- Eksempler på grad av et polynom
- Tabell 1. Eksempler på polynomer og deres grader
- Prosedyre for arbeid med polynomer
- Bestill, reduser og fullfør et polynom
- Betydningen av graden av et polynom i tillegg og subtraksjon
- Løste øvelser
- - Trening løst 1
- Løsning
- - Trening løst 2
- Løsning
- referanser
Den grad av et polynom i en variabel er gitt ved uttrykket som har størst eksponent, og hvis polynomet har to eller flere variabler, da den grad bestemmes av summen av eksponenter for hver sikt er større sum blir graden av polynomet.
La oss se hvordan vi kan bestemme graden av polynomet på en praktisk måte.
Figur 1. Einsteins berømte ligning for energi E er et monomial med absolutt grad 1 for den variable massen, betegnet med m, siden lysets hastighet regnes som konstant. Kilde: Piqsels.
Anta at polynomet P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2 . Dette polynomet er en variabel, i dette tilfellet er det variabelen x. Dette polynomet består av flere betegnelser, som er følgende:
Og hva er eksponenten? Svaret er 3. Derfor er P (x) et polynom av grad 3.
Hvis det aktuelle polynomet har mer enn en variabel, kan graden være:
-absolutt
-I forhold til en variabel
Den absolutte graden finnes som forklart i begynnelsen: å legge eksponentene til hvert begrep og velge den største.
I stedet er graden av polynomet i forhold til en av variablene eller bokstavene den største verdien av eksponenten som nevnte bokstav har. Poenget vil bli tydeligere med eksemplene og løste øvelser i de følgende seksjonene.
Eksempler på grad av et polynom
Polynomier kan klassifiseres etter grad, og kan være første grad, andre grad, tredje grad og så videre. For eksempelet i figur 1 er energi et første grads monomial for masse.
Det er også viktig å merke seg at antall uttrykk som et polynom har er lik grad pluss 1. Dermed:
-Første grad polynomer har 2 uttrykk: a 1 x + a o
-Polynomet i andre grad har 3 uttrykk: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Et tredje gradens polynom har 4 uttrykk: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a eller
Og så videre. Den nøye leseren vil ha lagt merke til at polynomene i de foregående eksemplene er skrevet i avtagende form, det vil si å sette begrepet med størst grad først.
Tabellen nedenfor viser forskjellige polynomer, både av en og flere variabler og deres respektive absolutte grader:
Tabell 1. Eksempler på polynomer og deres grader
| polynom | Grad |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| x-1 | en |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 og 5 + 5x 2 og 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
De to siste polynomene har mer enn en variabel. Av disse er begrepet med høyest absolutt grad markert med fet skrift, slik at leseren raskt kan sjekke graden. Det er viktig å huske at når variabelen ikke har en skriftlig eksponent, forstås det at nevnte eksponent er lik 1.
For eksempel i det uthevede begrepet ab 3 x 2 er det tre variabler, nemlig: a, b og x. I dette begrepet heves a til 1, det vil si:
a = a 1
Derfor er ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Siden eksponenten av b er 3 og x er 2, følger det umiddelbart at graden av dette uttrykket er:
1 + 3 + 2 = 6
Y er den absolutte graden av polynomet, siden ingen andre betegnelser har en høyere grad.
Prosedyre for arbeid med polynomer
Når du arbeider med polynomer, er det viktig å ta hensyn til graden av det, siden det først og før du utfører noen operasjon, er det praktisk å følge disse trinnene, hvor graden gir veldig viktig informasjon:
-Bestem polynomet av preferanse i synkende retning. Dermed er begrepet med høyeste grad til venstre og begrepet med lavest grad til høyre.
-Reduser like vilkår, en prosedyre som består i å legge algebraisk til alle begrepene for den samme variabelen og graden som finnes i uttrykket.
-Nødvendig blir polynomene fullført, ved å sette inn termer hvis koeffisient er 0, i tilfelle det mangler termer med en eksponent.
Bestill, reduser og fullfør et polynom
Gitt polynomet P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, blir det bedt om å bestille det i synkende rekkefølge, redusere lignende vilkår hvis det er noen, og fullføre de manglende vilkårene hvis nøyaktig.
Den første tingen å se etter er betegnelsen med den største eksponenten, som er graden av polynomet, som viser seg å være:
x 7
Derfor er P (x) av grad 7. Deretter ordnes polynomet, starter med dette uttrykket til venstre:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Nå er lignende vilkår redusert, som er følgende: - 2x og 3x på den ene siden. Og 7 og -12 på den andre. For å redusere dem legges koeffisientene algebraisk til og variabelen blir uendret (hvis variabelen ikke vises ved siden av koeffisienten, husk at x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Erstatt disse resultatene i P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
Og til slutt blir polynomet undersøkt for å se om noen eksponent mangler, og faktisk, et begrep hvis eksponent er 6 mangler, derfor fullføres det med nuller som dette:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Nå observeres det at polynomet satt igjen med 8 termer, ettersom antallet begrep som tidligere nevnt er lik grad + 1.
Betydningen av graden av et polynom i tillegg og subtraksjon
Med polynomer kan du utføre addisjons- og subtraksjonsoperasjoner, der bare like vilkår legges til eller trekkes fra, som er de med samme variabel og samme grad. Hvis det ikke er lignende vilkår, indikeres tillegg eller subtraksjon ganske enkelt.
Når tilsetningen eller subtraksjonen er utført, hvor sistnevnte er summen av det motsatte, er graden av det resulterende polynom alltid lik eller mindre enn graden av polynomet tilfører den høyeste grad.
Løste øvelser
- Trening løst 1
Finn følgende sum og bestem den absolutte graden:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Løsning
Det er et polynom med to variabler, så det er praktisk å redusere lignende begrep:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
Begge begrepene har grad 3 i hver variabel. Derfor er den absolutte graden av polynomet 3.
- Trening løst 2
Uttrykk området til den følgende plangeometriske figuren som et polynom (figur 2 til venstre). Hva er graden av det resulterende polynomet?
Figur 2. Til venstre, figuren for den løste øvelsen 2 og til høyre, den samme figuren dekomponeres i tre områder hvis uttrykk er kjent. Kilde: F. Zapata.
Løsning
Siden det er et område, må det resulterende polynomet være av grad 2 i variabelen x. For å bestemme et passende uttrykk for området, blir figuren dekomponert til kjente områder:
Området til et rektangel og en trekant er henholdsvis: base x høyde og base x høyde / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2 ; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Merk : trekanten er 3x - x = 2x og høyden er 5.
Nå er de tre oppnådde uttrykkene lagt til, med dette har vi området til figuren som en funksjon av x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
referanser
- Baldor, A. 1974. Elementær algebra. Kulturelle Venezolana SA
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Wikibooks. Polynomer. Gjenopprettet fra: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Grad (polynom). Gjenopprettet fra: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. Mac Graw Hill.