TRANSCENDENTE FUNKSJONER: TYPER, DEFINISJON, EGENSKAPER, EKSEMPLER - MATTE - 2026

De elementære transcendentale funksjonene er de eksponentielle, logaritmiske, trigonometriske, inverse trigonometriske funksjonene, hyperboliske og inverse hyperboliske funksjonene. Det vil si at de er de som ikke kan uttrykkes ved hjelp av et polynom, en kvotient av polynomer eller røtter til polynomer.

De ikke-elementære transcendente funksjonene er også kjent som spesielle funksjoner, og blant dem kan feilfunksjonen navngis. De algebraiske funksjonene (polynomer, kvoter av polynomer og røtter til polynomer) sammen med de elementære transcendentale funksjonene utgjør det som i matematikk er kjent som elementære funksjoner.

Transcendente funksjoner regnes også som de som er resultatet av operasjoner mellom transcendente funksjoner eller mellom transcendente og algebraiske funksjoner. Disse operasjonene er: summen og forskjellen på funksjoner, produkt og kvotient av funksjoner, samt sammensetningen av to eller flere funksjoner.

Definisjon og egenskaper

Eksponentiell funksjon

Det er en reell funksjon av reell uavhengig variabel av formen:

f (x) = a ^ x = a ^x

hvor a er et fast positivt reelt tall (a> 0) kalt basen. Circumflex eller superscript brukes for å betegne den potenserende operasjonen.

La oss si a = 2, så ser funksjonen slik ut:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Som vil bli evaluert for flere verdier av den uavhengige variabelen x:

Nedenfor er en graf der eksponentiell funksjon er representert for flere verdier av basen, inkludert basen e (Neper nummer e ≃ 2.72). Basen e er så viktig at det generelt sett er tale om en eksponentiell funksjon vi tenker på e ^ x, som også betegnes exp (x).

Figur 1. Eksponentiell funksjon a ^ x, for forskjellige verdier av basen a. (Egen utdyping)

Egenskaper for eksponentiell funksjon

Fra figur 1 kan det observeres at domenet til eksponentielle funksjoner er de reelle tallene (Dom f = R ) og området eller banen er de positive realene (Ran f = R ⁺ ).

På den annen side, uavhengig av verdien av basen a, passerer alle eksponentielle funksjoner gjennom punktet (0, 1) og gjennom punktet (1, a).

Når basen a> 1, øker funksjonen, og når 0 <a <1, reduseres funksjonen.

Kurvene til y = a ^ x og y = (1 / a) ^ x er symmetriske rundt Y-aksen.

Med unntak av tilfellet a = 1, er den eksponentielle funksjonen injektiv, det vil si at hver verdi på bildet tilsvarer en og bare en startverdi.

Logaritmisk funksjon

Det er en reell funksjon av reell uavhengig variabel basert på definisjonen av logaritmen til et tall. Logaritmen basert på et tall x er tallet y som basen må heves til for å få argumentet x:

logg _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Det vil si at logaritmefunksjonen basert på er den inverse funksjonen til den eksponentielle funksjonen som er basert på.

For eksempel:

logg ₂ 1 = 0, siden 2 ^ 0 = 1

En annen sak, logg ₂ 4 = 2, fordi 2 ^ 2 = 4

Rotlogaritmen til 2 er log ₂ √2 = ½, fordi 2 ^ ½ = √2

logg ₂ ¼ = -2, siden 2 ^ (- 2) = ¼

Nedenfor er en graf over logaritmefunksjonen i forskjellige baser.

Figur 2. Eksponentiell funksjon for forskjellige verdier av basen. (Egen utdyping)

Egenskaper for logaritmefunksjonen

Domenet til logaritmefunksjonen y (x) = log a (x) er de positive reelle tallene R + . Kjøreområdet eller er reelle tall R .

Uansett base går logaritmefunksjonen alltid gjennom punktet (1,0) og punktet (a, 1) hører til grafen til den funksjonen.

