaritmiske funksjonen kan etableres ved forskjellige baser, men de mest brukte er 10 og e, hvor e er Euler-tallet lik 2.71828….
Når base 10 brukes, kalles logaritmen en desimal logaritme, vanlig logaritme, Briggs 'eller bare vanlig logaritme.
Og brukes tallet e, kalles det en naturlig logaritme, etter John Napier, den skotske matematikeren som oppdaget logaritmer.
Notasjonen som brukes for hver enkelt er følgende:
-Decimal logaritme: log 10 x = log x
-Neperian logaritme: ln x
Når du skal bruke en annen base, er det absolutt nødvendig å indikere det som et abonnement, fordi logaritmen til hvert nummer er forskjellig, avhengig av basen som skal brukes. Hvis det for eksempel er logaritmer i base 2, skriver du:
y = logg 2 x
La oss se på logaritmen til tallet 10 i tre forskjellige baser, for å illustrere dette poenget:
logg 10 = 1
ln 10 = 2.30259
log 2 10 = 3.32193
Vanlige kalkulatorer har bare desimallogaritmer (logfunksjon) og naturlig logaritme (ln-funksjon). På Internett er det kalkulatorer med andre baser. I alle fall kan leseren med sin hjelp bekrefte at de forrige verdiene er tilfredsstilt:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Små desimalforskjeller skyldes antall desimaler som er tatt i beregningen av logaritmen.
Fordelene med logaritmer
Blant fordelene ved å bruke logaritmer er det enkelt å jobbe med stort antall ved å bruke logaritmen i stedet for antallet direkte.
Dette er mulig fordi logaritmefunksjonen vokser saktere etter hvert som tallene blir større, som vi kan se i grafen.
Så selv med veldig store tall, er logaritmene deres mye mindre, og det er alltid enklere å manipulere små tall.
I tillegg har logaritmer følgende egenskaper:
- Produkt : logg (ab) = logg a + logg b
- Kvotient : log (a / b) = log a - log b
- Strøm : logg a b = b.log a
Og på denne måten blir produktene og kvotientene tilsetninger og subtraksjoner av mindre antall, mens empowerment blir et enkelt produkt selv om kraften er høy.
Det er grunnen til at logaritmer tillater oss å uttrykke tall som varierer i veldig store verdiområder, for eksempel lydstyrken, pH-verdien i en løsning, stjernenes lysstyrke, den elektriske motstanden og intensiteten til jordskjelv i Richters skala.
Figur 2. Logaritmer brukes på Richters skala for å kvantifisere størrelsen på jordskjelv. Bildet viser en kollapset bygning i Concepción, Chile, under jordskjelvet i 2010. Kilde: Wikimedia Commons.
La oss se et eksempel på håndtering av egenskapene til logaritmer:
Eksempel
Finn verdien av x i følgende uttrykk:
Svare
Vi har her en logaritmisk ligning, siden det ukjente ligger i argumentet til logaritmen. Det løses ved å etterlate en enkelt logaritme på hver side av likestillingen.
Vi starter med å plassere alle vilkår som inneholder "x" til venstre for likestillingen, og de som bare inneholder tall til høyre:
logg (5x + 1) - logg (2x-1) = 1
På venstre side har vi subtraksjon av to logaritmer, som kan skrives som logaritmen til en kvotient:
logg = 1
Til høyre er imidlertid nummeret 1, som vi kan uttrykke som logg 10, som vi så tidligere. Så:
log = log 10
For at likhet skal være sant, må logaritmenes argumenter være like:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Søknadsøvelse: Richter-skalaen
I 1957 skjedde et jordskjelv i Mexico, hvis styrke var 7,7 på Richters skala. I 1960 skjedde et annet jordskjelv med større styrke i Chile, på 9,5.
Beregn hvor mange ganger jordskjelvet i Chile var mer intenst enn det i Mexico, vel vitende om at størrelsen M R på Richters skala er gitt av formelen:
M R = logg (10 4 I)
Løsning
Størrelsen på Richter-skalaen til et jordskjelv er en logaritmisk funksjon. Vi skal beregne intensiteten til hvert jordskjelv, siden vi har Richter-størrelsene. La oss gjøre det trinn for trinn:
- Mexico : 7,7 = logg (10 4 I)
Siden det inverse av logaritmefunksjonen er eksponentiell, bruker vi dette på begge sider av likheten med den hensikt å løse for I, som finnes i logaritmenes argument.
Siden de er desimallogaritmer, er basen 10. Da:
10 7,7 = 10 4 I
Intensiteten til jordskjelvet i Mexico var:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Chile : 9,5 = logg (10 4 I)
Den samme prosedyren fører oss til intensiteten av det chilenske I Ch jordskjelvet :
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Nå kan vi sammenligne begge intensitetene:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. I M
Jordskjelvet i Chile var omtrent 63 ganger mer intenst enn det i Mexico. Siden størrelsesorden er logaritmisk, vokser den saktere enn intensiteten, så en forskjell på 1 i størrelsesorden, betyr en 10 ganger større amplitude av den seismiske bølgen.
Forskjellen mellom størrelsen på begge jordskjelv er 1,8, derfor kan vi forvente en forskjell i intensiteter nærmere 100 enn til 10, slik det faktisk skjedde.
Hvis forskjellen hadde vært nøyaktig 2, hadde det chilenske jordskjelvet vært 100 ganger mer intens enn det meksikanske.
referanser
- Carena, M. 2019. Pre-University Mathematics Manual. National University of the Litoral.
- Figuera, J. 2000. Matematikk 1. Diversifisert år. CO-BO-utgaver.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Beregning av en variabel. Niende. Edition. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. Femte. Edition. Cengage Learning.