En surektiv funksjon er enhver relasjon der hvert element som tilhører codomain er et bilde av minst ett element av domenet. Også kjent som en konvoluttfunksjon , er de en del av klassifiseringen av funksjoner med hensyn til hvordan elementene deres henger sammen.

For eksempel en funksjon F: A → B definert av F (x) = 2x

Som leses " F som går fra A til B definert av F (x) = 2x"

Du må definere start- og avslutningssett A og B.

A: {1, 2, 3, 4, 5} Nå blir verdiene eller bildene som hvert av disse elementene gir når de blir evaluert i F , elementene i codomain.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Dermed danner settet B: {2, 4, 6, 8, 10}

Det kan konkluderes med at:

F: {1, 2, 3, 4, 5} → {2, 4, 6, 8, 10} definert av F (x) = 2x Det er en surektiv funksjon

Hvert element i kodomainet må være resultatet av minst en operasjon av den uavhengige variabelen gjennom den aktuelle funksjonen. Det er ingen begrensning av bilder, et element i codomain kan være et bilde av mer enn ett element i domenet og fremdeles prøve en surektiv funksjon .

På bildet er det vist eksempler med sivile funksjoner .

Kilde: Forfatter

I den første, er det observert at bildene kan refereres til det samme element, uten at surjectivity av funksjonen.

I det andre ser vi en rettferdig fordeling mellom domene og bilder. Dette gir opphav til den bijektive funksjonen , der kriteriene for injeksjonsfunksjon og surektiv funksjon må oppfylles .

En annen metode for å identifisere objektive funksjoner er å verifisere om codomain er lik funksjonen rangering. Dette betyr at hvis ankomstsettet er lik bildene levert av funksjonen når du evaluerer den uavhengige variabelen, er funksjonen surektiv.

Egenskaper

Å vurdere en funksjon surjektiv , må følgende være oppfylt:

La F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Dette er den algebraiske måten å fastslå at for hver "b" som tilhører _{Cf er} det en "a" som tilhører _Df slik at funksjonen F evaluert i "a" er lik "b".

Surjectivity er en særegenhet ved funksjoner, der codomain og rekkevidde er like. Dermed utgjør elementene som er evaluert i funksjonen ankomstsettet.

Funksjonskondisjonering

Noen ganger kan en funksjon som ikke er objektiv, bli underlagt visse betingelser. Disse nye forholdene kan gjøre det til en subjektiv funksjon.

Alle slags modifikasjoner til domenet og codomain for funksjonen er gyldige, der målet er å oppfylle surksjonsegenskapene i det tilsvarende forholdet.

Eksempler: løste øvelser

For å oppfylle betingelsene for surjektivitet må forskjellige kondisjoneringsteknikker benyttes, dette for å sikre at hvert element i kodomainet er innenfor settet med bilder av funksjonen.

Oppgave 1

• La funksjonen F: R → R bli definert av linjen F (x) = 8 - x

EN:

Kilde: forfatter

I dette tilfellet beskriver funksjonen en kontinuerlig linje, som inkluderer alle reelle tall både i sitt domene og i området. Ettersom at intervallet av funksjonen R _f er lik verdiområde R kan det konkluderes at:

F: R → R definert av linjen F (x) = 8 - x er en surektiv funksjon.

Dette gjelder alle lineære funksjoner (funksjoner hvis høyeste grad av variabelen er en).

Oppgave 2

• Studer funksjonen F: R → R definert av F (x) = x ² : Definer om det er en surektiv funksjon . Hvis ikke, vis forholdene som er nødvendige for å gjøre det objektivt.

Kilde: forfatter

Den første tingen å ta hensyn til er kodomainet til F , som består av de reelle tallene R. Det er ingen måte for funksjonen å gi negative verdier, noe som ekskluderer negative realer fra de mulige bildene.

Kondisjonere codomain til intervallet. Det unngås å la elementer av kodomain være uten tilknytning gjennom F.

Bildene gjentas for par av elementer i den uavhengige variabelen, for eksempel x = 1 og x = - 1. Men dette påvirker bare injeksjonsevnen til funksjonen, og er ikke et problem for denne studien.

På denne måten kan det konkluderes med at:

F: R → . Dette intervallet må kondomainen kondisjonere for å oppnå surksjonsevnen til funksjonen.

F: R → definert av F (x) = Sen (x) Det er en surektiv funksjon

F: R → definert av F (x) = Cos (x) Det er en subjektiv funksjon

Oppgave 4

• Studer funksjonen

F :). Push ({});

Kilde: Forfatter

Funksjonen F (x) = ± √x har den egenskapen at den definerer 2 avhengige variabler ved hver verdi av "x". Det vil si at området mottar 2 elementer for hver enkelt som er laget i domenet. En positiv og negativ verdi må verifiseres for hver verdi av "x".

Når man observerer startsettet, bemerkes det at domenet allerede er begrenset, dette for å unngå ubestemmelsene som ble produsert når man evaluerer et negativt tall innenfor en jevn rot.

Når du sjekker rekkevidden for funksjonen, bemerkes det at hver verdi av kodomainet tilhører området.

På denne måten kan det konkluderes med at:

F: [0, ∞ ) → R definert av F (x) = ± √x Det er en surektiv funksjon

Oppgave 4

• Studer funksjonen F (x) = Ln x betegner om det er en surektiv funksjon . Forutset ankomst- og avgangssettene for å passe funksjonen til overvåkningskriteriene.

Kilde: Forfatter

Som vist i grafen er funksjonen F (x) = Ln x definert for verdier på "x" større enn null. Mens verdiene til "og" eller bildene kan ta hvilken som helst reell verdi.

På denne måten kan vi begrense domenet til F (x) = til intervallet (0, ∞ )

Så lenge funksjonsområdet kan holdes som settet med reelle tall R.

Tatt i betraktning dette, kan det konkluderes med at:

F: [0, ∞ ) → R definert av F (x) = Ln x Det er en surektiv funksjon

Oppgave 5

• Studer funksjonen absolutt verdi F (x) = - x - og angi ankomst- og avgangssett som oppfyller kriteriene for overvåkning.

Kilde: Forfatter

Domenet til funksjonen er oppfylt for alle reelle tall R. På denne måten må den eneste betingelsen utføres i kodomainet, idet man tar i betraktning at funksjonen med absolutt verdi bare tar positive verdier.

Vi fortsetter med å etablere codomain for funksjonen lik rangeringen av den samme

[0, ∞ )

Nå kan det konkluderes med at:

F: [0, ∞ ) → R definert av F (x) = - x - Det er en surektiv funksjon

Foreslåtte øvelser

1. Sjekk om følgende funksjoner er objektive:

• F: (0, ∞ ) → R definert av F (x) = Logg (x + 1)
• F: R → R definert av F (x) = x ³
• F: R → [1, ∞ ) definert av F (x) = x ² + 1
• [0, ∞ ) → R definert av F (x) = Logg (2x + 3)
• F: R → R definert av F (x) = Sec x
• F: R - {0} → R definert av F (x) = 1 / x

referanser

1. Introduksjon til logikk og kritisk tenking. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
2. Problemer i matematisk analyse. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Polen.
3. Elements of Abstract Analysis. Mícheál O'Searcoid PhD. Institutt for matematikk. University college Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Introduksjon til logikk og metodikken til deduktive vitenskaper. Alfred Tarski, New York, Oxford. Oxford University press.
5. Prinsipper for matematisk analyse. Enrique Linés Escardó. Redaksjonell Reverté S. A 1991. Barcelona Spania.