I tilfelle at basen a er større enn enhet (a> 1), øker logaritmefunksjonen. Men hvis (0 <a <1) så er det en avtagende funksjon.

Sine, Cosine og Tangent-funksjoner

Sinusfunksjonen tildeler et reelt tall og til hver x-verdi, der x representerer målet for en vinkel i radianer. For å oppnå verdien av Sen (x) til en vinkel, er vinkelen representert i enhetssirkelen og projeksjonen av nevnte vinkel på den vertikale aksen er sinusen som tilsvarer den vinkelen.

Den trigonometriske sirkelen og sinusen for forskjellige vinkelverdier X1, X2, X3 og X4 er vist nedenfor (i figur 3).

Figur 3. Trigonometrisk sirkel og sinussen i forskjellige vinkler. (Egen utdyping)

Definert på denne måten er den maksimale verdien som funksjonen Sen (x) kan ha 1, som oppstår når x = π / 2 + 2π n, hvor n er et helt tall (0, ± 1, ± 2,). Minsteverdien som funksjonen Sen (x) kan ta, oppstår når x = 3π / 2 + 2π n.

Kosinusfunksjonen y = Cos (x) er definert på en lignende måte, men projeksjonen av vinkelposisjonene P1, P2, etc. utføres på den horisontale aksen til den trigonometriske sirkelen.

På den annen side er funksjonen y = Tan (x) kvotienten mellom sinusfunksjonen og kosinusfunksjonen.

Nedenfor er en graf over transcendente funksjoner Sen (x), Cos (x) og Tan (x)

Figur 4. Graf over transcendente funksjoner, Sine, Cosine og Tangent. (Egen utdyping)

Derivater og integraler

Derivat av eksponentiell funksjon

Derivatet y 'av eksponentiell funksjon y = a ^ x er funksjonen a ^ x multiplisert med den naturlige logaritmen til basen a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

I det spesielle tilfellet av base e er derivatet av eksponentiell funksjon selve eksponentiell funksjon.

Integral av eksponentiell funksjon

Det ubestemte integralet til a ^ x er selve funksjonen delt av den naturlige logaritmen til basen.

I det spesielle tilfellet av basen e, er integralen av den eksponentielle funksjonen selve eksponentielle funksjonen.

Tabell over derivater og integraler av transcendente funksjoner

Nedenfor er en sammendragstabel over de viktigste transcendente funksjonene, deres derivater og ubestemmelige integraler (antiderivativer):

Tabell over derivater og ubestemte integraler for noen transcendente funksjoner. (Egen utdyping)

eksempler

Eksempel 1

Finn funksjonen som kommer fra sammensetningen av funksjonen f (x) = x ^ 3 med funksjonen g (x) = cos (x):

(tåke) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Derivatet og dets ubestemte integral er:

Eksempel 2

Finn sammensetningen av funksjonen g med funksjonen f, der g og f er funksjonene som er definert i forrige eksempel:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

Det skal bemerkes at sammensetningen av funksjoner ikke er en kommutativ operasjon.

Derivatet og det ubestemte integralet for denne funksjonen er henholdsvis:

Integralet ble forlatt indikert fordi det ikke er mulig å skrive resultatet som en kombinasjon av elementære funksjoner nøyaktig.

referanser

1. Beregning av en enkelt variabel. Ron Larson, Bruce H. Edwards. Cengage Learning, 10. nov 2008
2. The Implicit Function Theorem: History, Theory and Applications. Steven G. Krantz, Harold R. Parks. Springer Science & Business Media, 9. nov. 2012
3. Multivariabel analyse. Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva. Springer Science & Business Media, 13. des. 2010
4. Systemdynamikk: modellering, simulering og kontroll av mekatroniske systemer. Dean C. Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg. John Wiley & Sons, 7. mars 2012
5. Kalkulus: Matematikk og modellering. William Bauldry, Joseph R. Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray. Addison Wesley Longman, 1. jan 1999
6. wikipedia. Transcendent funksjon. Gjenopprettet fra: es.wikipedia.com